美賽培訓(xùn)怎樣建模

1、美賽培訓(xùn)怎樣建模第1頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二參考書 1. 姜啟源等，數(shù)學(xué)建模（第三版），高等教育 出版社，2003. 4. 吳建國等，數(shù)學(xué)建模案例精編，中國水利水電出版社，2005. 2. 葉起孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)材料（、二、三），湖南教育出版社，1993，1997，1998. 3. 白其崢，數(shù)學(xué)建模案例分析，海洋出版社，2000.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)： 5. 蔡鎖章，數(shù)學(xué)建模：原理與方法，海洋出版社，2000第2頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二目錄1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型建模表1.3 建模實例 模

2、型一（簡單模型） 模型二（迎面雨模型） 模型三（背后雨模型） 模型四（改進(jìn)的背后雨模型）第3頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 建模的方法有很多，不可能一一掌握。要掌握的關(guān)鍵部分是：1、建模的一般方法和要求，了解建模的全過程；2、掌握幾個不同類型的具體案例；3、大致瀏覽了解一下各種方法所能解決的問題， 各種建模案例，以便需要時盡快查閱和參考；4、掌握一些常用的數(shù)學(xué)方法，體會和感覺實際問題是如何用上這些數(shù)學(xué)方法的。第4頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 在現(xiàn)實生活中, 人們經(jīng)常會遇到這樣的問題

3、,需要揭示某些數(shù)量的關(guān)系（如函數(shù)、方程等）、模式（如框圖等）或空間形式（圖形等）, 以期望使問題得到圓滿解決.例 價格競爭問題. 兩個加油站位于同一條公路旁,為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油, 彼此競爭激烈. 一天甲加油站推出降價銷售 吸引顧客, 結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走,影響了乙站的贏利. 利潤是受售價和銷售量的影響和控制的, 乙加油站為了挽回?fù)p失采取對策, 決定也降低售價以爭取顧客,問他們?nèi)绾螞Q定汽油的價格, 既可同甲站競爭, 又可獲取盡可能高的利潤.第5頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二要解決這樣的實際問題, 首要的工作是建立與問題相符的數(shù)學(xué)模型, 即要把實

4、際問題變成正確的數(shù)學(xué)表述, 然后在模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論求解, 分析和研究。我們將站在乙加油站的立場上為其制定價格對策。1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型需要建立一個數(shù)學(xué)模型來描述甲站汽油價格下調(diào)后乙加油站銷售量的 變化情況。為描述價格和汽油銷售量之間的關(guān)系, 引入如下一些指標(biāo):第6頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二P-汽油的正常銷售價格(元/升);L -降價前乙加油站的銷售量(升/日);w -汽油的成本價格(元/升);x -乙加油站的銷售價格(元/升);y -甲加油站的銷售價格(元/升).1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 還需要分析影響乙加油站 銷售量的因素. 它受以下幾個因素的

5、影響:(1) 甲加油站汽油降價的幅度;(2) 乙加油站降價的幅度;(3) 兩站之間汽油銷售價格之差. 此外還假定汽油的正常銷售價格保持不變, 并且假定以上各因素對乙加油站汽油銷售量的影響是線性的。第7頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型于是, 乙加油站的汽油銷售量可由下式給出L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)其中 a, b, c 是以上三個因素對乙加油站汽油銷售量影響的比例常數(shù), 且均大于零。因此乙加油站的利潤函數(shù)為R(x, y)=(x-w)L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y) 如果 y 給定, 可以求得 R(x, y) 關(guān)于

6、 x 的極大值點為（關(guān)于 x 的駐點）：x*=L+y(a+c)-P(a-b)+w(b+c)/2(b+c)即，當(dāng)甲加油站把汽油價格降到 y 元時,乙站把它的汽油價格定為 x* 時,可以使乙站獲得最高利潤。第8頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二 在數(shù)值模擬中, 令 L=2000, P=4, w=3, y=3.7, 3.8, 3.9 由于經(jīng)濟(jì)學(xué)的現(xiàn)象是難以通過試驗來實現(xiàn)的, 我們無法要求任何一個加油站頻頻調(diào)整它的銷售價格來系統(tǒng)計算不同價格下的銷售量，因此參數(shù) a, b, c 難以給出估計值, 只能是虛擬數(shù)值 a=b=1000, c=4000.1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 表1

