新課程中的數(shù)學(xué)史課件

1、新課程中的數(shù)學(xué)史汪 曉 勤杭州 2019年1月8日新課程中的數(shù)學(xué)史汪 曉 勤數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計過程數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計過程數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計可接受性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知水平；實用性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)應(yīng)與必修課相結(jié)合，或為必修課服務(wù)，或為必修課內(nèi)容之拓展和深入；科學(xué)性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)符合史實，教學(xué)設(shè)計應(yīng)符合課程標(biāo)準(zhǔn)及有關(guān)教學(xué)理論；可操作性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)為教師所易于接受，教學(xué)設(shè)計應(yīng)為教師所易于操作。 數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計可接受性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)形數(shù)（figured numbers）理論可以上溯到

2、畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.500 B. C.）本人。用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）以及稍后的泰恩（Theon, 約2世紀(jì)上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)形數(shù)（figured numbe案例1 從多

3、邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題1（“歸納猜想論證”第1課時 ） 依次計算數(shù)列1，1 + 2 + 1，1 + 2 + 3 + 2 + 1，1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1，的前四項值，由此猜測的結(jié)果，并加以證明。案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題1（“歸納猜想論證”第1案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)正方形數(shù)案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)正方形數(shù)案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus（公元4世紀(jì)）在研究Nicomachus算術(shù)引論一書時發(fā)現(xiàn) = n2 Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。 案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus案例1 從多

4、邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題2（2019廣東數(shù)學(xué)高考題） 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4 堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第 n 堆第 n 層就放一個乒乓球，以 f(n) 表示第 n堆的乒乓球總數(shù)，則 f (3) =_， f (n) =_。 案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題2（2019廣東數(shù)學(xué)高考題）案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在算術(shù)引論中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個三棱錐數(shù)為 1 1+3 1+3+6 1+3+6

5、+10 案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)第n個三棱錐數(shù)為 （Nicomachus, 1世紀(jì)）案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)第n個三棱錐數(shù)為 （Nicoma案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù) 前四個四棱錐數(shù)為 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16第n個四棱錐數(shù)為案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù) 前四個四棱錐數(shù)為案例 2 等比數(shù)列求和公式萊因得紙草書（約公元前1650年）案例 2 等比數(shù)列求和公式萊因得紙草書（約公元前165案例 2 等比數(shù)列求和公式萊因得紙草上的等比數(shù)列問題 案例 2 等比數(shù)列求和公式萊因得紙草上的等比數(shù)列問題 案例 2 等比數(shù)列求和公式案例

6、 2 等比數(shù)列求和公式案例 2 等比數(shù)列求和公式歐幾里得幾何原本（公元前3世紀(jì)） 第 9 卷命題 35案例 2 等比數(shù)列求和公式歐幾里得幾何原本（公元前案例 2 等比數(shù)列求和公式案例 2 等比數(shù)列求和公式案例 3 二次冪和公式巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻 (約公元前3000年) 但我們無法判斷古代巴比倫人是否知道一 般公式。 案例 3 二次冪和公式巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻 (約公元前案例 3 二次冪和公式阿基米德（Archimedes, 前287-212） 論劈錐曲面體與球體命題2引理； 論螺線命題10 案例 3 二次冪和公式阿基米德（Archimedes,案例 3 二次冪和公式阿基米德案例 3 二次冪和

7、公式阿基米德案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式阿基米德杠桿原理的啟示物理視角下的二次冪和 Fehr（1963）： “伏爾泰曾說過：如果沒有上帝，那就有必要創(chuàng)造一個出來。同樣，我們也可以斷言：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果沒有該學(xué)科的物理應(yīng)用，那就有必要創(chuàng)造出一些來！” 案

8、例 3 二次冪和公式阿基米德杠桿原理的啟示物理視案例 3 二次冪和公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）案例 3 二次冪和公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式阿爾海賽姆（Al-Haitham, 9651039）： 10-11世紀(jì)波斯 數(shù)學(xué)家 案例 3 二次冪和公式阿爾海賽姆案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式吉爾森（R. Levi Ben Gershon, 1288-1344）計算者之書(Maaseh Hoshev) 案例 3 二次冪和公式吉爾森（R. L

