數(shù)學(xué)建模排隊論2

1、定義：設(shè) 為一個隨機過程，若N(t)的概率分布具有以下性質(zhì)： (1)假設(shè)N(t)=n，則從時刻t到下一個顧客到達時刻止的時間服從參數(shù)為 的負指數(shù)分布； (2)假設(shè)N(t)=n，則從時刻t到下一個顧客離開時刻止的時間服從參數(shù)為 的負指數(shù)分布； (3)同一時刻是只有一個 顧客到達或離去。 則稱 為一個生滅過程。 二、生滅過程10nn-1n+1平穩(wěn)生滅過程系統(tǒng)狀態(tài)n平衡方程：“流入=流出”系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時：的分布系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時：其中平衡方程： 當(dāng) 收斂時才有意義 已知: 顧客到達間隔時間分布, 服務(wù)時間分布. 求:隊長: Ls - 系統(tǒng)中的顧客數(shù). 排隊長(隊列長): Lq - 隊列中的顧客數(shù)

2、. Ls = Lq + 正在接受服務(wù)的顧客數(shù)逗留時間: W s- 顧客在系統(tǒng)中的停留時間 等待時間: Wq - 顧客在隊列中的等待時間. Ws = Wq + 服務(wù)時間忙期, 損失率, 服務(wù)強度.排隊問題的求解三.單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)分析 1、 M/M/1模型2、 M/M/1/N/ 模型(即系統(tǒng)的容量有限)3、 M/M/1/ /m 模型（即顧客源為有限）顧客源排隊系統(tǒng)排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)機構(gòu)排隊規(guī)則服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)后離去1、M/M/1模型無限輸入過程服從參數(shù)為 的負指數(shù)分布單隊隊長無限先到先服務(wù)服務(wù)時間服從參數(shù)為 的負指數(shù)分布生滅過程7 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）8 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M

3、/1(M/M/1/）關(guān)于 的幾點說明：顧客平均到達率顧客平均服務(wù)率一個顧客服務(wù)時間一個顧客到達時間服務(wù)強度即顧客的顧客平均到達率小于顧客平均服務(wù)率時，系統(tǒng)才能達到統(tǒng)計平穩(wěn)。系統(tǒng)中至少有一個顧客的概率；服務(wù)臺處于忙的狀態(tài)的概率；反映系統(tǒng)繁忙程度（2）系統(tǒng)的運行指標(biāo) 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）10（2）系統(tǒng)的運行指標(biāo) 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）11（3）運行指標(biāo)之間的關(guān)系這公式很重要，一定要記清楚！ 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）12平均忙期 B , 忙期出現(xiàn)的概率平均閑期 I , 閑期出現(xiàn)的概率 (1-)忙期 B : 閑期 I = : (1-)平均閑期 I = 1

4、 / 閑期的分布與顧客到達時間間隔的相同-服從參數(shù)為的負指數(shù)分布計算有關(guān)指標(biāo)忙期與閑期 1-P0=平均忙期 B , 忙期出現(xiàn)的概率平均閑期 I , 閑期出現(xiàn)的概率 (1-)忙期 B : 閑期 I = : (1-)平均閑期 I = 1 / 平均忙期 B = ( / (1-) / = 1/( - )計算有關(guān)指標(biāo)忙期與閑期 與逗留時間Ws相同!?例：某醫(yī)院手術(shù)室每小時就診病人數(shù)和手術(shù) 時間的記錄如下：到達的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計 100完成手術(shù)時間 出現(xiàn)次數(shù) r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.

5、6 17 0.60.8 9 0.81.0 6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合計 100解：到達的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計 100每小時病人平均到達率（人/小時）解：到達的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計 100每小時病人平均到達率（人/小時）每次手術(shù)平均時間（小時/人）每小時完成手術(shù)人數(shù)（平均服務(wù)率）（人/小時）完成手術(shù)時間 出現(xiàn)次數(shù) r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.6 17 0.60.8 9 0.81.0