7、.2 列出了甲加油站降價 0.1元 , 0.2元, 0.3 元時乙站的最優(yōu)銷售價格。第9頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型表1. 2 乙加油站的最優(yōu)售價及其利潤y x R(x,y) 3.9 3.65 2112.53.8 3.60 1800.03.7 3.50 1512.5 看過這個例子，我們給出數(shù)學(xué)模型和建模的基本概念（提法會不同，這里提供一種說法而已，主要意義是一樣的）： 數(shù)學(xué)模型實際上就是以 解決某個現(xiàn)實問題為目的, 做出一些必要的 簡化和假設(shè), 運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第10頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57

8、分，星期二數(shù)學(xué)模型作為一種模型，必須對現(xiàn)實問題中的現(xiàn)象作出一些必要的簡化和假設(shè)，首先要忽略現(xiàn)實問題中與數(shù)量無關(guān)的因素，其次還要忽略一些次要的數(shù)量因素。正是由于這種原因，可以說數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)關(guān)系式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來描述的一種假定情況。雖然說是描述實際問題，但與真實的實際問題還是有一定差距的。1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模就是要建立特定實際問題的數(shù)學(xué)模型，解出該模型的結(jié)果，并用此解釋實際問題，或預(yù)測該實際問題的未來狀況，或提供處理該實際問題的最優(yōu)決策或控制。第11頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二最后還要指出, 數(shù)學(xué)建模的方法與其他抽象方法是不同的。它除對現(xiàn)實問題中的事

9、物、過程和現(xiàn)象進(jìn)行抽象, 還必須要用某種文字、符號、圖形、數(shù)學(xué)公式描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系,然后對它們進(jìn)行研究、分析、試驗, 并導(dǎo)出結(jié)論.這種結(jié)論是針對特定問題的，其普遍性不如其他的抽象方法。1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型第12頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二數(shù)學(xué)建模方法與實驗方法也不同：它不要求對事物過程或現(xiàn)象本身進(jìn)行科學(xué)實驗, 只通過模擬這些事物過程和現(xiàn)象的模型進(jìn)行驗證。其驗證過程簡易，成本極低。 正因為如此, 這種數(shù)學(xué)建模方法在解決實際問題中得到了廣泛的應(yīng)用.1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型 我們已經(jīng)看到數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要手段. 那么,什么是

10、一個好的數(shù)學(xué)模型呢? 一般說來,好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備以下特點:1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型、1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型第13頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程(1) 對所給問題有較全面的考慮。1) 列舉各種因素;2) 選取主要因素計入模型;3) 考慮其他因素的影響, 對模型進(jìn)行修正.(2) 在已有模型上進(jìn)行創(chuàng)造性的改造。(3) 善于抓住問題本質(zhì), 簡化變量之間關(guān)系。（與（1）相對）。 (4) 注重結(jié)果分析, 考慮其在實際中的合理性。 (5) 具有較好的穩(wěn)定性。第14頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過

11、程在了解數(shù)學(xué)模型的特點之后,下面我們給出建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟（七步法）:(1) 明確問題(2) 進(jìn)行合理的假設(shè)(3) 建立模型。注意兩點：其一，先簡單，后完善； 其二， 要善于借鑒已有問題的數(shù)學(xué)模型.(4) 模型求解(5) 模型的檢驗與修正(6) 用模型的結(jié)果回答問題(7) 寫報告、修改、打印、校樣工作第15頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程 建立數(shù)學(xué)模型的步驟（七步法）可以用下面的框圖表示:明確實際問題 簡化、假設(shè) 建立模型模型應(yīng)用 驗證模型 模型求解寫作報告也有人用下面的(五步法)歸納建模的步驟：明確實際問題 簡化、假設(shè) ，選擇 建模方

12、法回答問題 求解模型 建立模型第16頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程 另外還有一個關(guān)于“七步法”的內(nèi)容提示的表格可以供參考：第一步 明確問題要點：選題：根據(jù) 1、 難易度, 2、自己情況 ( 如建模知識、計算機(jī)能力、理解程度、背景).目的：確定研究問題方法提示：簡易模擬、分析法、經(jīng)驗法等第17頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第二步 進(jìn)行合理的假設(shè)要點：識別問題：已知是什么: 數(shù)據(jù)、關(guān)系、事實、各種因素包括題中沒有但相關(guān); 查詢問題涉及知識、來源、信息， 它們可靠嗎? 它的各部分涉及的數(shù)學(xué):