9、evi Ben 案例 3 二次冪和公式邊長分別為 1、2、3、 n 的 n 個正方形面積之和即為二次冪和案例 3 二次冪和公式邊長分別為 1、2、3、 n 案例 3 二次冪和公式吉爾森公式的幾何圖示：擴縮法案例 3 二次冪和公式吉爾森公式的幾何圖示：擴縮法案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662） 案例 3 二次冪和公式帕斯卡（B. Pascal, 1案例 3 二次冪和公式分別令 r =1，2，n，將個等式相加即得 案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式三角形法案例 3 二次冪和公式三角形法案例 3 二次冪和公式案

10、例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式體積法案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 3 二次冪和公式案例 4 球體積公式阿基米德案例 4 球體積公式阿基米德案例 4 球體積公式案例 4 球體積公式案例 4 球體積公式 AH : AT = 圓柱截面:（圓錐截面球截面） (圓錐截面球截面) = 圓柱截面 (圓錐AEF球) = 圓柱EG， 案例 4 球體積公式案例 4 球體積公式 球 = 4 圓錐ABD 案例 4 球體積公式 球 = 4 圓錐A案例 4 球體積公式案例 4 球體積公式案例 4 球體積

11、公式 球外切圓柱之表面積 案例 4 球體積公式 案例 4 球體積公式 案例 4 球體積公式 案例 4 球體積公式劉徽（3世紀(jì)）與祖暅（5世紀(jì)）牟合方 蓋案例 4 球體積公式劉徽（3世紀(jì)）與祖暅（5世紀(jì)）牟合案例 4 球體積公式中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表人物魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽案例 4 球體積公式中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表人物魏晉時期案例 4 球體積公式利用3DSMAX軟件制作的牟合方蓋 案例 4 球體積公式利用3DSMAX軟件制作的牟合方蓋案例 4 球體積公式 八分之一合蓋的截面 案例 4 球體積公式 八分之一合蓋的截面 案例 4 球體積公式內(nèi)棋（八分之一合蓋） 案例 4 球體積公式內(nèi)棋（八分之一合蓋） 案例

12、4 球體積公式 外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分） 案例 4 球體積公式 外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分案例 4 球體積公式倒立的陽馬 案例 4 球體積公式倒立的陽馬 案例 4 球體積公式開普勒（J. Kepler，15711630） 測量酒桶體積的新科學(xué)（1615） 將球體積看成是無窮多個小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點在球心，底在球面上，于是由棱錐體積公式可得球積公式 案例 4 球體積公式開普勒（J. Kepler，157案例 4 球體積公式開普勒案例 4 球體積公式開普勒案例 4 球體積公式卡瓦列利（B. Cavalieri，15981647）連續(xù)體不可分 量的幾何學(xué) （ 1629）

13、案例 4 球體積公式卡瓦列利（B. Cavalieri案例 4 球體積公式圓柱截面圓錐截面半球截面 圓柱體積圓錐體積半球體積 案例 4 球體積公式圓柱截面圓錐截面半球截面 圓柱案例 4 球體積公式松永良弼（16901744）：算法集成 案例 4 球體積公式松永良弼（16901744）：案例 4 球體積公式 案例 4 球體積公式 案例5 割補法與出入相補原理問題1 如圖，正三角形ABC 的邊長為2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC， ， ， ，求幾何體的體積。 案例5 割補法與出入相補原理問題1 案例5 割補法與出入相補原理問題2 如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD 兩

14、兩垂直，平面ABC/平面DEFG，平面BEF/平面ADGC，AB = AD =DG=2，AC=EF=1，求該多面體的體積。 案例5 割補法與出入相補原理問題2 案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理劉徽原理案例5 割補法與出入相補原理劉徽原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例5 割補法與出入相補原理案例

15、5 割補法與出入相補原理案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題 1（費馬平面與立體軌跡引論 ） 動點 P 到兩定點 M 和 N 距離的平方和與三角形PMN的面積之比等于給定比，求點 P 的軌跡。 如圖3，設(shè) P為滿足已知條件的任一點，PZ為MN的垂線，Z為垂足。MN = a，MZ = x，ZP = y，則由已知條件得，其中k為常數(shù)。即案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題 1（費馬平面與立案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題即 。其中k為常數(shù)。這就是Z沿MN 運動時，變線段ZP的另一端點 P 所畫出的曲線的方程。 那么，這是什么曲線呢？ 案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題案例6 費馬與笛卡兒研究

