高中物理第4節(jié)萬有引力理論的成就講義含解析新人教必修2

1、萬有引力理論的成就一、計算天體的質(zhì)量 .地球質(zhì)量的計算(1)若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬Mm有引力,即mg=G2。qR2(2)地球質(zhì)量M= =，式中只要知道 G R g的值就能計算地球的質(zhì)量。 G2.其他天體質(zhì)量的計算(1)將行星(或衛(wèi)星)的運動近似看做勻速圓周運動，行星 (或衛(wèi)星)的向心力由萬有引力 提供。Mm2 v2 4 兀 2(2)公式： G2-=mo=叫7 = mT2 r4 兀 2r3(3)被環(huán)繞的太陽或行星的質(zhì)量：M=-。說明若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期T和半徑r,若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期T和半徑r,利用M=4兀 2r3GT2是地球的質(zhì)量。

2、做圓周運動的月球的質(zhì)量 m在等式中已消掉，要想求月球的質(zhì)量， 要考慮繞 月球做圓周運動的衛(wèi)星的運動規(guī)律。選一選若已知某行星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r,公轉(zhuǎn)周期為T,引力常量為G,則由此可求出()A.該行星的質(zhì)量B.太陽的質(zhì)量C.該行星的密度D.太陽的密度解析：選B設行星的質(zhì)量為 m太陽的質(zhì)量為 M由 粵2mr1,得M=23,r2 T ，GT2可求出太陽的質(zhì)量，不能求出行星的質(zhì)量 m和密度p ,因為不知太陽的半徑，故不能求出 太陽的密度，B正確，A、C、D錯誤。二、發(fā)現(xiàn)未知天體 .已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀，人們觀測到太陽系第七個行星一一天王星的軌道和用萬有引力定律計算出來 的軌道有一些偏差。.未知

3、天體的發(fā)現(xiàn)根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出還沒發(fā)現(xiàn)的未知天體的軌道，如海王星、冥王星就是這樣發(fā)現(xiàn)的。說明海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星“按時回歸”的意義并不僅僅在于發(fā)現(xiàn)了新天體，更重要的是確立了萬有引力定律的地位。判一判.牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，同時測出地球的質(zhì)量 （X）. “筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”是冥王星（X）課堂互動區(qū),耳 土共研究碳空有（ upatAaignat知詛僮怩課堂互動區(qū),耳 土共研究碳空有（ upatAaignatL天牯昉支和密度的計知識點一天體質(zhì)量和密度的計算2天體運動的求解方盛 工大國應劫中的濕士重士知識點一天體質(zhì)量和密度的計算1.天體質(zhì)量的計算（1）基本思路繞中心天體運

4、動的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運動，做圓周運動的天體（或衛(wèi)星）的向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關系建立方程求中心天體的質(zhì)量。（2）計算方法已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T,半彳仝為r,則由GMm n4三2 r,得r2 T2M=4 712r3 _.M=GT2 m Mm v2 _已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑和運行的線速度v,則由% = 丁，得v2rM=G 已知衛(wèi)星的線速度v和運行周期T,則由翟m年和霍中,得出v3T2兀G若已知地球的半徑 R和地球表面的重力加速度 g,根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ?Mm一gR2體的引力得mgr G 斛得地球質(zhì)重為 Mh-k。R2G2.天體密度的

5、計算M若天體的半徑為 R,則天體的密度 p =4方法一：利用天體的重力加速度由mgk GR學口 P =4 M ,得p = 4FGR其中g(shù)為天體表面的重力加速度 )鼻兀R3 3方法二：利用天體的衛(wèi)星設衛(wèi)星繞天體運動的半徑為 r,周期為T,則對衛(wèi)星而言，萬有引力提供向心力,Mm 4 % 2Gr2-mT2又由p =4，代入上式得 p-Tt R333 71r3GT2R33兀當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑 R則pGI2典型例題例1.月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為 T,軌道半徑為r,地球半徑為 R引力常量為 G請寫 出地球質(zhì)量和地球密度的表達式。解析對月球由萬有引力定律及牛頓第二定律得：詈也同

6、;；”則地球的質(zhì)量:4兀 2r3M=GT2GT2R3GT2R3地球的密度:M 3 71r3答案見解析即時鞏固1 .“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導星。如圖所示，若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期為 T,已知引力常量為 G半 徑為R的球體體積公式 V= 4兀R,則可估算月球的()3A.密度B.A.密度B.質(zhì)量C.半徑 D.自轉(zhuǎn)周期解析：選A由萬有引力提供向心力有GMm n4T22r,由于在月球表面附近軌道有r 解析：選A由萬有引力提供向心力有 4Q 3Tt.由球體體積公式 V= - r R,聯(lián)立解得月球的華度p =刀 AIE確。3GI2天體運動的

