高考圓錐曲線中的定點(diǎn)及定值問(wèn)題題型總結(jié)超全

1、.專題08 解鎖圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題一、解答題1XX省XX市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為；圓過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；證明：在軸上存在定點(diǎn),使得為定值；并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).答案12解析試題分析：設(shè)圓過(guò)橢圓的上、下、右三個(gè)頂點(diǎn),可求得,再根據(jù)橢圓的離心率求得,可得橢圓的方程；設(shè)直線的方程為,將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算得。設(shè)x軸上的定點(diǎn)為,可得,由定值可得需滿足,解得可得定點(diǎn)坐標(biāo)。解得。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.證明：由題意設(shè)直線的方程為,由消去y整理得,設(shè),要使其為定值,需滿足,解得.故定點(diǎn)的坐標(biāo)為

2、.點(diǎn)睛：解析幾何中定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)解法假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意2XX省XX市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與拋物線為常數(shù)交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),弦的長(zhǎng)為.1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn),且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn),求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.答案1;2直線過(guò)定點(diǎn)解析試題分析：1根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出答案；2由1可設(shè),則,則；同理：.由在直線上1；由在

3、直線上將1代入2將2代入方程,即可得出直線過(guò)定點(diǎn)2設(shè),則,則即；同理：；.由在直線上,即1；由在直線上將1代入2將2代入方程,易得直線過(guò)定點(diǎn)3XX省XX市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知拋物線過(guò)點(diǎn),是上一點(diǎn),斜率為的直線交于不同兩點(diǎn)不過(guò)點(diǎn),且的重心的縱坐標(biāo)為.1求拋物線的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；2記直線的斜率分別為,求的值.答案1方程為;其焦點(diǎn)坐標(biāo)為2解析試題分析;1將代入,得,可得拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；2設(shè)直線的方程為,將它代入得,利用韋達(dá)定理,結(jié)合斜率公式以及的重心的縱坐標(biāo),化簡(jiǎn)可的值；因?yàn)榈闹匦牡目v坐標(biāo)為,所以,所以,所以,所以,又.所以.4已知橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)

4、的距離為2求橢圓的方程；過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),若,求證：為定值答案;詳見(jiàn)解析.解析試題分析：利用橢圓的幾何要素間的關(guān)系進(jìn)行求解；聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于或的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行證明. 由題意直線過(guò)點(diǎn),且斜率存在,設(shè)方程為,將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為,由,消元得,設(shè),則且,方法一：因?yàn)?所以. 同理,且與異號(hào), 所以. 所以,為定值.當(dāng)時(shí),同理可得. 所以,為定值.同理,且與異號(hào), 所以. 又當(dāng)直線與軸重合時(shí),所以,為定值.點(diǎn)睛本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程,整理成關(guān)于或的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,因?yàn)?/p>

5、直線過(guò)點(diǎn),在設(shè)方程時(shí),往往設(shè)為,可減少討論該直線是否存在斜率.5XX省XX南山中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中考設(shè)拋物線：,為的焦點(diǎn),過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn).1設(shè)的斜率為1,求；2求證：是一個(gè)定值.答案 2見(jiàn)解析解析試題分析：1把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式即可得出；2把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積即可得出；2證明：設(shè)直線的方程為,由得,是一個(gè)定值.點(diǎn)睛：熟練掌握直線與拋物線的相交問(wèn)題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式、向量的數(shù)量積是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,直線方程設(shè)成也給解題帶來(lái)了方

6、便.6XXXX市第三十三中2016-2017學(xué)年高一下學(xué)期期末已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)為.求橢圓C的方程;若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.答案 ,O到直線 的距離為定值.解析試題分析：1根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a,b,c；2對(duì)于AB有無(wú)斜率進(jìn)行討論,設(shè)出A,B坐標(biāo)和直線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算；有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+ =x1x2+km=0 代入,得4m2=3k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 , 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),可得, 依然成立.所以點(diǎn)O到直線的距離為定值 . 點(diǎn)睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與圓