16、的軌跡問題取 MN 的中點 A，過 A 作 MN的垂線段AB，使得 4AB/a = k。以 AB 為直徑作半圓 ACB，在其上取點 C，使得 AC = AN。以B為圓心、BC 為半徑作圓， 在該圓上任取一點 P，則 PM 和 PN 的平方和與三角形 PMN 面積之比等于給定比。 案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題取 MN 的中點 A，過案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題這里，費馬給出了方程 所確定的軌跡的作圖法，該軌跡是一個圓。費馬的方法相當(dāng)于將方程化成案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題這里，費馬給出了方程 案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題 2（帕普斯三線問題之特殊情形 ） 設(shè)給定3條直

17、線AB、AD、EF，其中直線AB與EF互相平行 ，AD垂直于AB，動點C到3條已知直線的距離CB、CD、CF滿足 ，求C點軌跡。 案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題 2（帕普斯三線問題案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題3 （帕普斯四線問題之特殊情形） 設(shè)給定4條直線，其中AB和EF平行，AD和GH平行，且AB與AD垂直，動點C且到它們的距離為CB、CD、CF和CH，滿足CBCF=CDCH，求C點軌跡。 案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題3 （帕普斯四線問題案例6 費馬與笛卡兒研究的軌跡問題案例6 費馬與笛卡兒研究的

18、軌跡問題案例 7 歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基石 F. Klein（1849-1925）從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。 M. Kline（1958） 案例 7 歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基案例 7 歷史上的函數(shù)概念 20世紀(jì)50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個大錯誤，我們可以將函數(shù)說成是法則、機器，但決不能把它說成是序偶的集合！ Thorpe中學(xué)階段應(yīng)該教簡單易懂的函數(shù)概念。 M. A. Malik（1980）案例 7 歷史上的函數(shù)概念 20世紀(jì)50和60年代函

19、數(shù)案例 7 歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，職前教師對函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會導(dǎo)致他們學(xué)生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學(xué)生的函數(shù)概念表象與18世紀(jì)的表象相類似 R. Even 案例 7 歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，職前案例 7 歷史上的函數(shù)概念約翰伯努利（1718）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量。Johann Bernoulli, 1667-1748案例 7 歷史上的函數(shù)概念約翰伯努利（1718）：J案例 7 歷史上的函數(shù)概念歐拉（1

20、748）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。Leonhard Euler, 1707 - 1783案例 7 歷史上的函數(shù)概念歐拉（1748）：Leonh案例 7 歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）： 如果某些量依賴于另一些量， 當(dāng)后面這些量變化時，前面 這些變量也隨之變化，則前 面的量稱為后面的量的函數(shù)。Leonhard Euler, 1707 - 1783案例 7 歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）：Leonh案例 7 歷史上的函數(shù)概念孔多塞： 設(shè)有若干量x，y，z， F，對于x，y，z，的每 一個確定的值，F(xiàn) 有一個 或多個確定的值與之對應(yīng)， 則稱F為x，y，z，的

21、一 個函數(shù)。A. N. C. Condorcet, 1743-1794案例 7 歷史上的函數(shù)概念孔多塞：A. N. C. C案例 7 歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S. F. Lacroix, 1765-1843）（1797）： 任何一個量，如果它的值依賴于一個或多個其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關(guān)系是通過什么運算實現(xiàn)的。 案例 7 歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S. F. Lac案例 7 歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（ 1797）：所謂一個或幾個量的函數(shù)，是指任意一個用于運算的表達(dá)式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達(dá)式中，表達(dá)式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，

22、而函數(shù)的量可以取所有可能的值。 J. L. Lagrange, 1736-1813案例 7 歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（ 1797）：J. 案例 7 歷史上的函數(shù)概念傅立葉（ 1822）：函數(shù)f ( x)代表一系列的值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標(biāo) x 的值，有同樣多個縱坐標(biāo) f ( x) 的值。所有的值要么為正數(shù)，要么為負(fù)數(shù)，要么是零。無需假設(shè)這些縱坐標(biāo)滿足同一個法則；它們可以任何方式接續(xù)，每一個都好象是單個的量。 J. Fourier, 1768 - 1830案例 7 歷史上的函數(shù)概念傅立葉（ 1822）：J. 案例 7 歷史上的函數(shù)概念柯西分析教程 （1821

