穩(wěn)定性理論及其應(yīng)用學(xué)習(xí)總結(jié)

1、大連民族學(xué)院穩(wěn)定性理論及其應(yīng)用-非線性系統(tǒng)學(xué)習(xí)感悟所屬院系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院所屬班級(jí)：聯(lián)合培養(yǎng)141班：學(xué)號(hào)：穩(wěn)定性理論及其應(yīng)用-非線性系統(tǒng)學(xué)習(xí)感悟?qū)τ诜蔷€性控制系統(tǒng)的學(xué)習(xí)我對(duì)其基本特性及應(yīng)用思想進(jìn)行了 解。非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不滿足疊加原理或其中包含非線性環(huán)節(jié)。 包括非本質(zhì)非線性（能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線 性）和本質(zhì)非線性（用小偏差線性化方法不能解決的非線性）。它與 線性系統(tǒng)有以下主要區(qū)別：線性控制系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡點(diǎn)或無(wú)窮多的平衡點(diǎn)。但非線性系統(tǒng) 可以有一個(gè)、二個(gè)、多個(gè)、以至無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)。非線性系統(tǒng)與線性 定常系統(tǒng)明顯不同，其穩(wěn)定性是針對(duì)各個(gè)平衡點(diǎn)而言的。通常不能說(shuō)

2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何，而應(yīng)說(shuō)那個(gè)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的。在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與外 作用及初始條件無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 有關(guān)外，還與外作用及初始條件有關(guān)。由于非線性控制系統(tǒng)與線性 控制系統(tǒng)有很大的差異，因此，不能直接用線性理論去分析它，否則 會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。對(duì)非線性控制系統(tǒng)的分析，還沒(méi)有一種象線性控 制系統(tǒng)那么普遍的分析、設(shè)計(jì)方法。除了以上的主要特點(diǎn)外，也具有以下特性，在非線性系統(tǒng)中，除了 從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外，往往即使無(wú)外作 用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅震蕩。輸 入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的

3、穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和 穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來(lái)描 述系統(tǒng)的固有特性。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不 具有與輸入相同的函數(shù)形式。非線性系統(tǒng)采用非線性微分方程描述，至今尚沒(méi)有統(tǒng)一的求解方 法，其理論也還不完善。為了更好的描述分析非線性系統(tǒng)，我們根據(jù) 非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，總結(jié)了非線性系統(tǒng)工程上常采用的方法有：線性化近似法對(duì)于某些非線性特性不嚴(yán)重的系統(tǒng)，或系統(tǒng)僅僅只研究平衡點(diǎn) 附近特性時(shí)，可以用小偏差線性化方法，將非線性系統(tǒng)近似線性化。分段線性近似法將非線性系統(tǒng)近似為幾個(gè)線性區(qū)域，每個(gè)區(qū)域有對(duì)應(yīng)的線性化微 分方程描述。相平面法相平面法是非線性

4、系統(tǒng)的圖解分析法，采用在相平面上繪制相軌 跡曲線，確定非線性系統(tǒng)在不同初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。該方法 只適用最高為二階的系統(tǒng)。描述函數(shù)法描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率特性法的推廣，采用諧波線性化將非 線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，應(yīng)用頻率法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn) 定性和自持振蕩。該方法適用于非線性系統(tǒng)中線性部分具有良好的低 通濾波特性的系統(tǒng)。通過(guò)對(duì)描述函數(shù)學(xué)習(xí)我們可以知道描述函數(shù)的應(yīng)用條件：非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)n和一個(gè)線 性環(huán)節(jié)G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關(guān)系是奇對(duì)稱的，即心)=r(F，以保 證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性

5、部分G(s)具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié) 在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。我們知道描述函數(shù)的定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸 入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用M*)來(lái)表示。N (A) = % e 州= A： + B1 Zarctg A AAB顯然，中產(chǎn)0時(shí)，N(A)為復(fù)數(shù)。那么我們就可以通過(guò)描述函數(shù)來(lái)對(duì)非線 性系統(tǒng)作近似化分析。其中組合非線性特性的描述函數(shù)具有以下特 性：非線性特性的并聯(lián)：若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于 個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)：兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特 性的描述函數(shù)并不等于個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)描述

6、函數(shù)的乘積。而是應(yīng)該先求出 這兩個(gè)串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性 特性的描述函數(shù)。在用描述函數(shù)法研究的非線性系統(tǒng)應(yīng)該是如下結(jié)構(gòu)。在上述所示的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分n可以用描述函數(shù)N(A)表示，線性部分G(s)則用頻率特性G(加)表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性(加)如下其閉環(huán)特征方程為0（加）其閉環(huán)特征方程為0（加）=j = N（A）G（加）R（加）1 + N （A）G （加）1 + N （A）G （加）=0從而有上式-1N (A)稱為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。下圖給出了常見(jiàn)非線性函數(shù)的負(fù)倒描述函數(shù)_1N(A)曲線，其中箭 頭表示了幅值a的增大方

7、向。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是：若G(網(wǎng)曲線不包圍-1N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若G(網(wǎng)曲線包圍-1N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若G(沁)曲線與-1N(A)曲線相交，理論上將產(chǎn)生振蕩，或稱為 自激振蕩。ImImImT； N （A）穩(wěn)定G（加）ReRe不穩(wěn)定G （網(wǎng)1N （AImImImT； N （A）穩(wěn)定G（加）ReRe不穩(wěn)定G （網(wǎng)1N （A）不穩(wěn)定G （網(wǎng)-1N （A）Re-1N （A）振蕩MMReG （加）由上述分析可知，當(dāng)線性部分的頻率特性G(加)與負(fù)倒描述函數(shù)曲 線-1 N(A)相交時(shí)，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。其中產(chǎn)生自激振蕩的條件為G (加

8、)=- N (A)可以改寫為G (加)N (A) = -1 = e - j 兀即| G (加)N (A)| = 1ZG( j) + ZN (A)=-兀那么 它的穩(wěn)定性是指，當(dāng)非線性系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用而偏離原來(lái) 的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠回到原來(lái)的等幅振蕩狀態(tài) 的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。我們判別 自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復(fù)平面自激振蕩附近，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的 方向沿-1N(A)曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域的，則 該交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿 -1N(A)曲線移動(dòng)是從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自 激振蕩是不穩(wěn)定的。此外我們還用相平面法來(lái)研究非線性系統(tǒng)，它是一