解三角形知識點歸納3

1、文檔編碼 : CJ7H4M8E1D3 HZ5P3Q10N9M2 ZW8P3Y7T5P3解三角形學(xué)問點歸納1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180 ； C=180 A+B ；cosC,tanABtanC,2、三角形三邊關(guān)系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本關(guān)系：sinABsinC cosABsinA2BcosC,cosA2BsinC,tanA2BcotC 2C 的外224、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c 分別為角、 C 的對邊, R 為接圓的半徑,就有abcC2Rsinsinsin5、正弦定理的變形公式：化角為邊：a2Rsin,b2 Rsin,c2 sinC ；. . 對于已化邊

2、為角：sina, sinb, sinCc；2R2R2Ra b csin:sin:sinC；sinabcsinCabcCsinsinsinsin6、兩類正弦定懂得三角形的問題：已知兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一角 已知兩角和其中一邊的對角,求其他邊角知兩邊和其中一邊所對的角的題型要留意解的情形（一解、兩解、三解） 7、三角形面積公式：SC1bcsin1absinCa1acsinc2=2R 2sinAsinBsinC=abc=rabc =22224R2 ac2p pa pb pc2b22 bccos,b2a2c2cos,8、余弦定理：在C中,有c2a2b22 abcosC 2 ca2cosa22

3、 cb2,cosC2b2ca,9、余弦定理的推論：cosb22 bc2ac2ab10、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角,求其余的量；已知三邊求角）11、如何判定三角形的形狀：判定三角形形狀時,可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一 成邊的形式或角的形式設(shè) a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對邊,就：如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o ；如a2b22 c ,就C90o12、三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心三角形三條中線的相交于一點外心三角形三邊垂直平分線相交于一點內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平

4、分線交于一點題型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角或二角一邊或三邊,求其它三個元素問題,進而求出三角形的三線高01 ,邊線、角平分線、中線及周長等基本問題1. 在ABC 中, AB=3 ,AC=2 ,BC=uuur uuur 10 ,就 AB AC A 3B2C2D32332【答案】 D 2（ 1）在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；（2）在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精確到長精確到 1cm）；03（ 1）在 ABC中,已知 a 2 3,c 6 2,B 60,求 b 及 A；（2）在 ABC中,已知 a 1

5、34.6 cm ,b 87.8 cm ,c 161.7 cm ,解三角形42022 年全國高考江蘇卷 ABC 中,A,BC3,就 ABC 的周長為（）3A 4 3 sin B 3 B4 3 sin B 33 6C6 sin B 3 D6 sin B 33 6分析：由正弦定理,求出 b 及 c,或整體求出 bc,就周長為 3bc 而得到結(jié)果選 D 4 6 65 （ 2022 年全國高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB , cos B,AC 邊上的中3 6線 BD= 5 ,求 sinA 的值分析：此題關(guān)鍵是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA解：設(shè) E 為 BC 的中

6、點,連接 DE,就 DE/AB,且 DE 1 AB 2 6,設(shè) BEx2 3在 BDE 中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED,30,5x2822366x,解得x1,x7（舍去）363又sin B故 BC=2,從而2 AC2 AB2 BC2 ABBC cos B28,即3AC221362 21故2A3,sin A70sin14306在 ABC 中,已知 a2,b 2 2 ,C15 ,求 A；答案：BA,且00A1800,A300題型之二 ：判定三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式,判定此三角形的形狀1. 2022 年北京春季高考題 在 ABC 中,已知 2 sin A

7、cos B sin C,那么 ABC 確定是（）A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 2 sin A cos B sin CsinABsinAcosBcosAsinB,即 sinAcosBcosAsinB0,得 sinAB0,得 AB應(yīng)選 B 解法 2：由題意,得cosBsin C2sin Ac,再由余弦定理,得cosBa22 cb22a2aca2c2b2c,即 a2b2,得 ab,應(yīng)選 B 2 ac2 a1,統(tǒng)一評注：判定三角形形狀,通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角,再判定如解法化為邊,再判定如解法 22在 ABC 中,如 2cosBsinAsinC,就 AB

8、C 的形狀確定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC,sin（AB） 0, AB 23.在 ABC 中,如a 2 tan A,試判定ABC 的形狀；b tan B答案：故ABC 為等腰三角形或直角三角形；4. 在 ABC 中,cos A b cos,判定ABC 的形狀；答案：ABC 為等腰三角形或直角三角形；題型之三 ：解決與面積有關(guān)問題 主要是利用正、余弦定理,并結(jié)合三角形的面積公式來解題1. 2022 年全國高考上海卷 在ABC 中,如A120o ,AB5,BC