23、）：當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達(dá)的，這時這個量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數(shù)。A. L. Cauchy, 1789 - 1857案例 7 歷史上的函數(shù)概念柯西分析教程 （1821案例 7 歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）： x 的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個 x 都有確定的值，并且隨著 x 的變化而逐漸變化，函數(shù)值或者由解析式給出，或者由一個條件給出，這個條件提供了一種檢驗所有的數(shù)并選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關(guān)系存在但可以是未知的。Lobachevsky,

24、1792-1856案例 7 歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）：L案例 7 歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）設(shè)a、b是兩個確定的值，x 是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個 x，有惟一有限的 y 值與它對應(yīng)，使得當(dāng) x 從 a 到 b 連續(xù)變化時，也逐漸變化，那么 y 就稱為該區(qū)間上 x 的一個連續(xù)函數(shù)。在整個區(qū)間上，y 無需按照同一種規(guī)律依賴于 x，也無需單單考慮能用數(shù)學(xué)運算來表示的關(guān)系。L. Dirichlet,1805 - 1859案例 7 歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）L. D案例 7 歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）函數(shù)是這樣一個量，它的值以任意方式依賴于

25、構(gòu)成它的一個或幾個變量的值。因此，函數(shù)不必通過任何代數(shù)符號的組合來表達(dá)，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。G. G. Stokes, 1819-1903案例 7 歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）G. G案例 7 歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每一個值，都有不定量 w 的惟一的值與之相對應(yīng)，則稱 w 為 z 的函數(shù)。B. Riemann, 1826-1866案例 7 歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：B. Ri案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾 (1854)： 任何包含符號 x 的代數(shù) 式稱為 x 的函數(shù)，并用 一般的簡記符號f (

26、x)來 表示。G. Boole, 1815-1864案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾 (1854)：G. B案例 7 歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）： x 的一個函數(shù)被稱為f(x)，如果對于某區(qū)間內(nèi) x 的每一個值， f(x) 都有的惟一確定的值與之相關(guān)聯(lián)。此外， f(x) 是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關(guān)緊要。 f(x) 的值只須處處惟一確定。H. Hankel, 1839-1873案例 7 歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）：H. H案例 7 歷史上的函數(shù)概念戴德金 (1887)：函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個映射，對于S中每一個確定的元素s，按照法則，都有一個確定的對象與之相關(guān)聯(lián)

27、，這個對象稱為s的象，以(s)將表示；也可以說，(s)是由s通過映射產(chǎn)生的，即s通過映射變換成(s)。R. Dedekind, 1831-1916案例 7 歷史上的函數(shù)概念戴德金 (1887)：R. 案例 7 歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是x的取值，于是x就是一個變量。假設(shè)x的每一個值，即集合(X)的每一個元素，對應(yīng)于一個數(shù)，這個數(shù)可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數(shù)：如果定義了對應(yīng)關(guān)系，就定義了該集合上的一個函數(shù)。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個對應(yīng)關(guān)系確定的：我們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元素a與數(shù)b對

28、應(yīng)。(X)的每一個元素對應(yīng)于(Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的定義中，并沒有排除(X)的幾個不同元素對應(yīng)于(Y)的同一個元素，換言之，(X)和Y)之間的對應(yīng)不一定是完全的。J.Tannery,1848 - 1910案例 7 歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：J.Ta案例 7 歷史上的函數(shù)概念維布倫：若在變量y 的集合與另一個變量 x的集合之間有這樣的關(guān)系成立，即對 x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應(yīng)，則稱變量 y 是變量 x 的函數(shù)。 O. Veblen, 1880 - 1960案例 7 歷史上的函數(shù)概念維布倫：O. Veblen,案例 7 歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：函數(shù)

