實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法解讀

1、【摘要】?jī)?yōu)缺點(diǎn)?！娟P(guān)鍵詞】 誤差；數(shù)據(jù)處理；作圖法；最小二乘法；逐差法Physics is an experimental science, New concepts in physics, the discoveryof new rules rely on trial and error, The experimental data processing，Need to selectthe appropriate treatment of the experimental data，To more accurately reflect theobjective results，Reduce

2、errors. This article describes the experimental dataprocessing involved in some of the basic concepts Summary of experiments focusedon the physical data processing methods commonly used. And pointed out theadvantages and disadvantages of each applicable condition.Keywords:Error; Data Processing；Mapp

3、ing；Least squares；By subtraction【引言】 數(shù)據(jù)處理是指由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù), 必須經(jīng)過(guò)科學(xué)的分析和處理, 才能小二乘法、逐差法等。本文將分別對(duì)這些方法進(jìn)行了介紹。一、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中涉及到的基本概念第 1 頁(yè)量，尤其具有重要意義。以下將對(duì)一些重要概念進(jìn)行介紹。1 .真值及約定真值真值有多種定義，如“被測(cè)量本身所具有的真實(shí)大小稱為真值。 ” “如果實(shí)1體的真值?！?正在研究某量時(shí)所處的條件下嚴(yán)格的確定的量值?！?由此可見，23真值是客觀存在的，但也還是一個(gè)理想的概念，通常是不可確切知道的。誤差條件下的算術(shù)平均值、標(biāo)稱值、校準(zhǔn)值、理論值、公認(rèn)值等均可作為約定真值來(lái)使用。2

4、.影響量和干擾量與待測(cè)的量有一定函數(shù)關(guān)系的另一種性質(zhì)的量 。例如在測(cè)量電阻時(shí)，由于多數(shù)9來(lái)的影響可以在測(cè)出影響量的大小后，按其函數(shù)關(guān)系從測(cè)量結(jié)果中加以消除。為干擾量 。為了保證測(cè)量的準(zhǔn)確度，在安排測(cè)量條件時(shí)，要消除影響量和最大9限度減小干擾量。3.精度因此可用誤差的大小來(lái)表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度高低。精密度：它反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度準(zhǔn)確度：它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度征可用測(cè)量的不確定度（或極限誤差）來(lái)表示。 用一種打靶的例子，可以更好4的理解和掌握，如下圖：第 2 頁(yè)（）精密度高、準(zhǔn)確度低b）準(zhǔn)確度高、精密度低（）精確度高圖1 4.誤差測(cè)量值減去真值為測(cè)量

5、值的誤差，即:測(cè)量值真值誤差 x =x-a，與 a 的比值 = /a 稱為相對(duì)誤差。對(duì)誤差的來(lái)源可以概括為四個(gè)方面4：1，r測(cè)量裝置誤差，這里面分三個(gè)方面來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)量具誤差：以固定形式復(fù)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量具的器具，如標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)先問(wèn)吃、標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等，它們本身體現(xiàn)的量值，不可避免的都還有誤差。b，儀器誤差：凡用來(lái)直接或間接將被測(cè)量和已知量進(jìn)行比較的儀器設(shè)備，稱為儀器或儀表，如天平、壓力表、溫度計(jì)等，它們本身都具有誤差。c，附件誤差：儀器的附件及附屬工具，如測(cè)長(zhǎng)儀的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)，千分尺的調(diào)整量棒等的誤差，也會(huì)引起測(cè)量誤差。2，環(huán)境誤的變化所造成的誤差，如溫度、適度、氣壓、振動(dòng)、照明、重力加速

6、度等所引起所增加的誤差稱為附加誤差。3如測(cè)量一個(gè)軸的直徑d s ，因近似數(shù) 取值的不同，將會(huì)引起誤差。4，人員數(shù)誤差，以及實(shí)驗(yàn)室的疏忽等所引起的誤差。總之，在計(jì)算測(cè)量結(jié)果的精度時(shí)，對(duì)上述四個(gè)方面的誤差來(lái)源，必須進(jìn)行全面的分析，力求不遺漏，不重復(fù)，特別是對(duì)誤差影響較大的哪些因素。4.1 系統(tǒng)誤差第 3 頁(yè)先看兩個(gè)例子 1）用一個(gè) 2.5 級(jí) 01A 的安培計(jì)測(cè)一回路的電流強(qiáng)的 I 為50.73A，而用另一個(gè) 0.5 級(jí) 01A 的安培計(jì)測(cè)同一回路電流為 0.716A;（2）用一74.2519g，物體與砝碼交換后則為 74.2501g12）是由于天取平均值去消除。是恒定的，此類誤差稱為系統(tǒng)誤差。對(duì)

