概率論與隨機過程第八講

1、設BiF，PBi 定理(全數(shù)學期望公式i, n是B的一個劃分，則：i , n，且nPBE|BE|設BiF，PBi 定理(全數(shù)學期望公式i, n是B的一個劃分，則：i , n，且nPBE|BE|Bi PBi in特別地，若Bi inEE|BiPBii證明：由定理3.5.1的結論，對 ,n，有：E Bi P BiE|Bi2011-9-4即：E E | Bi PBi ，i 1,對i nninBii|nEB E |B即：E E | Bi PBi ，i 1,對i nninBii|nEB E |BPBE E則BBiiii附注：（1）E B 的實際意義是 在B上的平均值： BEBE|BPBPB（2）當 A時

2、，EA |B PA|B，即條件概率是條2011-9-5n為的一個劃分，令A B1Bn，則（3）若Bi F，infE|Bi 3.5.）i是一A-可測函數(shù)。可以如下來理解A-可測函數(shù)的意義rr 若B A，則B有三種可能：B ，B 或者Bn為的一個劃分，令A B1Bn，則（3）若Bi F，infE|Bi 3.5.）i是一A-可測函數(shù)?？梢匀缦聛砝斫釧-可測函數(shù)的意義rr 若B A，則B有三種可能：B ，B 或者B kkrdP E |dP 則BjBkjkkr|P PBE |B Bjkk 對于任意A -可測集B的積分可用來表示關于B的條即2011-9-6n即E E(E |Bi Bi 全數(shù)學期望公式in則

3、 A，PA PA| BiPBi全概率公式i2、隨量=x的條件數(shù)學期望關于量前面給出了在=x條件下的條件分布函數(shù)n即E E(E |Bi Bi 全數(shù)學期望公式in則 A，PA PA| BiPBi全概率公式i2、隨量=x的條件數(shù)學期望關于量前面給出了在=x條件下的條件分布函數(shù)F|(y|x)ydFy|x。由于們將F|(y|x)簡記為F(y|x)。考慮積y是ydFy| x)的積分表達式，那理解為=x的條件下的條件數(shù)學期望是合理的，記為E|x2011-9-7xydFy|量，則E |若，為離散型y;j若，為連續(xù)型量，則 |xydFy|量，則E |若，為離散型y;j若，為連續(xù)型量，則 | x yf(y| 用x

4、E| x注意：上式的值與的取值x有關，如則當?shù)娜≈底兓瘯r， 也是一個定的條件下的條件數(shù)學期望，記為E | 2011-9-8EE| E僅對連續(xù)型量的情況給予說明：yfy|xdyfE| xx dx xE |fEE| E僅對連續(xù)型量的情況給予說明：yfy|xdyfE| xx dx xE |fy|xf yfydy Ex dx dy y二、關于給定-代數(shù)下的條件數(shù)學期望（略為了幫助大家充分理解條件數(shù)學期望的概念，下面給出量的條件數(shù)學期望例2011-9-9例1：隨為：量X、Y的取值為1,2，n，其概率分布 )P(X i,Y ,1 n求E(Y|i)，E(X|j)解：首先求出條件分布律為：p(i,) 1 p(

5、, j) 例1：隨為：量X、Y的取值為1,2，n，其概率分布 )P(X i,Y ,1 n求E(Y|i)，E(X|j)解：首先求出條件分布律為：p(i,) 1 p(, j) 1 n1p(i, j) ,np(i | j) p p(j|i)么,p(, ,j p(i,nnnnnnE(X | j) ip(i | j) iE(Y |i) jp(j|i)j2011-9-22例2：設二維正態(tài)分布服從 N(0,1;0,1;r),試求E(Y|xE(X|y)。1122r 21r例2：設二維正態(tài)分布服從 N(0,1;0,1;r),試求E(Y|xE(X|y)。1122r 21r11則 fexp, y22 12 f(x,