29、是這樣一種關(guān)系 u，對于任意的x，y 和 z，如果第二個元素相同的兩個序偶 y；x 和 z；x 滿足這個關(guān)系，那么必有 y = x。G. Peano, 1858-1932案例 7 歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：G. P案例 7 歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫 （1914）：設(shè) P 是序偶 p = (a, b)組成的一個集合，對于每一個 ，稱 b 為 a 的象，在特殊情況下，每個 a 只有惟一的象 b，則被此 a決定且與a相關(guān)的元 b稱為a 的函數(shù)，記為 。F. Hausdorff, 1868-1942案例 7 歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫 （1914）：F.案例 7 歷史上的函數(shù)概念古爾薩（192

30、3）：函數(shù)這個詞的現(xiàn)代定義是柯西和黎曼給出的。如果 x 的一個值與 y 的一個值相對應(yīng)，那么我們就說y是x的一個函數(shù)。我們用方程 y = f (x) 來表示。 E. Goursat, 1858 - 1936案例 7 歷史上的函數(shù)概念古爾薩（1923）：E. G案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派集合論（ 1939 ）： 設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個xE，都存在惟一的yF，它滿足與x的給定關(guān)系。我們將聯(lián)系每一個元素xE和元素yF的運算稱為函數(shù)；y稱為x處的函數(shù)值，函數(shù)是由給定的關(guān)系決定的。兩個等價的函數(shù)

31、關(guān)系確定了同一個函數(shù)。案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派集合論（ 1案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派集合論（ 1939 ）： 定義集合 X 與 Y 的積集 X Y 如下：X Y = (x, y) | xX, yY。積集 X Y中的一子集 R 稱為 X 與 Y 的一個關(guān)系，若 (x, y) R，則稱 x 與 y 有關(guān)系 R，記為 x R y，現(xiàn)設(shè) f 是 x 與 y 的關(guān)系，即 f 包含于X Y，如果(x, y)、(x, z) f，必有 y =，那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù)。案例 7 歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派集合論（ 1案例 8 曲線的切線 歐幾里得幾何原本圓的切線：與圓相遇

32、、但延長后不與圓相交的直線。第3卷命題16推論：“過圓的直徑的端點作和它成直角的直線與圓相切?！盓uclid（about 325 BC - about 265 BC）案例 8 曲線的切線 歐幾里得幾何原本Euclid案例 8 曲線的切線阿波羅尼斯圓錐曲線 命題32稱：“從圓錐曲線頂點作直線與相應(yīng)縱坐標(biāo)線平行，則該直線與圓錐曲線相切，且在圓錐曲線與該直線之間不能再插入另外的直線?！?Apollonius（about 262 BC - about 190 BC）案例 8 曲線的切線阿波羅尼斯圓錐曲線 案例 8 曲線的切線命題3334：圓錐曲線的切線作圖案例 8 曲線的切線命題3334：圓錐曲線的切

33、線作圖案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線阿基米德論螺線Archimedes（287 BC - 212 BC）案例 8 曲線的切線阿基米德論螺線Archimed案例 8 曲線的切線17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個十分盛行的研究課題，洛必達(dá)在其無窮小分析中列專章加以討論。早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那

34、么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。 案例 8 曲線的切線17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角牛頭角（圖10中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖11中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。案例 8 曲線的切線二是

35、曲線運動的速度問題。對于直線運案例 8 曲線的切線笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題”。 案例 8 曲線的切線笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚案例 8 曲線的切線費馬的方法案例 8 曲線的切線費馬的方法案例 8 曲線的切線笛卡兒的方法Ren Descartes（1596 1650）案例 8 曲線的切線笛卡兒的方法Ren Descar案例 8 曲線的切線洛必達(dá)無窮小分析曲線的切線是曲線的內(nèi)接“無窮邊形”一邊的延長線。G. L Hospital（1661-1704）案例 8 曲線的切線洛必達(dá)無窮小分析G. L H案例 8 曲線的切線案例 8 曲線的切線

36、案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品汪聯(lián)松：北平晨報 （1938）吳佑之：科學(xué)月刊 （1946）楊嘉如：大陸報 （1948） 華羅庚：科學(xué)通報第三卷第六期 （1951）中國數(shù)學(xué)雜志刊登啟事（1952年8月）數(shù)學(xué)通報再次刊登上述啟事（1953年1-2月） 數(shù)學(xué)通報第三次刊登啟事(1957年1月號) “再告企圖用規(guī)尺三等分角的同志”案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品汪聯(lián)松：北平晨報 （1938案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1852年，德摩根受一位朋友的委托，審查了一位朋友的一個老鄉(xiāng)所給出的十分恐怖的三等分角作圖法，該作圖法相當(dāng)于：若是一個已知角，則 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1852年，德摩根受一位朋友的委案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的