7、系統(tǒng)誤差的研究主要是：（1） 探索系統(tǒng)誤差的來(lái)源，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案消除或消減該項(xiàng)誤差。（2） 估計(jì)殘存系統(tǒng)誤差的可能的范圍。54.2 偶然誤差在同一條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，各次測(cè)量值一般不完全相同，用的結(jié)果，在測(cè)量前不能得知測(cè)得值將偏大或偏小。. 這里以測(cè)單擺周期的實(shí)驗(yàn)為例：用手控制數(shù)字毫秒計(jì)，測(cè)量一擺的周期共100 次，測(cè)量值的大小變化不定，似乎沒(méi)有規(guī)律，其實(shí)這種偶然現(xiàn)象服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?，F(xiàn)將測(cè)得值分布的區(qū)域分為 9 個(gè)區(qū)間，統(tǒng)計(jì)各區(qū)間內(nèi)測(cè)量的個(gè)數(shù)N ，以測(cè)i量值為橫坐標(biāo)，N /N 為縱坐標(biāo)（N為總數(shù)）作統(tǒng)計(jì)直方圖，圖2 是一次實(shí)驗(yàn)的5i部分。第 4 頁(yè)在上述測(cè)量之后，用光電門控制一臺(tái)數(shù)字

8、毫秒計(jì)去測(cè)同一個(gè)擺的周期，測(cè)10 次，測(cè)量值分布在 1.866s 到 1.868s 的小區(qū)域中，由于此時(shí)的偶然誤差顯著小T 0然誤差作如下的統(tǒng)計(jì)，取T =1.8670s，則0T -T （0）占 48%占 52%i0T -T 0（0）i0多次測(cè)量均有同上相似的結(jié)果，因而得出如下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：（1） 每次測(cè)量的偶然誤差是不確定的。（2） 出現(xiàn)正號(hào)或負(fù)號(hào)偶然誤差的機(jī)會(huì)相近。（3） 出現(xiàn)絕對(duì)值小的偶然誤差的機(jī)會(huì)多一些。5 .算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差5.1 算術(shù)平均值設(shè) n 次測(cè)量值x ，x ，, x 的誤差為 ， ， ，真值為 ，則12n12n(x -a)+(x a)+(x -a)= + +12n12n將上式

9、展開整理后，兩側(cè)除以 n，得11(x +x +x )-a= ( + + )n12n12nnn 越大，算術(shù)平均值越接近真值。因此可以用算術(shù)平均值作為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。5.2 標(biāo)準(zhǔn)偏差s，n ( )x x2i它的定義是為s=n1第 5 頁(yè)n 為測(cè)量值個(gè)數(shù)。例，比如有如下兩組數(shù)值：表 AB2.12.12.62.42.82.72.92.93.03.13.23.43.73.7兩組數(shù)值都在 2.1 到 3.7 之間，平均值都是 2.9，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差為s =0.4970.50As =0.5570.56，可以看出 A 組數(shù)比較像中間集中，B 組數(shù)則稍差，表現(xiàn)除它們B分散上的差異。6有效數(shù)字字。例如用一最

10、小分度1mm 的尺，測(cè)得一物體的長(zhǎng)度為7.62cm，其中7 和 6 是 2 即這一位不一定是 2，只是近似的，但是還是一位有效數(shù)字。在實(shí)際取舍時(shí)按照實(shí)驗(yàn)條件以及題目要求為參考。使用有效數(shù)字規(guī)則時(shí)的注意事項(xiàng)： （1）物理公式中的有些數(shù)值，不是實(shí)51驗(yàn)測(cè)量值。例如，測(cè)量圓柱體的直徑d 和長(zhǎng)度 l 求體積 V的公式 2 中的 d lV4141不是測(cè)量值，在確定 V 的有效數(shù)字位數(shù)時(shí)不必考慮 2）對(duì)數(shù)運(yùn)算43）首位數(shù)是 8 或 9 的 m 位數(shù)值在乘除運(yùn)算中，計(jì)算4）有多個(gè)數(shù)值參加運(yùn)算時(shí)，在運(yùn)算中途應(yīng)比按有效4）數(shù)值的修約規(guī)則：開始要舍去的第一位數(shù)是 1、2、3、4 時(shí)就舍去；是6789 時(shí)在舍去時(shí)進(jìn)