13、內(nèi)容、算法/方法; 問題存在什么樣的解答? 要求什么? 解答形式: 數(shù)據(jù)、圖形、關(guān)系、方法、決策等;能否用一例子去類比、模擬?目的：完成問題的提出; 問題的分析; 基礎(chǔ)假設(shè); 弄清問題的特征、可能已有的模型; 掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、方法.方法提示：先簡單, 后逐步深入, 化整為零,由初等到高等; 第18頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第三步 建立模型要點：擬定建模計劃：尋找最簡單的模型/基于已有模型的推廣討論/圖解; 確定符號與單位, 比較模型與實際問題, 識別并列出相關(guān)因素, 收集數(shù)據(jù);分析并給出所需的假設(shè), 草擬關(guān)系與方程; 選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)方

14、法進(jìn)行模型設(shè)計.目的 ：建立數(shù)學(xué)模型：按某種規(guī)律建立起變量、參數(shù)間明確的數(shù)學(xué)問題.方法提示： 特殊方法(應(yīng)有重點), 常規(guī)方法.第19頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第四步 求解模型要點：求解模型：試用已學(xué)過的初等/高等數(shù)學(xué)方法; 試用了解的應(yīng)用數(shù)學(xué)/離散數(shù)學(xué)/統(tǒng)計數(shù)學(xué)方法; 試用計算數(shù)學(xué)作數(shù)值計算/近似計算; 試用軟件包/編程計算.目的：給出解法和結(jié)果：數(shù)據(jù)、表格、圖形、函數(shù)、公式.方法提示： 用各種數(shù)學(xué)方法和算法, 各種數(shù)學(xué)軟件包(Math, MathCAD, Mathcai, SPSS, MatLab, Lindo 等 ).第20頁，共

15、58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第五步 模型的檢驗與修正要點：翻譯數(shù)學(xué)解：檢查結(jié)果和計算的可靠性? 合理性? 在給定假設(shè)下, 是你所希望的最好 解嗎? 它全部的實際意義是什么?目的：描述 數(shù)學(xué)解的實際意義。方法提示： 直譯/具體數(shù)據(jù)代入/分情況分條件。第21頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第六步 對模型的評價要點：檢驗、改進(jìn)、推廣：1. 檢驗: (1) 穩(wěn)定性和靈敏度分析; (2) 統(tǒng)計檢驗和誤差分析; (3) 新舊模型的對比; (4) 實際可行性檢驗.2. 改進(jìn): (1) 能最大限度的降低數(shù)學(xué)復(fù)

16、雜性; (2) 能更符合實際? (3) 考慮次要因素對結(jié)果的影響? (4) 考慮部分重要的偶然因素的影響?第22頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.2 一個完整的建模過程3. 推廣: (1) 普適性; (2) 對數(shù)據(jù)的依賴性減弱;4. 評價: (1) 準(zhǔn)確性; (2) 實用性; (3) 方法的創(chuàng)造性; (4) 與優(yōu)秀論文標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對照.目的: (1) 模型的正確性; (2) 尋求更好的模型; (3) 若不滿足題意, 轉(zhuǎn)第2步; (4) 模型的優(yōu)缺點.方法提示：直觀檢驗法, 預(yù)測方法、隨機(jī)數(shù)學(xué)、層次分析法、統(tǒng)計綜合評價等.第23頁，共58頁，2022年，5月20日，20點

17、57分，星期二1.2 一個完整的建模過程第七步 寫報告、修改、打印、校樣工作要點：寫報告、打印論文。（對競賽要非常重視這一步的重要性）目的：完成論文及校樣,。方法提示：注意格式的規(guī)范性，文章的條理性，重點突出使得一目了然；排版軟件（如WORD、Latex）的正確使用等。我們要求一律用Office2003及其自帶的公式編輯器。第24頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二摘要是評閱人讀到的第一段信息。它應(yīng)該寫得很好，并且包括答案或結(jié)果的概要。它應(yīng)該能激起評閱人想去念你們的文章，看看你們是怎樣得到結(jié)果的。評閱人對摘要置以很大的權(quán)重，有時候獲獎?wù)撐暮推渌撐牡膮^(qū)別就在于摘要的質(zhì)量。

18、為了寫好摘要，試設(shè)想一下：評閱人是根據(jù)你們的摘要來決定要不要去念你們的文章的主體的。 寫好摘要 評閱人的評注第25頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二因此，摘要應(yīng)該清楚地陳述你們處理問題的方法，并以最顯眼的方式陳述所得到的最重要的結(jié)論。要把“基本結(jié)果和經(jīng)營管理方面的建議”放在摘要中。切記要簡潔，不要把對所用的方法的討論包括在摘要中，也不要只是把你們所做的事情流水帳地列出。只是重述競賽的試題或剪貼文章的引言的陳腐材料通常認(rèn)為是比較差的。寫好摘要 評閱人的評注第26頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二評閱重點：寫作模型方法結(jié)果將模型、方法、結(jié)果這三個主要

