高等數(shù)學(xué)典型例題與應(yīng)用實例

1、高等數(shù)學(xué)典型例題與應(yīng)用實例高等數(shù)學(xué)典型例題與應(yīng)用實例16/16高等數(shù)學(xué)典型例題與應(yīng)用實例v1.0可編寫可改正例利用二重積分的性質(zhì)，預(yù)計積分(x22y2x2y2)dD的值，此中D為半圓形地區(qū)x2y24,y0解我們先求函數(shù)f(x,y)x22y2x2y2在地區(qū)D(x,y)x2y24,y0上的最大值和最小值fx2x2xy20,(2,1)，f(2,1)2由2x2y解得D內(nèi)駐點為fy4y0,在界限L1:y0(2x2)上，g(x)f(x,0)x2在L1上f(x,y)的最大值為4，最小值為0在界限L2:x2y24(y0)上，h(x)f(x,4x2)x45x28(2x2)由h(x)4x310 x0得駐點x10,

2、x25,x35，h(0)f(0,2)822h(5)f(5,3)72224綜上，f(x,y)在D上的最大值為8，最小值為0又D的面積為2，所以由二重積分的估值性質(zhì)知02(x22y2x2y2)d82，D即0(x22y2x2y2)d16D例設(shè)D為xoy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)為極點的三角形地區(qū)，D1為D在第一象限的部分，則(xycosxsiny)dxdy()D（A）2cosxsinydxdy（B）2xydxdyD1D1（C）4(xycosxsiny)dxdy（D）0D11v1.0可編寫可改正解地區(qū)D以以下圖，并記D0為以(1,1),(1,1),(0,0)為極點的三角形地區(qū)，則D0對

3、于y軸對稱，且D1為D0在y軸右邊的部分地區(qū)，地區(qū)DD0對于x軸對稱又xy對于x和y均為奇函數(shù)；而cosxsiny對于x為偶函數(shù)對于y為奇函數(shù)，由二重積分的奇偶對稱性得xydxdy0,xydxdy0，故xydxdy0；D0DD0Dcosxsinydxdy2cosxsinydxdy,cosxsinydxdy0，D0D1DD0故cosxsinydxdy2cosxsinydxdyDD1所以(xycosxsiny)dxdyxydxdycosxsinydxdy2cosxsinydxdyDDDD1所以我們選（A）例設(shè)地區(qū)D(,)x2y24,x0,y0，f(x)為D上的正當(dāng)連續(xù)函數(shù)，a,b為xy常數(shù)，則af

4、(x)bf(y)df(x)f(y)D解由題意知，D對于直線yx對稱，由二重積分輪換對稱性得af(x)bf(y)daf(y)bf(x)dDf(x)f(y)Df(y)f(x)1af(x)bf(y)af(y)bf(x)2f(y)f(y)f(x)dDf(x)1(ab)dabdab122ab2D2D242所以，我們應(yīng)填“ab”22v1.0可編寫可改正2siny例計算二次積分dxdy0 xy解積分地區(qū)如圖，則2ysiny2sinydysinydy2原式dyydxsinydy0000；例設(shè)D為橢圓地區(qū)(x1)2(y2)21，計算二重積分(xy)dxdy49Dx12rcos,則D的極坐標(biāo)表示為0r1,02，且

5、(x,y)解令3rsin,6ry2(r,)由式(10.2.8)，可得(xy)dxdy62d12rcos3rsin)rdr(3D002326(cossin)d18023例計算二重積分(xy)dxdy，此中D為x2y2xy1.D12121,13解解法1D的界限曲線為xy3/2,這是一個以為圓心，22222ux1,xu1,為半徑的圓域，采納一般的變量代換，令2即作變換2于是D變成vy1,yv1,22D:u2v23/2.3v1.0可編寫可改正(x,y)10J01.(u,v)1所以，(xy)dxdy(uv1)1dudv（再用極坐標(biāo)）DD2d3/2rsin1)rdr00(rcosrdrd23/2r2dr(

6、sincos)dD0032320.221211解法2因為積分地區(qū)D：x13y2對于x（即x0)對稱，故2222x1dxdy0.D2近似地，因為D對于y1即y10對稱，故22y1dxdy0.2進而(xy)dxdyx1dxdyy1dxdy1dxdyDD2D2D32dxdyD面積3.22D例計算Imaxx2,y2dxdy，此中，D(x,y)|0 x1,0y1eD解D由yx分為D，D兩部分，如圖.22x21,0yx22e,D1:0 xemaxx,yy2e,D2:0 x1,xy1Iex2ey2dxdy1x21y2dxdydxexdy0dyeydxD1D20004v1.0可編寫可改正1xx21x21x22