11、 1。要舍去的一位是5，而保留的最后一位是奇數(shù)，則舍去5 進(jìn) 1，是偶數(shù)則舍去5 不進(jìn)位，但是5 的下一位不是 0 是仍然要進(jìn)位。5第 6 頁(yè)二、物理實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理與分析方法結(jié)。1. 列表法把數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格，可使物理量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)明、醒目，1）表格設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)單明了，便23）各量排列順序盡量與7。這種方法了，在處理數(shù)據(jù)是一目了然。如表22123.2. 分組計(jì)算法設(shè)變量 xy間存在 y=a+bx n 次測(cè)量有y abx v 111y abx v222.y abx v nnn式中v 表示測(cè)量誤差?，F(xiàn)在將 n 組測(cè)量分為前后兩部分，從中取對(duì)應(yīng)的兩組：i第 7 頁(yè)y abx v

12、iiiy abx vininin222略去誤差項(xiàng)，解出 、b 的近似值：y yib in2x xiiin2(y y )b(x x )iiia iinin222n這樣可的 個(gè)a 和b ，再求a、 ( )和b、 ( )。如 n 為奇數(shù)，中間數(shù)可公用。s a s b2ii3最小二乘法5假設(shè)變量 xy間存在直線關(guān)系 ，參量b 分別為 y軸截距和斜率，當(dāng)將測(cè)量值(x ,y )帶入此式時(shí)，由于存在測(cè)量誤差 y abx ，引入誤差項(xiàng)v 后iiiii有y abx v ， 或 v y (abx ) ，對(duì) n 次測(cè)量，可有iiiiiiv y (a )111v y (a )222v y (a )nnn由于 n 個(gè)方

13、程中有 n+2 個(gè)未知數(shù)，所以不能從解聯(lián)立方程組求出 、b 值。設(shè) y v 極小值條件下求出的參量 、2i v2 ab 之值 、 為最佳擬合值，即從y a bx ( ) ，0 ，2v2iaiiia by n v2x 0 得解此聯(lián)立方程組，得iii babx y ix x2iii xy x x y 2aiiiii n x ( x )22 iin x y x ybiiii n x ( x )22ii第 8 頁(yè) 2s ( x ) x ( x) n22x xiii 2令 s ( y ) y ( y) n22y yiii x xs ( x )( y )y nix yiiiiiba b， 。y x則由及，

14、又可得出 s sxyxx為了反映變量、y 間的線性關(guān)系的密切程度，常用關(guān)聯(lián)系數(shù) r 來(lái)描述，其(x x)(y y)ss sr估算式為ii (x x)2(y y)212 iir從理論上講，r0就應(yīng)該承認(rèn) xy之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，但是由于 值r是從較少的數(shù)據(jù)中求出的，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于一定的n 值， 要在大于某一臨界值r 時(shí)，才可以認(rèn)為存在線性相關(guān)關(guān)系。下表給出了各 n 值的r 值。臨臨表 3 各 n 值的r 值5臨n3456789r0.998 0.990 0.950 0.917 0.874 0.834 0.79810 11 12 13 14 15 160.765 0.735 0.708

15、0.684 0.661 0.641 0.62317 18 19 20 21 220.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537臨nr臨nr臨可以證明參量 、 的標(biāo)準(zhǔn)偏差s 、s 和 y的標(biāo)準(zhǔn)偏差s 之間的關(guān)系為aabys sbsyxx2abr21 (y x )S s 1 2ii1 2x2n2n2ys sain b2 br1結(jié)合和 二式，sn2 rb第 9 頁(yè)4 . 作圖法的問(wèn)題：(1)標(biāo)的橫軸為自變量，縱軸為因變量。一般是以被測(cè)量為變量，但有時(shí)為們所需要的。 x 的變化范圍是從a到 b，則將坐標(biāo)原點(diǎn)在取在 a a距 x 在 x 的零點(diǎn)出，則坐標(biāo)紙上將出現(xiàn)很大的空白區(qū)域，