6、6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合計 100解：服務(wù)臺N321顧客源.隊列離去（容量有限的單服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)）被拒絕2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/192022年9月27日2 系統(tǒng)容量有限制的情形 (M/M/1/N/FCFS）狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程N-1N2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/212022年9月27日2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/系統(tǒng)的運行指標(biāo):222022年9月27日2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/系統(tǒng)的運行指標(biāo):232022年9月27日 顧客總體有m個顧客，實際上系統(tǒng)中顧客數(shù)永不會超過m，即與模型M/M/1/ m /m的意義相同。服務(wù)臺321顧客

7、源隊列離去顧客源有限的單服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)m個3、顧客源為有限的：M/M/1/m242022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/1/m系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程：252022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/1/m262022年9月27日 等待時間正常運轉(zhuǎn)的平均設(shè)備臺數(shù)計算有關(guān)指標(biāo)282022年9月27日 研究單隊、并列的c 個服務(wù)臺的情形，主要有三種形式：（1）標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/（2）系統(tǒng)容量有限的：M/M/c/N/（3）顧客源有限的：M/M/c/m321顧客源離去標(biāo)準(zhǔn)的c個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)服務(wù)臺2服務(wù)臺c C個服務(wù)臺1隊列四、多服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)292022年9月27日四、多服

8、務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/302022年9月27日（1）系統(tǒng)的各狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖：系統(tǒng)狀態(tài)概率平衡方程：1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/312022年9月27日1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/322022年9月27日1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/（2）系統(tǒng)的運行指標(biāo) 某售票所有三個窗口，顧客到達服從Poisson過程，到達 = 0.9 人/分鐘，服務(wù) =0.4人/分鐘。設(shè)顧客到達后依次排成一隊向空閑的窗口購票，如圖 a. 圖 a 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9M/M/c型系統(tǒng)和c個M/M/1型系統(tǒng)的比較思考題：一個M/M/c/系統(tǒng)與c個M/M/1/系統(tǒng)比較哪一個效

9、率高？圖 aM/M/c型系統(tǒng)和c個M/M/1型系統(tǒng)的比較 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9圖 b 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9 以上例說明,設(shè)顧客到達后在每個窗口前各排一隊(其它條件不變),共三隊,每隊平均到達率為: 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9圖 bM/M/c型系統(tǒng)和c個M/M/1型系統(tǒng)的比較 模型指標(biāo) M/M/33個(M/M/1)P0LqLsWsWq必須等待概率0.07481.703.954.39 (分鐘)1.89

10、(分鐘)0.570.25 (子系統(tǒng))2.25 (子)9.00 (整)10 (分鐘)7.5 (分鐘)0.75結(jié)果比較M/M/c型系統(tǒng)和c個M/M/1型系統(tǒng)的比較372022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/N321顧客源離去容量有限的c個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)服務(wù)臺2服務(wù)臺c C個服務(wù)臺1隊列客滿拒絕進入382022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/系統(tǒng)狀態(tài)概率平衡方程：392022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/402022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/c/m321顧客源離開顧客源有限c個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)服務(wù)臺2服務(wù)臺c C個服務(wù)臺1隊列m個41

11、2022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/c/m 類似地還有M/M/c/N/m, M/M/c/m/m, M/M/c/c/m 等情況，可作相應(yīng)的討論。3、顧客源為有限的：M/M/c/m422022年9月27日2 標(biāo)準(zhǔn)的 M/M/c /N/ 模型狀態(tài)圖是多服務(wù)臺和容量有限的綜合平衡方程你會嗎?1 排隊系統(tǒng)最優(yōu)化問題2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率3 M/M/c 模型中最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)c四.經(jīng)濟分析排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計最優(yōu)化：(靜態(tài)優(yōu)化問題)設(shè)備達到最大效益系統(tǒng)控制最優(yōu)化：(動態(tài)優(yōu)化問題) 如何運營使某個目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。1 排隊系統(tǒng)最優(yōu)化問題服務(wù)水平總費用等待費用服務(wù)費用費用極小點2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率單位時間的費用Cs：當(dāng) 時服務(wù)機構(gòu)單位時間費用Cw：每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費用標(biāo)準(zhǔn)的/M/M/1模型單位時間的純利潤G：每服務(wù)1人可得的收入（已知）標(biāo)準(zhǔn)的/M/M/1/N模型2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率單位時間的純利潤G：單位時間每