6、 1y-于是： fy| x) 2(1-r2 2fX (1-r2011-9-同：f(x| y) xf(x, 1exp)2 (2(1r2fY (21r而E(Y | x) 同：f(x| y) xf(x, 1exp)2 (2(1r2fY (21r而E(Y | x) yf(y| x)dy 2 1y1dyy(1r 21r22E(X | y) 同：從此例可以看出，E(Y|x)，E(X|y)分別是x和y的函數(shù)。而E(Y|X)=rXE(X|y)=rY。2011-9-例：已知 ,在0,1 上服從均勻分布且相互獨求D| 和例：已知 ,在0,1 上服從均勻分布且相互獨求D| 和的聯(lián)合分布密度解0 x1,0 y其fx,

7、y令U ，V 2011-9-則U和V0 u1,0vuu,v其則關于V的邊則U和V0 u1,0vuu,v其則關于V的邊沿概率密度v1du0 v 1 v 011du2v2011-9-0 u 其u |v當0v1fUv1 u 1 0當1v2u|f其U1vv2于當0v1vEU duvuf(u|u01EU|V v vf(u|0 u 其u |v當0v1fUv1 u 1 0當1v2u|f其U1vv2于當0v1vEU duvuf(u|u01EU|V v vf(u|v)du duv30當1v2u du vEU|V 1uf (u|22vdu 1vE|V 12f(u|v)du 22 uu2301 v2 E|2011-

8、9-D| 22 設商場一天內的顧客到達數(shù)N是參數(shù)為的泊松隨機例變量，每個顧客在該商場的消費是獨立的，其消費金額(元)都服從0,a的均勻分布，就商場一天的平均營業(yè)額。解：設X為商場一天的營業(yè)額，Yi為第i個顧客在商場的消費金額,i=1,2,N，則N ke X 設商場一天內的顧客到達數(shù)N是參數(shù)為的泊松隨機例變量，每個顧客在該商場的消費是獨立的，其消費金額(元)都服從0,a的均勻分布，就商場一天的平均營業(yè)額。解：設X為商場一天的營業(yè)額，Yi為第i個顧客在商場的消費金額,i=1,2,N，則N ke X P(N k)EY ,i 1,ik2i于NEX EX |N kP(N k) EYi |N kP(N k

9、kkkke i 2aikY )P(N k)ki2kk2011-9-第六節(jié)幾個重要的不等式一、Chebyshev不等設是概率空間 ，F(xiàn)P 且在(0,)上單調不減，則對任意的 0g P證明：g x 是非負函數(shù)且在0, 上單調不減，故當?shù)诹?jié)幾個重要的不等式一、Chebyshev不等設是概率空間 ，F(xiàn)P 且在(0,)上單調不減，則對任意的 0g P證明：g x 是非負函數(shù)且在0, 上單調不減，故當 0時gx。令A： g Eg EgPPA EggAgA2011-9-幾個重要的不等式對0，r0，有（gxxr（ ）（1）Markov不等P若E 有限，D 存在，則對0，有PE D （注意幾個重要的不等式對0

10、，r0，有（gxxr（ ）（1）Markov不等P若E 有限，D 存在，則對0，有PE D （注意2是1的特例二、Holder不等量 ,，有設r 1，則任意的1srs 1/1/rEEE2011-9-E r 若兩端有限，則等式成立 存在不全為零的常數(shù)c1 rs使得0 a.e.）（P77 ） E2E21）E 2CauchySchwarz2）若E1r若兩端有限，則等式成立 存在不全為零的常數(shù)c1 rs使得0 a.e.）（P77 ） E2E21）E 2CauchySchwarz2）若E1r1rrr0 r EE（在Holder不等式中取 r， 1即得2011-9-三、Cr-不等設量rr rC CE1nr

11、1rn0 r r 1其中rnra.e.）；當X#時等式三、Cr-不等設量rr rC CE1nr1rn0 r r 1其中rnra.e.）；當X#時等式成立當r1時，1 2 1,na.e.同號；當r1時，至少有一個0in，使Pi 0證明P78 792011-9-四、Minkowski不等設r1,是量，則1/1/1/rrrEEE當r 1a.e.）；當r四、Minkowski不等設r1,是量，則1/1/1/rrrEEE當r 1a.e.）；當r1時，c1c2使得c1c2 a.e.同號2011-9-1例量 X的概率密度 fx) ,(1 x2Emin( X Emin( X ,1) 解x,1) f( f(x)