9、7,ABC 的面3,求tanA的值和就ABC的面積 S _2 , AB2在ABC 中, sinAcosA2, AC2積；答案： SABC1ACABsinA123246326C 2243. （07 浙江理 18）已知ABC的周長為21,且 sinAsinB2 sin（I）求邊 AB 的長；（II ）如ABC的面積為1 sin 6C ,求角 C 的度數(shù)1,BCAC2AB ,1,解：（I）由題意及正弦定理,得ABBCAC2兩式相減,得AB1BC AC1,AB2（II ）由ABC的面積1 2BC ACg sinC1sinC,得63由余弦定理,得cosCAC22BC2AB2ACBC22AC BCAC B

10、C2AC BC2所以C60o 題型之四 ：三角形中求值問題1. 2022 年全國高考天津卷2 在ABC 中,A、1B、C所對的邊長分別為a、b、c,設(shè)a、b、c中意條件bc2cbca2和3,求A和tanB的值b2分析：此題給出一些條件式的求值問題,關(guān)鍵仍是運用正、余弦定理解：由余弦定理cosAb2c2a21,因此,A602bc2在由已知條件,應(yīng)用正弦定理13csinCsin120BBtan B1.A2bsinBsinBsin120cosBcos 120sinB3cotB1,解得cot B2 ,從而CsinB222中,2ABC 的三個內(nèi)角為A、 、C,求當 A 為何值時, cosA2cosB2C

11、取得最大值,并求出這個最大值；C= 1A解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C =sin A2；cosA+2cos B+C2 =cosA+2sin A 2 =12sin2A 2 + 2sin A2=2sin A2122+ 32；當 sinA 2 = 12,即 A= 3時, cosA+2cos B+C2取得最大值為 3 2；2 23在銳角ABC 中,角 A, ,C 所對的邊分別為 a, ,c,已知 sin A,（1）求3tan 2 B Csin 2 A的值；（2）如 a 2,SABC 2,求 b 的值；2 2解析：（ 1）由于銳角ABC 中, A BC ,si

12、n A 2 2,所以 cosA 1,3 3就tan 2 B2 Csin 2 A2cos sin 22 BB2 CCsin 2 A221cos B ） （ 1 cosA）1cosA 1 71cos（ ）2 1cosA 3 3（2）由于 S V ABC2,又 S V ABC1bcsin A1bc . 2 2,就 bc3；2 2 3將 a2,cosA1,c3 代入余弦定理：a 2b 2c 22bccos A 中,3 b4 2得 b6b 0 解得 b3 ；點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時, 靈敏逆用公式求得結(jié)果即可；4在ABC 中,內(nèi)角 A, ,C 對邊的邊長分別是 a, ,c,已知

13、 c 2,C3（）如ABC 的面積等于 3 ,求 a,b；（）如 sin C sin B A 2sin 2 A ,求ABC 的面積本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系,三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)學(xué)問,考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)學(xué)問的才能滿分 12 分解：（）由余弦定理及已知條件得,a 2b 2ab 4,又由于ABC 的面積等于 3 ,所以1 ab sin C 3,得 ab 4 4 分2聯(lián)立方程組 a 2b 2ab 4,解得 a 2,b 2 6 分ab 4,（）由題意得 sin B A sin B A 4sin A cos A ,即 sin B cos A 2sin A cos A, 8 分當 cos A 0

14、時,A,B,a 4 3,b 2 3,2 6 3 3當 cos A 0 時,得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2 a ,聯(lián)立方程組 a 2 b 2 ab 4,解得 a 2 3,b 4 3b 2 a,3 3所以ABC 的面積 S 1ab sin C 2 3 12 分2 3題型之五 ：正余弦定懂得三角形的實際應(yīng)用利用正余弦定懂得斜三角形,在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用,如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的學(xué)問,例析如下：（一 .）測量問題1. 如圖 1 所示,為了測河的寬度,在一岸邊C 選定 A 、B 兩點,望對岸標記物C,測得CAB=30, CBA=75,AB=120cm ,求河