37、作品德摩根 (A. De Morgan, 1806-1871)案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品德摩根 (A. De Morga案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國三等分角者如是說：“掌握科學(xué)知識的人類怎會如此愚蠢？任何一位科學(xué)家或數(shù)學(xué)家在他還未開始著手研究手頭的難題時就說它不可能，這只能說明他能力有限。”案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國三等分角者如是說：“掌握案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國三等分者如是說：“我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)代的數(shù)學(xué)權(quán)威們并不試圖去解決這些疑難，卻去寫些闡述不可能證明它們的論文。不鼓勵這些難題的解法，反而打擊他們，還封他們?yōu)榭窆??！?美國數(shù)學(xué)家Underwood Dudley80年代搜集狂怪們的

38、研究“成果”，得三等分角作圖法共兩百余種！案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國三等分者如是說：“我們發(fā)案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1951年，底特律一位82 歲高齡的 “五好牌” 向各個州的一流大學(xué)、各家著名私人研究機構(gòu)，還有包括愛因斯坦在內(nèi)的數(shù)學(xué)家，總共一百多處，通報了他的作圖法！他收到了六十多份答復(fù)，其中最好的是愛因斯坦的：“我收到的信件太多了，盡管我非常想回復(fù)所有的信件，但我實在是沒有時間！” 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1951年，底特律一位82 歲高案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品錯誤的三等分角法之一（R. J., 1986）：作者聲稱：有50多位數(shù)學(xué)教授（其中許多為博士）評價了他的論文，并支持他的證明

39、 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品錯誤的三等分角法之一（R. J.案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1973 年，一位來自杜塞爾多夫的69 歲的退休公務(wù)員，聲稱自己在整整40 年里，花費12,000 多小時，終于找到了這個作圖法 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品1973 年，一位來自杜塞爾多夫案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品令人眼花繚亂的三等分角作圖法 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品令人眼花繚亂的三等分角作圖法 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品神秘的三等分角法（K.B.S., 1972） 案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品神秘的三等分角法（K.B.S.,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國大學(xué)校長的三 等分角作圖法（1933）案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品一位

40、美國大學(xué)校長的三案例10 實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談被試：江蘇省某中學(xué)高二、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關(guān)康托爾集合論方面的書籍。 案例10 實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種案例10 實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比平方數(shù)集 1，4，9，16，25，中的元素多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。2、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比偶數(shù)集 2，4，6，8，10，中的元素多？ A

41、、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。案例10 實無窮概念實無窮測試題案例10 實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較 AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。 案例10 實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段案例10 實無窮概念 4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設(shè)P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P。CD上的點是否比AB上的點更多？ A、是； B、否； C、不知道 解釋你的答案。案例10 實無窮概念 4、再觀察線段AB和CD，連接CA和案例10 實無窮概念5、設(shè) ，

42、，則集合A和 B是否具有同樣多的元素？ A、是; B、否; C、不知道 解釋你的答案。案例10 實無窮概念5、設(shè) 案例10 實無窮概念 兩個集合 A 和 B都滿足： (1) A和B都是無窮集合； (2) B是A的真子集； (3) A和B的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。 案例10 實無窮概念 兩個集合 A 和 B都滿足：案例10 實無窮概念情 境題 次集合A集合B算 術(shù)1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾 何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術(shù)幾何5區(qū)間 0, 2區(qū)間 0, 1案例10 實無窮概念情 境題 次集合A集合B算 術(shù)案例10 實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生比較無窮集合所用的策略 類型1 集合

43、A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。 類型2 集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。 類型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。 類型4 集合A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個集合中的元素一樣多。案例10 實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生比較無窮集合所用的策略案例10 實無窮概念歷史相似性古希臘G. Galilei (1638)：Dialogues concerning two new sciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認(rèn)為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。 案例10 實無窮概念歷史相似性案例10 實無窮概念19世紀(jì)，高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）、柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K. Wierestrass, 1815 -1897）等都無法接受