19、部分的分?jǐn)?shù)分配到各個子問題第27頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 下面我們給出一個例子來說明如何應(yīng)用上面所指出的過程去建立數(shù)學(xué)模型, 重點是“如何作出合理的、簡化的假設(shè)”, “用數(shù)學(xué)語言確切地表述實際問題”, 以及“怎樣用模型的結(jié)果解釋實際現(xiàn)象”。題目：建立雨中行走的數(shù)學(xué)模型1 問題的提出與分析 這是一個開放性的問題，它沒有任何數(shù)據(jù)。我們需要按照第一、第二步的提示，采用恰當(dāng)?shù)姆椒?，合理地描述（提出）、分析、識別這個問題。第28頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例問題的提出： 在雨中未帶雨傘行走, 顯然盡可能

20、快的走, 減少淋雨時間才能少淋雨。 如果考慮降雨方向的變化, 在全部距離上快跑不一定是最好策略。 我們討論如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。問題的分析： 這個問題的實際背景比較簡單,但要先分析出參與這一問題的主要因素： 1. 降雨的大小; 2. 風(fēng)的方向, 也即降雨方向; 3. 路程的遠(yuǎn)近及你跑的速度.這個問題的解答要求的是決策與數(shù)據(jù)。第29頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例為了建立本問題數(shù)學(xué)模型，要通過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，簡化問題，從最簡單的情形入手，然后逐步深入討論。假設(shè)與符號(1) 降雨的速度(即雨滴下落速度)和降水強度保持不變;(2) 人在雨中沿一直

21、線從某地跑至目的地;(3) 以定常速度跑完全程;(4) 風(fēng)速、風(fēng)向始終保持不變;(5) 把人體看成是一個長方體物體。第30頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例D (米)雨中行走的距離 ,t (秒)雨中行走的時間,v (米/秒) 雨中行走的速度;h (米)行人的身高,w (米)行人的寬度,d (米)行人的厚度;C (升)身上被淋的雨水總量,I (厘米/時)降雨的大小即降水強度(單位時間平面上的降下雨水的厚度, 由雨滴密度和降雨速度決定).第31頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例3 建模與求解（通過第三、四、五步

22、的提示建立數(shù)學(xué)模型、求解、翻譯數(shù)學(xué)解）(1) 模型一：簡單模型 首先討論最簡單情形, 即不考慮降雨角度的影響, 也就是說行走過程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水.注意：在建立模型時，特別要重視取值單位的一致性，還要區(qū)分不變的量（常量），與可以用來調(diào)節(jié)、分析的量（變量）。第32頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 在以上的假設(shè)中，身體尺寸是不變的, 從而身體被雨淋的面積 S=2(wh+dh)+wd (m2)是不變的； 行走的距離 D（米）和降水強度 I（厘米/時） 也是不變的, 它們可認(rèn)為是問題的參數(shù)。而雨中行走的速度 v （米/秒） 及雨中行走的時間

23、 t=D/v （秒）是問題中的變量?？紤]了各參量取值單位的一致性后, 可以得到在整個雨中行走期間整個身體被淋的雨水總量是 C=t(I/3600) S0.01 （m3） =(D/v) (I/3600) S10 (升)（厘米0.01m, 0.01（m3）10（升）第33頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 模型中的參數(shù)可通過觀測和日常調(diào)查資料得到. 當(dāng)降水強度 I 給定時, 從上述表達(dá)式可以看出, 被淋在身上的雨水總量與雨中行走速度成反比 現(xiàn)在問題中假設(shè): D =1000米, h =1. 50米,W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/

24、小時）. 如果一個人在雨中以可能最快的速度 v =6（米/秒） 向前跑, 則他在雨中行走時間為 t =167（秒）, 身上被淋的雨水總量是 C=167(2/3600) S 10=2.041 (升)其中 S=2. 2 (m2) 是身體被雨淋的面積. 第34頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例結(jié)果分析： 行人在雨中僅跑了 2 分 47 秒, 身上卻淋了 2 升的雨水 （ 約 4 酒瓶水）， 這是不可思議的。表明這個模型用來描述雨中行走被雨淋濕的狀況不太符合實際情。 如果淋雨面積只有身體的上方，即 S=0.50.2=0.1（m2），則淋雨總量為 C=167(