16、白白浪費(fèi)了坐標(biāo)紙。標(biāo)軸的分度要和測(cè)量的有效數(shù)字位數(shù)對(duì)應(yīng)，坐標(biāo)紙的一小格表誤。和 y軸二變量的變化范圍（bd度應(yīng)該相差不大，最多也不要長(zhǎng)過(guò)一倍。注明 x、y 軸代表的測(cè)定量及單位，按測(cè)量數(shù)據(jù)標(biāo)出坐標(biāo)點(diǎn)。4.1 在我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系，這類問(wèn)題有兩種不同的情況：（1）已知兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的形式，但是其中有位置參量；如果兩個(gè)變量xy y=a+bx 則可用n組測(cè)量值(x ,y )ii作圖，所得直線的截距即參量 ，斜率是參量 b。但是實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)變量的關(guān)系往往不是直線，例如，彈簧振子的振動(dòng)周期 T 和所負(fù)載 m 的關(guān)系為m cmT ， 式中m 為彈簧自身的重量，c 和 k 是待定參量。測(cè)量不0k0同

17、m 對(duì)應(yīng)的 T，可以作Tm 圖線，圖3 為一例。由于它是曲線，因而無(wú)法從圖 22改成 T ( () T 與 m T -m 直線2022kk第 10 頁(yè)4 cm22（圖 4 b，則a=， b=由此可求0kk出 k 和 c值。即對(duì)于非線性函數(shù)，要通過(guò)變換變量使之成為線性函數(shù)，再用作圖法求出截距和斜率，進(jìn)而確定待定參量。2 mTm非線性函數(shù)如何變換要看函數(shù)的形式，例如：y ae lnylnaxEx1y R yRRE xxyy axbx ax2x上列式中的括號(hào)為變換后的變量。（2）兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的形式尚未知時(shí)確定了；當(dāng)?shù)玫降氖乔€時(shí)，就要分析曲線的形式，參照已知的函數(shù)曲線，給出假定的函數(shù)式，再用上述

18、（1）中處理非線性函數(shù)的方法，使之線性化，但這樣做不一定一次就成功，可能要反復(fù)幾次才可得出較好的結(jié)果4。U式為 ，式中 U 為電壓，I 為電流，R 微電阻，測(cè)量數(shù)據(jù)見表 4，用所測(cè)量RI的結(jié)果畫圖如圖（5第 11頁(yè)表4 物理量（）I(A)12345678910 在直線上取兩點(diǎn)，（0.600,0.223（1.500,0.553,利用作圖法進(jìn)行處理，I I0.5530.223求得斜率 K 圖210.367 ，求 K 值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，由于圖UU 1.5000.60021K =0.367，所以作圖法擬合直線為 將表 4 中的 U代入得表 5圖表5 I值物理量12345678910（） =0.367UII

19、(A)I I II0 . 0 0 0 2 92n 0. 0 0 56 0 .0 0 準(zhǔn) 偏 差K圖I 的 偏 差 in10 1Ii1n100.00570.0062圖 1012.36115.26nn UnI( U)22i1i1下面再估算讀取數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差.由于坐標(biāo)紙最小分格之間人眼無(wú)法辨別具體第 12 頁(yè)I I數(shù)據(jù),因此存在視覺(jué)誤差U 、I ，K 圖21UU21推出：K( ) ( ) 21212 21，假設(shè)每次讀取的誤I IU UII1UU圖KI IU UI I2U U圖2121121差相同，且為坐標(biāo)紙最小分格的一半則U =0.005 ，I =0.0025代入數(shù)據(jù)得： K (圖) 可見作圖法在

20、圖上 ,求斜率K 時(shí)，從直線上取圖的兩點(diǎn)距離較近的話,產(chǎn)生的誤差就更大。利用最小二乘法處理數(shù)據(jù)，求斜率 K 值，由U =1.0736，U =1.2356，2乘2=1.1526，I =0.395，UI =0.4546，UI =0.424，得：UI UI 0.45460.424UK 乘0.3670.37 。求 K 值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，由1.23561.15262乘U2UK =0.37得到最小二乘法擬合曲線為 ，將表 4 中的 U代入的表 6乘表 6 數(shù)據(jù)列表物理量12345678910（） =0.367UII(A)I I II12nI的偏差 in1 1Ii1n10K 的偏差 0.00590.007 1012.36115.26乘K乘nn UnI( U)22i1i1小結(jié)：K =0.3670.01，K =0.3670.007，即最小二乘法擬合的直線較精確。圖乘5 .逐差法第 13 頁(yè)8。但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)卻對(duì)逐差法有著影響，是偶數(shù)對(duì)