7、錐曲線的位置關(guān)系,分類討論思想,對(duì)于這類題目要掌握解題方法設(shè)而不求,套用公式解決7XX省XX市石室中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考已知雙曲線漸近線方程為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線的方程；已知為雙曲線上不同兩點(diǎn),點(diǎn)在以為直徑的圓上,求的值答案；.解析試題分析：1根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入點(diǎn)M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；2由條件可得,可設(shè)出直線的方程,代入雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)可求得。由題意知。設(shè)直線方程為,由 ,解得,。由直線方程為.以代替上式中的,可得。 8XX省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考已知橢圓E:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且離心率為求橢圓的標(biāo)

8、準(zhǔn)方程；設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M,N滿足,直線PM、PN分別交橢圓于A,B探求直線AB是否過(guò)定點(diǎn),如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),如果不經(jīng)過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由答案1；2直線AB過(guò)定點(diǎn)Q0,2.解析試題分析：1根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；2先由特殊情況得到結(jié)果,再考慮一般情況,聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理,和向量坐標(biāo)化的方法,得到結(jié)果。x1+x2=,x1x2=, 又直線PA的方程為y1=x2,即y1=x2,因此M點(diǎn)坐標(biāo)為0,同理可知：N0,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí),對(duì)任意的k都成立,直線AB過(guò)定點(diǎn)Q0,2.9廣西XX市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分

9、別為.過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),若,且的周長(zhǎng)為.1求橢圓的方程；2 設(shè)橢圓在點(diǎn)處的切線記為直線,點(diǎn)在上的射影分別為,過(guò)作的垂線交軸于點(diǎn),試問(wèn)是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案;1.解析試題分析;1設(shè),則,設(shè), ,以及, ,由,由橢圓的定義可得,結(jié)合,綜合可得：,可得橢圓的方程；2由1知,直線的方程為：,由此可得.,又,的方程為,可得則可得,又,.,故.當(dāng)直線平行于軸時(shí),易知,結(jié)論顯然成立.綜上,可知為定值1.有,則,綜合可得：橢圓的方程為：.2由1知,直線的方程為：即：,所以.,的方程為,令,可得,則又點(diǎn)到直線的距離為,.當(dāng)直線平行于軸時(shí),易知,結(jié)論顯然成

10、立.綜上,.點(diǎn)睛本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系,是解析幾何的綜合應(yīng)用,難度較大10XX省XX第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與拋物線y24x相交于不同的A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn) 如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1,求的值；2如果,證明：直線必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).答案18；2證明見(jiàn)解析解析試題分析：根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程,是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求出弦長(zhǎng)；設(shè)出直線的方程,同拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)

11、根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積,根據(jù)數(shù)量積等于4,做出數(shù)量積表示式中的b的值,即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)令b24b4,b24b40,b2,直線l過(guò)定點(diǎn)若4,則直線l必過(guò)一定點(diǎn)點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定定點(diǎn)是什么、定值是多少,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題,證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似,在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).11XX省XX市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓,且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為,最小距離為.1求橢圓的方程；2過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),試

12、問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案 橢圓方程為; 以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)與軸平行時(shí),以線段為直徑的圓的方程為.故若存在定點(diǎn),則的坐標(biāo)只可能為.下面證明為所求：若直線的斜率不存在,上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在,設(shè)直線,即以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).點(diǎn)睛：這個(gè)題是圓錐曲線中的典型題目,證明定值定點(diǎn)問(wèn)題。第一問(wèn)考查幾何意義,第二問(wèn)是常見(jiàn)的將圖的垂直關(guān)系,轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,將垂直轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)積為0 ,再者就是向量坐標(biāo)化的意識(shí)。還有就是這種證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,可以先通過(guò)特殊位置猜出結(jié)果,再證明。12XX省XX市新津中學(xué)2018

13、屆高三11月月考已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).1求橢圓的方程；2設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),求證：為定值.答案1；2證明見(jiàn)解析.解析試題分析：1由橢圓的離心率,求得,由,得,將點(diǎn)代入,即可求得和的值,求得橢圓方程；2設(shè),直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式將用表示,化簡(jiǎn)后消去即可得結(jié)果.定值,為定值.方法點(diǎn)睛本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用以及圓錐曲線的定值問(wèn)題,屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量