7、求解方法1,應用萬有引力定律解題的兩條思路(1)萬有引力提供天體運動的向心力Mm4兀2Mm4兀22mr = mw r。(2)黃金代換在天體表面上，天體對物體的萬有引力近似等于物體的重力,rr Mm即(2)黃金代換在天體表面上，天體對物體的萬有引力近似等于物體的重力,rr Mm即Gr2= mg從而得出GM=R2g。2.幾個常用公式(2)Mm由郡=nv2-可得v = r2 rGM丁，r越大，v越小。(2)Mm由郡=nv2-可得v = r2 rGM丁，r越大，v越小。r越大，w越小。Mm2日Gr= mo r 可得 w r27tmT 2r 可得 T= 2Gm r越大，T越大。ma可彳#a=GM r越大

8、,a越小。M .43(5)輔助公式：P = / v=.兀R。V 3典型例題例2.（2016 巴中高一檢測）據(jù)報道，天文學家發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“ 55 Cancri e ”。該行星繞母星（中心天體）運行的周期約為地球繞太陽運動周 ,1期的赤，母星的體積名為太陽的60倍。假設母星與太陽密度相同，55 Cancri e ”與地480球均做勻速圓周運動，則55 Cancri e ”與地球的（）A.軌道半徑之比約為B.軌道半徑之比約為A.軌道半徑之比約為B.軌道半徑之比約為3 C.向心加速度之比約為.60X4802D.向心加速度之比約為 360X480Mm斛析由公式% =2 氏

9、 23 GMT2 r1懺可得通式=Mm斛析由公式% =2 氏 23 GMT2 r1懺可得通式=寸口 則不T2 3T2604802從而判斷A錯誤，B正確；再由M 1 M1ma信通式2=電，則瓦=而r2?3 M1 T4歷=M2, T460X4804,所以 C D錯誤。答案B60X4804,所以 C D錯誤。答案B點評應用萬有引力定律應注意的問題（1）衛(wèi)星的an、V、3、T與衛(wèi)星的質(zhì)量無關，僅由被環(huán)繞的天體的質(zhì)量 決定。M和軌道半徑r（2）應用萬有引力定律求解時還要注意挖掘題目中的隱含條件，如地球的公轉(zhuǎn)周期是 365天，自轉(zhuǎn)一周是24小時，其表面的重力加速度約為9.8 m/s 2。即時鞏固2.質(zhì)量為

10、m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動。已知月球質(zhì)量為 M月球半徑為R,月球表面重力加速度為 g,引力常量為G,不考慮月球自 轉(zhuǎn)的影響，則航天器的（）A.線速度A.線速度v =B.角速度w =-gRC.運行周期D.向心加速度C.運行周期D.向心加速度Gm a= a R2解析：選 A由萬有引力提供向心力可得 GMm ma= nv2= m 2R= nrR,忽略月球自轉(zhuǎn)時，有GR；mg聯(lián)立各式解得相關物理量后可判斷A正確。知識點三天體運動中的雙星模型知識點三天體運動中的雙星模型1.雙星模型宇宙中往往會有相距較近、 質(zhì)量相差不多的兩顆星球，它們離其他星球都較遠， 因此其他星球

11、對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動，這種結(jié)構(gòu)叫做雙星系統(tǒng)。2.雙星模型的特點典型例題例3.宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。設二者的質(zhì)量分別為m和m,者相距為L,求：(1)雙星的軌道半徑之比;(2)雙星的線速度之比。解析這兩顆天體必須各以一定速率繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有引力作用而吸 引到一起，所以兩天體間距離L應保持不變，二者做圓周運動的角速度3必須相同。如圖所示，設二者軌跡圓的圓心為Q圓半徑分別為 R和R。由萬有引力提供向心力有m1m2 2

12、G-L2-= mco Rmco 2Rmco 2R(1)兩式相除，得R1 m2R2-m1v1 R1 m2(2)因為 v= w R 所以=- v2 R2 m1答案(1) m ： m (2) m ： m點評雙星模型的解題思路(1)要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的向心力來源。(2)要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運動時的運動參量的關系。(3)要明確兩子星圓周運動的動力學關系。設雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M和M,相距為L, M和M的線速度分別為 V1和V2,角速度分別為3 1和03 2,由萬有引力定律和牛頓第二定律得，對M有GM1 M2 = M1產(chǎn)=Meo 2L2 r1M1 M2 一 v21 ,對M有GL2-=M r2-=M W