構(gòu)造函數(shù)專題教師

1、第 第 頁構(gòu)造函數(shù)專題題型一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)命題點(diǎn)1利用f(x)與x構(gòu)造例1 已知實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】C【分析】判斷出，構(gòu)造函數(shù)，判斷時(shí)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性即可比較出a,b的大小，即可得答案.【詳解】由題意知 ，由，得 ，設(shè) ，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，所以，故，則 ，即有，故，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的大小比較，解答的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的特征構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而比較大小關(guān)系.鞏固訓(xùn)練1.已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題干中的不等式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合在在R上為偶函數(shù)

2、，得到在R上單調(diào)遞減，其中，分與，對(duì)變形，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，故在時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谠赗上為偶函數(shù)，所以在R上為奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，可變形為，即，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以，解得：，與取交集，結(jié)果為；當(dāng)時(shí)，可變形為，即，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以，解得：，與取交集，結(jié)果為；綜上：不等式的解集為.故選：A命題點(diǎn)2利用f(x)與ex構(gòu)造例2 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A，B，C，D，【答案】D【分析】根據(jù)已知不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，因此函?shù)是增函數(shù)，于是有，構(gòu)造函

3、數(shù)，因?yàn)?，所以，因此是單調(diào)遞減函數(shù)，于是有，故選：D鞏固訓(xùn)練2.已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（）ABCD【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由條件判斷其奇偶性，單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以是上的奇函數(shù)；，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.命題點(diǎn)3利用f(x)與sin x、cos x構(gòu)造例3 已知 , , , 則（）ABCD【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù),判斷其單調(diào)性可得到，再利用與1的大小比較可得到.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，令

4、函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以因?yàn)?，易證當(dāng)時(shí)，所以，而，所以，所以，故選：A鞏固訓(xùn)練3.已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析.【詳解】因?yàn)?，所以，令，所以，?duì)函數(shù)求導(dǎo)：，由有：，由有：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，由有：，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，由有：，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；令 有：=，當(dāng)，.所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故B錯(cuò)誤.故選：C.題型二同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)例4

5、已知關(guān)于變量的非常值函數(shù)在上成立，且；在上的圖像關(guān)于對(duì)稱，則下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.對(duì)于A：利用單調(diào)性比較出，即可判斷；對(duì)于B：利用單調(diào)性比較出，即可判斷；對(duì)于C：利用單調(diào)性比較出，即可判斷；對(duì)于D：先得到.由，轉(zhuǎn)化得到.【詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，所?令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.任取，且.因?yàn)樵谏系膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以因?yàn)榈膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以所以，即.所以的圖像關(guān)于對(duì)稱.所以在上單調(diào)遞減.對(duì)于A：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.所以，即，即.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.所以，即，即，解得：.故

6、B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.所以，即，即，解得：,即.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谏系膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.所以，即，即，解得：,所以.故D正確故選：D鞏固訓(xùn)練4.(多選)(2022常州模擬)若0 x1x2ln x2ln x1Dln x2ln x1答案AD解析構(gòu)造函數(shù)f(x)eq f(ex,x)(0 x1)，因?yàn)閒(x)eq f(exx1,x2)0，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，因?yàn)? x1x21，所以，即，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)h(x)exln x(0 x0，當(dāng)x0時(shí)，h(x)，所以存在x0(0,1)，使h(x0)0，所以h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減

7、，在(x0,1)上單調(diào)遞增，所以無法判斷C選項(xiàng)的正確性；構(gòu)造函數(shù)g(x)exln x(0 x1)，易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，因?yàn)? x1x21，所以ln x1ln x2，即ln x2ln x1，所以選項(xiàng)D正確課后練習(xí)1.已知，其中，則a，b，c的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，并求，利用函數(shù)的圖象去比較三者之間的大小順序即可解決.【詳解】將題目中等式整理，得，構(gòu)造函數(shù)，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的大致圖象如圖所示因?yàn)?，且，則由圖可知，所以故選：A2已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】令，求導(dǎo)得，由

8、題意可得在R上單調(diào)遞增.再逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，所以，則A錯(cuò)誤；因?yàn)?，的大小不能確定，所以，的大小不能確定，則B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，所以，則C正確；因?yàn)?，的大小不能確定，所以，不能確定，則D錯(cuò)誤.故選:C3已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)給定的含導(dǎo)數(shù)的不等式，構(gòu)造函數(shù)，再分段討論求解不等式作答.【詳解】依題意，令，則，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由知，當(dāng)時(shí)，不等式為成立，則，當(dāng)時(shí)，即，于是得，因此有，解得，即得，當(dāng)時(shí)，同理有，即有，解得或，因此得，綜上得，所以不等式的解集為.故選：A4

9、.設(shè)，則（）ABCD【答案】B【分析】觀察4個(gè)數(shù)易得均與0.1有關(guān)，故考慮，在時(shí)的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與0的大小關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，易得.設(shè)，則令有，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，即，故，即，故，?設(shè)，則，設(shè)，則.設(shè)，則，故為增函數(shù)，故，即.故，當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，故，故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故，故.設(shè)，易得當(dāng)時(shí)，故，即.綜上故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問題，需要根據(jù)題中所給的信息判斷出需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導(dǎo)適當(dāng)放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小即可.屬于難題.5已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集為（）A

10、BCD【答案】A【分析】根據(jù)，可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，解不等式，可得答案.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以是上的奇函數(shù)，又因?yàn)槭堑膶?dǎo)函數(shù)，所以的圖象連續(xù)，故在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，等價(jià)于解得；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得綜上可知，不等式的解集為故選A6已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】令，根據(jù)，可得，即為偶函數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上得單調(diào)性，再根據(jù)，即，即，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以，所

11、以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，即，解得?故選：C.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造正確的函數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，考查了數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度.7設(shè)，則（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)給定數(shù)的特征，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較函數(shù)值大小作答.【詳解】令函數(shù)，顯然，則，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，即，因此當(dāng)時(shí)，取，則有，令，令，在上單調(diào)遞減，有，則在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取，則有，所以.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及某些數(shù)或式大小比較，探求它們的共同特性，構(gòu)造符合

12、條件的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.8函數(shù)定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，滿足下列條件：任意，恒成立，時(shí)，恒成立，則關(guān)于t的不等式：的解集為（）ABCD【答案】A【分析】設(shè)函數(shù)，利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性，根據(jù)所得結(jié)論化簡(jiǎn)不等式求其解集.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，又時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)槿我?，恒成立，所以，所以，所以函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)榭苫癁?，所以，所以所以，所以，所以不等式：的解集為，故選：A.9已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象連續(xù)不斷，當(dāng)時(shí)，則（）ABCD【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件判斷單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性可解.【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而可得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，所以，又為奇函數(shù)，所以，C錯(cuò)誤由選項(xiàng)A的推理過程可知，又，可得，D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)，也考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，屬于較難題.10函數(shù)滿足（為自然數(shù)的底數(shù)），且當(dāng)時(shí)，都有（為的導(dǎo)數(shù)），則下列判斷正確的是（）ABCD【答案】D【分析】由可得，故構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件可判斷該函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可判斷A,C,D;根據(jù)對(duì)稱性可判斷B.【詳解】由可得，故設(shè) ，