7、2dxedy2xedx0edx000 x211.ee0例利用二重積分計算定積分I1xbxa0)dx(a,b0lnx解因為xtdt1xtbbabalnxalnx1bb1b1b1b所以Itdt)dxtdtln(1t)(xdtxdxlna0aa0a1ta1例f(x)為a,b上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)0，試?yán)枚胤e分證明bb1(b2.f(x)dxa)aaf(x)證因為f(x)dx1dxbf(y)dyb1dxbbaaf(x)aaf(x)f(y)dxdyf(x)dxdy,Df(x)Df(y)此中D(x,y)|axb,ayb,所以bb1dxf(y)f(x)dxdy2f(x)dxdxdyDf(y)aaf(x)

8、Df(x)bb1dx亦即f(x)dxf(x)aaf2(y)f2(x)dxdyf(x)f(y)dxdyDf(x)f(y)Df(x)f(y)2dxdy2(ba)2,D(ba)2.1例計算xf(x)dx，此中f(x)0解當(dāng)0 x1時,0 x21x2Sinttdt5v1.0可編寫可改正x2sintx2f(x)tdt11sinydyy12sinydy,y111sinydydx0 xf(x)dxxx2圖進而y0dxx2xsinydyxsinydxdy，11yDy此中D曲線yx2,y1，和x0所圍成，如圖10-8。改變積分次序，則原積分xsinydxdyydyxsinydx1y00y1sinyx2ydy0y

9、2011(cos11cosy20211201)sinydy例設(shè)二元函數(shù)，f(x,y)x2|x|y|11|y|2.x21|x|y2計算If(x,y)d，此中D(x,y)|x|y|2.D解：由地區(qū)的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性、有f(x,y)d4f(x,y)d此中，D1為D位于第一象限部分，DD1D由xy1分紅兩部分：1D11(x,y)|0y1x,0 x1圖D12(x,y)|1xy2,x0,y0.f(x,y)dx2dxdy1dxdyD1D11D12x2y2因為x2dxdydxx2dyx2(1x)dx111x1D11000126v1.0可編寫可改正1212dcossindr22ln(21)x2dxdy1

10、dD12y20cossin0sincos所以f(x,y)d412ln(21)142ln(21).D123nn1ij例求lim2cos.ni1j1nn2n解設(shè)平面地區(qū)D：0 x1,0y1,則二元函數(shù)f(x,y)xcosy在D上連續(xù)，2二重積分f(x,y)dxdy存在，用平行于x軸和y軸的兩組平行線把D分紅n2個全等的正D方形，如圖，取ii,ii,ij1,則nnn2f(i,i)ijicos2j11icosj.nnn2n2n2n故nn1ijlim2cosnj1nn2ni1xcos2ydxdyD4.xdx1cosydy圖10023例設(shè)f(u)有一階導(dǎo)數(shù)且f(0)0,f(0)9,求lim1f(x2y2)

11、dxdy。t0t32y2t2x解xrcos,于是采納極坐標(biāo)，令rsin,y1f(r)rdrdlim12t原式=lim33df(r)rdr.t0trtt0t007v1.0可編寫可改正t2limf(r)rdr2limf(t)t2limf(t)0t0t3t03t23t0t2limf(t)f(0)2f(0)6.3t0t03例設(shè)半徑為R的球面的球心的定球面x2y2z2a2(a0)上，問當(dāng)R取什么值時，球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大。解依據(jù)題意不如設(shè)球面的方程為x2y2(za)2R2，則兩球面的交線在xOy2面投影x2y2R2,記為在定球面的部分，則在11z0.xOy面投影地區(qū)D為2x2y2R2(4a

12、2R2).4a1的方程zaR2x2y2，則1的面積圖S(R)1zx2zy2dxdyR2Ry2dxdyDDx22R4a2R2Rr23d2adr2R002R.Rr2aS為R的函數(shù)，下邊求S的最大值。S(R)4R3R2,S(R)46R.aa令S(R)0，得駐點R14a,R20（舍去）。又S4a40,所以S4a為極333大值，即為最大值，故當(dāng)R4a時，球面在定球面內(nèi)的部分的面積最大。38v1.0可編寫可改正例設(shè)薄片所點地區(qū)D是介于兩個圓racos,rbcos(0ab)之間的地區(qū)，各點處的面密度等于該點到原點的距離，求這薄片的質(zhì)心。解地區(qū)D以以下圖，(,y)x2y2,(,).由對稱性知y0.薄片的質(zhì)量x

13、xyDMx2y2dxdy2dbcosr.rdracos0D2221(b3a3)cos3d4(a3a3),039Myxx2y2dxdy2dbcosr2cosrdracos0D2221(b4a4)cos5d4(b4a4),0415所以，xMy3b4a4.M5b3a33b4a4所以薄片的質(zhì)心坐標(biāo)5b3a3,0.例求由拋物線yx2及直線y1所圍成的薄片（面密度為常數(shù)0)對于直線y1的慣性矩。解設(shè)D為平面薄片所占有的xOy平面上的地區(qū)如圖，D內(nèi)任一點（x,y）到直線22故所求慣性矩為y=-1的距離平方d=(y+1),I0(y1)2dxdyD111)2dy01dxx2(y0181(1x2)3dx36801

