指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)經(jīng)典例題

1、指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)及經(jīng)典例題【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、指數(shù)公式部分有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）ararars(a0,r,sQ)；（2）(ar)sars(a0,r,sQ)；（3）(ab)raras(a0,b0,rQ)正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義mannam(a0,m,nN*,n1)m11an*m(a0,m,nN,n1)annam二、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的看法:一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1在同一坐標(biāo)系中畫出以下函數(shù)的圖象：1)x1)x（1）y(（2）y(32（3）y2x（4）y3x5）y5x圖象特色函數(shù)性質(zhì)a10a1a10a1向x、y軸正

2、負(fù)方向無量延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）a01自左向右看，自左向右看，增函數(shù)減函數(shù)圖象逐漸上升圖象逐漸下降在第一象限內(nèi)的圖x0,ax1x0,a在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖x0,ax1x0,a在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1象縱坐標(biāo)都大于1xx11函數(shù)值開始增添較函數(shù)值開始減小極圖象上升趨勢(shì)是越圖象上升趨勢(shì)是越來越陡慢，到了某一值后增快，到了某一值后減來越緩長(zhǎng)速度極快；小速度較慢；【指數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用經(jīng)典例題】例1設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)a2(xR)，試證明：關(guān)于任意a,f(x)

3、在R上為增函數(shù)2x1證明：設(shè)x1,x2R,x1x2，則f(x1)f(x2)(a22)(a222x112x212x212x112(2x12x2)，(2x11)(2x21)由于指數(shù)函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，且x2，x1因此2x12x2即2x12x20，又由2x0，得2x110，2x210，f(x1)f(x2)0即f(x2)，f(x1)因此，關(guān)于任意a,f(x)在R上為增函數(shù)f(x)axx2例2.已知函數(shù)(a1)，x1求證：（1）函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根證明：（1）設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)ax1x12ax2x22x11x21xxx12x22axx3

4、(x1x2)，a1a21a2x11x21(x11)(x21)1x1x2，x110，x210，x1x20，3(x1x2)0；(x11)(x21)1x1x2，且a1，ax1xxx0，a2，a1a2f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）假設(shè)x0是方程f(x)0的負(fù)數(shù)根，且x01，則ax0 x020，x01x2x03(x01)31，即a0 x01x01x01當(dāng)1x0時(shí)，0 x11，3，3，而由a1知ax01，0003012x1x1式不成立；1時(shí)，11，而ax0當(dāng)x0 x010，30，30，x01x01式不成立綜上所述，方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根針對(duì)性練習(xí)

5、1.已知函數(shù)f(x)=axb的圖象過點(diǎn)(1，3)，且它的反函數(shù)1f(x)的圖象過(2，0)點(diǎn)，試確定f(x)的剖析式1133x2x222.已知22求的值xx3,x1x323.求函數(shù)y=3x2x3的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間4.若函數(shù)y=a2xb0且a1，b為實(shí)數(shù))的圖象恒過定點(diǎn)(1，2)，求b的值1(a12x5.設(shè)0 x2，求函數(shù)y=42a2xa1的最大值和最小值2針對(duì)性練習(xí)答案1剖析：由已知f(1)=3，即ab=3又反函數(shù)f1(x)的圖象過(2，0)點(diǎn)即f(x)的圖象過(0，2)點(diǎn)即f(0)=21b=2b=1代入可得a=2因此f(x)=2x1112剖析：由(x2x2)29,1可得xx=711(x2x2)3273113x23xx23x2x1x2=2733x2x2=18，故原式=23剖析：(1)定義域顯然為(，)(2)uf(x)32xx24(x1)24.y3u是u的增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，ymax=f(1)=81，而y=3x22x3003u34,即值域?yàn)?0,81當(dāng)x1時(shí)，u=f(x)為增函數(shù)，y3u是u的增函數(shù)，由xuy即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為(，1；當(dāng)x1時(shí)，u=f(x)為減函數(shù)，y3u是u的增函數(shù)，由xuy即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為1，).4剖析：x=b時(shí)，y=a01=22y=a2xb1的圖象恒過定點(diǎn)(b2b=1，22)即b=25剖析：設(shè)2x=t，x2，1t41原式