12、dx f(xx 1 2 xdx 111x2 1 x1例量 X的概率密度 fx) ,(1 x2Emin( X Emin( X ,1) 解x,1) f( f(x)dx f(xx 1 2 xdx 111x2 1 xx1xdx 1dx 1ln2 11121 x2012011-9-例量X,Y)1sin(x y), 0 x ,0y f(x, y) 222Z cosX 例量X,Y)1sin(x y), 0 x ,0y f(x, y) 222Z cosX YEZDZE(Z) cos(x解y)f(x, cos(xy)sin(x 22200201 cos2xdx 2011-9-D(Z) E(Z2 cos2(x y

13、)sin(x 222002 D(Z) E(Z2 cos2(x y)sin(x 222002 x cos3 x 260 292011-9-例量X,Y )的聯(lián)合密度6(x2 1xy),0 x 1,0y f(x, y) 2數(shù)X ,Y )的協(xié)方差矩陣及相關E(例量X,Y )的聯(lián)合密度6(x2 1xy),0 x 1,0y f(x, y) 2數(shù)X ,Y )的協(xié)方差矩陣及相關E(X) xf(x, 解671267121 x(232x0 700 52011-9-6x2(x2 1 xy)dxdy 3912 E()2720052故 DX,76 y(x2 1 812 因為E(Y726x2(x2 1 xy)dxdy 3

14、912 E()2720052故 DX,76 y(x2 1 812 因為E(Y7276 y2(x2 13412 )27200故 D(Y 34 8,72011-9-6xy(x2 1 xy)dydx 1712 E(XY)7200CovX,Y) EXY EX)E(Y 17 58 1, 6xy(x2 1 xy)dydx 1712 E(XY)7200CovX,Y) EXY EX)E(Y 17 58 1, 77147 于是X ,Y )的協(xié)方差矩Cov(X,Y15 X 與YD(XD(Y2011-9-第四章隨量的特征函數(shù)為什么要引入特征函數(shù)？數(shù)學期望的LS積分表示：E xdFx積分的逆運算是微分（或求導），而求

15、導運算要比積分運算簡單得多，因此是否可將求數(shù)學期望的積分問題簡化為求導問題？1 2，1,相互獨立，則：fyx 第四章隨量的特征函數(shù)為什么要引入特征函數(shù)？數(shù)學期望的LS積分表示：E xdFx積分的逆運算是微分（或求導），而求導運算要比積分運算簡單得多，因此是否可將求數(shù)學期望的積分問題簡化為求導問題？1 2，1,相互獨立，則：fyx x 用分布函數(shù)求獨量和的分布需要用卷積，是否可將卷積運算簡化為乘積運？2011-9-一隨量的特征函數(shù)量的特征函數(shù)一、定義4.1.1設是,F,P 上的隨量，分布函數(shù)是F t eitxdF一隨量的特征函數(shù)量的特征函數(shù)一、定義4.1.1設是,F,P 上的隨量，分布函數(shù)是F

16、t eitxdF特征函數(shù)由|Eeit E(1) 1,知特征函數(shù)的定義有意義。2011-9-若為離散型量，其分布律為：1ppp2n則的特征函數(shù)為：t Eeit pkk若為連續(xù)型隨征函數(shù)為：若為離散型量，其分布律為：1ppp2n則的特征函數(shù)為：t Eeit pkk若為連續(xù)型隨征函數(shù)為：tEeit2011-9-量，分布函數(shù)為f(x)，則的特f服從兩點分布，求的特征例0q其中p q E eit1p eit0q qpeit解tBn,p，的特征例 Ck服從兩點分布，求的特征例0q其中p q E eit1p eit0q qpeit解tBn,p，的特征例 Ck nn解：t EeepkknpeiteitkCk pknk2011-9- 例kktEeiteeit e eee解kU 例kktEeiteeit e eee解kU h,a h例的特征函a h x a 其 f x解：t Eeit fa1 adx eita(t 當t=0時，2011-9