15、的寬度；分析： 求河的寬度, 就是求ABC 在 ABA D B 邊上的高,而在河的一邊,已測出AB 長、CAB 、 CBA ,這個三角形可確定；圖 1 解析：由正弦定理得” ；ACAB, AC=AB=120m ,sin ACB1 1AB AC sin CAB AB CD2 2,解得 CD=60m ；sinCBA又S VABC“不過河求河寬問題點評：雖然此題運算簡潔,但是意義重大,屬于（二 .）遇險問題2 某艦艇測得燈塔在它的東15北的方向,此艦艇以30 海里 /小時的速度向正東前進,30分鐘后又測得燈塔在它的東30北；如此燈塔四周10 海里內(nèi)有暗礁,問此艦艇連續(xù)向東航行有無觸礁的危險？解析：如

16、圖艦艇在A 點處觀測到燈塔S西北15B 30東在東 15北的方向上； 艦艇航行半小時后到達 B 點,測得 S 在東 30北的方向上；在 ABC 中,可知 AB=30 0.5=15,ABS=150, ASB=15 ,由正弦定理得A C BS=AB=15 ,過點 S 作 SC直線 AB ,垂足南圖 2 為 C,就 SC=15sin30 =7.5；這說明航線離燈塔的距離為7.5 海里,而燈塔四周10 海里內(nèi)有暗礁,故連續(xù)航行有觸礁的危險；點評：有關(guān)斜三角形的實際問題,其解題的一般步驟是：（ 1）精確懂得題意,分清已知與所求,特殊要懂得應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖, 并將已知條件在圖形中

17、標出；（3）分析與所爭論問題有關(guān)的一個或幾個三角形,通過合理運用正弦定理和余弦定理求解；（三 .）追擊問題3 如圖 3,甲船在 A 處,乙船在 A 處的南偏東 45方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 北偏西 15方向航行,如甲船以 28n mile/h 的速度航行,應(yīng)沿什么方向,用多少 h 能盡快追上乙船？A 解析：設(shè)用 t h ,甲船能追上乙船,且在 C 處相遇；45在 ABC 中, AC=28t ,BC=20t ,AB=9 ,B 設(shè) ABC=, BAC= ； =1804515=120 ；依據(jù)余弦定理 152 2 2AC AB BC 2 AB BC co

18、s,C 28 t 281 20 t 22 9 20 t 1 ,圖 3 2128 t 260 t 27 0,（4t3）（32t+9）=0,解得 t=3,t=9（舍）4 32AC=283 =21 n mile ,BC=203 =15 n mile ；4 4依據(jù)正弦定理,得 sin BC sin 152 35 3,又 =120, 為銳角,AC 21 14 =arcsin5 3,又5 37 22, arcsin5 3,14 14 14 2 14 4甲船沿南偏東arcsin5 3 的方向用3 h 可以追上乙船；4 14 4點評：航海問題常涉及到解三角形的學(xué)問,此題中的ABC 、AB 邊已知,另兩邊未知,

19、但他們都是航行的距離,由于兩船的航行速度已知,所以,這兩邊均與時間t 有關(guān)；B .這樣依據(jù)余弦定理,可列出關(guān)于t 的一元二次方程,解出t 的值；4如圖,當甲船位于A 處時獲悉,在其正東方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救 甲船馬上前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30 ,相距 10 海里 C 處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B 處救援（角度精確到1 ）？解析：連接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=107；sin ACBsin120,北20107A 20 10 .C sinACB=3 ,7 ACB90 , A

20、CB=41 ；乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往B 處救援；解三角形單元測試一 選擇題：1. 已知ABC中,A30o,C105o,b8,就等于（）A 4 B 4 2 C 4 3 D 4 5）2. ABC中,B45o,C60o,c1,就最短邊的邊長等于（6613）A 3 B 2 C 2 D 23. 長為 5、7、 8 的三角形的最大角與最小角之和為 A 90 B 120 C 135 D 150abc4. ABC中,cosAcosBcosC ,就 ABC確定是（A 直角三角形 B 鈍角三角形 C 等腰三角形 D 等邊三角形）5. ABC中,B60o,b2ac ,就 ABC確定是（A 銳角三角形 B

21、鈍角三角形 C 等腰三角形 D 等邊三角形）6. ABC中, A=60 , a=6 , b=4, 那么中意條件的ABC A 有 一個解 B 有兩個解 C 無解 D 不能確定7. ABC中,b8,c8 3,SVABC16 3,就A等于（A 30o B 60o C 30o或150o D 60o或120o）abc8. ABC中,如A60o,a3,就sinAsinBsinC 等于（13cosAA 2 B 2 C 3 D 29. ABC 中,A B1: 2, C 的平分線 CD 把三角形面積分成3: 2兩部分,就（）A 1 3 B 1 C 3 D 024（10. 假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長度,就這個新的三角形的形狀為A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 由