14、,從而得到定值.13北京XX日壇中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓的離心率為,半焦距為,且,經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),斜率為的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程II設(shè),延長(zhǎng), 分別與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線的斜率為,求證：為定值答案I；II見(jiàn)解析.解析試題分析：I依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;II設(shè), 可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理可求得,進(jìn)一步可求, 同理,從而可得,化簡(jiǎn)運(yùn)算即可.試題解析：I由題意,得解得,故橢圓的方程為點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方

15、程,求出即可,注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出,再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用1420172018學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修11 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定直線l：x的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F之比為.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)O作直線AB,交中軌跡C于點(diǎn)A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問(wèn)k1k2是否為定值？答案 k1k2解析試題分析：1設(shè)出點(diǎn)P,利用兩點(diǎn)間的距

16、離公式分別表示出P到定直線的距離和到點(diǎn)F的距離的比,建立方程求得x和y的關(guān)系式,即P的軌跡方程2設(shè)出N,A,則B的坐標(biāo)可知,代入圓錐曲線的方程相減后,可求得k1k2證明原式試題解析：設(shè)點(diǎn)P,依題意,有.整理,得1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.由題意,設(shè)N,A,則B,1,1.k1k2,為定值15XX省雞澤縣第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：若M,N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),且直線的傾斜角互補(bǔ),問(wèn)直線MN的斜率是否為定值?若是,求出這個(gè)定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由答案; .試題解析:1由題意可知,令,代入橢

17、圓可得,所以,又,兩式聯(lián)立解得：, . 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),在上式中以代替,可得,所以直線的斜率,即直線的斜率為定值,其值為. 點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題,弦長(zhǎng)問(wèn)題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用16北京市西城魯迅中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中過(guò)點(diǎn)且與直線相切,設(shè)圓心的軌跡為曲線,在軸的右側(cè)為曲線上的兩點(diǎn),點(diǎn),且滿足求曲線的

18、方程若,直線的斜率為,過(guò),兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處共同的切線,求圓的方程分別過(guò),作曲線的切線,兩條切線交于點(diǎn),若點(diǎn)恰好在直線上,求證：與均為定值答案 見(jiàn)解析解析試題分析：1由拋物線定義得曲線為拋物線,根據(jù)基本量可得其標(biāo)準(zhǔn)方程2先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率,則得圓心與A連線的直線方程,設(shè)圓一般式方程,利用三個(gè)條件解方程組得圓的方程3設(shè),則利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程,同理可得,即得兩根為,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)直線AB斜率得,即得AB方程為,因此,再根據(jù)向量數(shù)量積可計(jì)算得=0由,得,即,拋物線在點(diǎn)處切線的斜率圓的方程為,整理

19、得設(shè),過(guò)點(diǎn)的切線方程為,即,同理得,又,整理得,與均為定值點(diǎn)睛：1.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值2定點(diǎn)的探索與證明問(wèn)題探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),可設(shè)出直線方程為,然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于直線系的思想找出定點(diǎn)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無(wú)關(guān)17XX市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.l求拋物線的方程；2拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)均與點(diǎn)不重合,設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.答案；證明見(jiàn)解析.解析試題分析：1由焦半徑定

20、義和點(diǎn)在拋物線上建立兩個(gè)方程,兩個(gè)未知數(shù),可求得拋物線方程。2由1知拋物線的方程,及,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為,代入得,由韋達(dá)定理可求得為定值上。2點(diǎn)在拋物線上,且.,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為,即,代入得,設(shè),則,所以.18如圖,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為求橢圓的方程經(jīng)過(guò)點(diǎn),且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),均異于點(diǎn),判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值,求出改定值；若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由答案1斜率之和為定值解析1根據(jù)題意知：,結(jié)合,解得：,橢圓的方程為：從而直線,的斜率之和：故直線、斜率之和為定值點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出,再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約