14、33105例計算(x2y2)dxdydz，此中是由曲面x2y22z與平面z=2所圍成的區(qū)域。9v1.0可編寫可改正解從x2y22z,中消去z，得投影柱面方程x2y24，在xOy平面上的投影z2.地區(qū)D為：x2y24。采納柱面坐標(biāo)，可表示為：02,0r2,r2z2.2進而(x22222dz.y2)dxdydzdrdrr2r0022r32r2dr16.2023222計算(xz)e(xyz)dxdydz，此中:1x2y2z24,x0,y0,x0解：因為將x與z對調(diào)，積分地區(qū)和被積函數(shù)不變，故原222積分=2ze(xyz)dxdydz，積分地區(qū)為球面圍成，采納球面坐標(biāo)，令xsincos,ysincos

15、,zcos.圖ze(x2y2z2)dxdydz2d2d2cose22sind001d2sincosd22e221d00sin22122e222221d02222d82e1e2182e15e4.10v1.0可編寫可改正進而，原積分=154235.2ee4e4e2例計算z2dv，此中是x2y2z2a2和x2y2(za)2a2的公共部分（a0）。解法一用球面坐標(biāo)，依據(jù)積分地區(qū)特色，必然分紅兩部分1和，由a及22acos得3，則錐面把分紅1和2兩部分.3z2dvz2dvz2dv122d2acos2cos22sind0d2302d3da2cos22sind00022(2a)52sind5cos323a5

16、2595.cossinda05480解法二因為被積函數(shù)與x,y沒關(guān)，且積分地區(qū)中作平行xOy坐標(biāo)面向的平面與交線是圓，于是可用先作二重積分再作必然積分（先二后一）法，因為兩球面x2y2z2a2及x2y2(za)2的交線落在平面za上，故當(dāng)0 xa時，Dz1為z2的圓域；當(dāng)a22半徑為2azza時，Dz2為半徑為a2z2的圓域，所以，a2sz2dv2z2dzdxdydxdyaz2dz0Dz2Dz12az2(2azz2)dzaz2(a2z2)dz59a5.a02480例計算三重積分(xyz)2dxdydz，此中是由拋物面zx2y2與球面x2y2z22所圍成的公共區(qū)域。解被積函數(shù)(xyz)2x2y2

17、z22(xyyzxz)，因為積分地區(qū)對于xOz11v1.0可編寫可改正坐標(biāo)面對稱xy+yz是對于y的奇函數(shù)，所以(xyyz)dxdydz0.近似地，因為對于yOz坐標(biāo)面對稱，xz是對于z的奇函數(shù)，所以xzdxdydz0.于是(xyz)2dxdydz(x2y2z2)dxdydz.采納柱面坐標(biāo)，令xrcos,yrsin,zz，則:02,0r1,r2z2r2.(x2y2)dxdydz21r3dr2r2d0r2dz0213(2r2r2)drr0(16219).1521rdr2r2z2dxdydzd2z2dz00r2312)3/2r7drr(2r0(32213).60所以(xyz)2dv(x2y2)dx

18、dydzz2dxdydz(96289)60例x2y2z21dxdydz，此中是由zx2y2與z=1所圍成的立體。解令x2y2z210，得球面x2y2z21需將分紅兩部分1、2，此中1:02,0,01412v1.0可編寫可改正2:02,0,114cosx2y2z21dV2d4d12sind而0100124sind123d220012x2y2z2212sin1dVd4dcos1d0012240111124cos43cos3sind11142cos36cos21212cos032412例設(shè)f(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，求lim13f(x,y,z)dxdydz.tt0:x2y2z2t2解因為f(x,y,

19、z)在上連續(xù)，依據(jù)三重積分的中值定理，最少存在一點(,)，使得f(x,y,z)dxdydzf(,)4t3.3注意，當(dāng)t0(,)(000)時，由f(x,y,z)的連續(xù)性，于是有l(wèi)im13f(x,y,z)dxdydzlim13f(,)4t3t0tt0t3lim4f(,)4f(0,0,0).t033例設(shè)函數(shù)f(x)擁有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0，求13v1.0可編寫可改正lim14f(x2y2z2)dxdydz,t0t此中為球域：x2y2z2t2.解引入球面坐標(biāo)變換：xsincos,ysinsin,zcos,則:02,0,0t，F(xiàn)(t)f(x2y2z2)dxdydz.x2y2z2t22ddt)2sind00f(0tf()2d2dsind4t)2d00f(00因為t0時F(t)0，所以由洛必達(dá)法例，4tf()2dF(t)0lim原式=limt4t4t0t0lim4f(t)t2limf(t)4t3tt0t0limf(t)f(0)f(0).t0t0例由曲面z2x2y2和zx2y2圍成的立體，其密度為，求繞直線l:zyz旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。解先求出立體內(nèi)任一點M(x,y,z)到直線l的距離的平方d2,OMxiyjzk,l的方向向量s1,1,1，OMsy