25、2/3600) S 10=0.093 (升)只有不到 2 兩（一小酒杯）的水，又太少了.第35頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 按建模程序, 需回到對問題所作的假設(shè), 考慮這些假設(shè)是否合理。我們發(fā)現(xiàn)沒重視降雨角度的影響和速度與降雨強度的關(guān)系，把問題過于簡單化了.下面考慮降雨角度并分解降雨強度為“雨滴密度與速度的乘積”：設(shè)降雨的角度（雨滴下落的反方向與行人前進(jìn)方向之間的夾角）；r (米/秒)雨滴下落的（徑向）速度;p雨滴的密度（降雨強度系數(shù)）, 它表示在某一定的時刻在單位體積的空間內(nèi)由雨滴所占據(jù)的空間的比例數(shù)；于是有 I=pr, 顯然 p1，p 較大

26、時，意味著大雨傾盆.第36頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例(2) 模型二：迎面雨模型（圖1.1） 因為雨水是迎面而來落下的, 由經(jīng)驗知道, 這時被淋的部位僅是行人的頂部和前方, 因此淋在身上的雨水分為兩部分計算.hwd在時間 t=D/v 內(nèi)淋在頂部的雨水量為C頂=(D/v) w d ( pr sin).前方表面被雨水淋到的量為C前=(D/v) w h p(r cos+v).圖 1-1第37頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例這樣在整個行程被淋雨水的總量是寫成于是，對于迎面雨（即 0=90o）, C 是 v

27、的減函數(shù), 只有當(dāng)速度取可能的最大值時 C 達(dá)到最小。第38頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 仍然沿用前面采用的參數(shù)值, 即在問題中已假設(shè):D =1000米, h =1. 50米, W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/小時）. 如果進(jìn)一步假設(shè)落雨速度是 r=4 (米/秒), 由降雨強度 I=2 (厘米/小時), 可估算出它的強度系數(shù) p=1.3910-6.把這些參數(shù)值代入上式可以得到：如果一人在雨中以可能最快的速度 v=6（米/秒） 向前跑, 則他在雨中行走時間為 t=167 (秒), 考慮在兩種情況下身上被淋的雨水總量：第

28、39頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例(1) =90o . 在這種情形下雨滴是垂直落下,由上述模型可得 即若行人以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量為 1.135 (升).問題：這里同樣沒有考慮降雨的角度，所得結(jié)果與模型一完全不同，為什么？第40頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例(2) =60o . 雨滴迎面向身上落下. 這時 此人同樣以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量為 1. 47 (升). 當(dāng) 90o180o . 雨滴從后面向身上落下，上面的模型已經(jīng)不適用，建立另外的模型如下：第41頁，共58頁，

29、2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例(2) 模型三：背后雨模型回到開始的建模過程. 如圖1-2：將速度分成兩種情況.情況1：考慮 vr sin時, 即在雨中行走速度快于雨滴的水平速度2米/秒, 這時雨水將淋在胸前.圖1-2第42頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例情況1： v r sin圖1-2第43頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例 采用數(shù)據(jù)：r=4, p=1.3910-6, D=1000, w=0.5, d=0.2, h=1.5 得情況1： v r sin1.3 數(shù)學(xué)建模實例注

30、意到：情況2中，當(dāng) tan0.133, 7.59o時淋雨量與前進(jìn)速度成正比下面做數(shù)據(jù)試驗：取 =120o, 即 =30o 角，雨從后面落在人的背上.第45頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例情況1： v r sin，例如人以 v =6（米/秒） 的速度奔跑，淋在全身的雨水總量應(yīng)為 第46頁，共58頁，2022年，5月20日，20點57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實例我們發(fā)現(xiàn)，模型三仍存在明顯的問題：（i）情況1中，當(dāng)人以 v = r sin速度向前行進(jìn)時，C后=0. 即只有上面淋雨，人的前面不淋雨合理嗎？（ii） 情況2中，當(dāng) tan0.8/6 時，淋雨量與速度成反比， 所以讓速度剛好等于落雨速度的水平分量，即 v = r sin，于是 C前=0， 即只有上面淋雨，合理嗎？從這些問題得到啟示，模型三需要改進(jìn)！問題在于我們沒有從正體上考慮下雨的速度，而只是微局部地考慮雨點的速度。第47頁，共58頁，2022年，5月20日，20點5