三角形內(nèi)角以及定理

1、關(guān)于三角形內(nèi)角和定理第1頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四學(xué) 習(xí) 目 標1、通過拼圖驗證三角形內(nèi)角和。2、能理解和掌握三角形內(nèi)角和定理 的證明過程。3、能靈活應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理證明。第2頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)情趣：內(nèi)角三兄弟之爭 在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié)可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起了”“為什么？” 老二很納悶。 同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

2、第3頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四驗證：三角形的三個內(nèi)角和是180圖1圖2 圖3ABCCBAABBCC BAB第4頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四結(jié)論 三角形三個內(nèi)角的和等于ABC已知：A B C.求證：A +B +C=180180命題的正確性還要嚴密的推理證明想一想：如何證明呢？三角形內(nèi)角和定理： 證法一證法二證法三證法四第5頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四已知：A B C.求證：A +B +C=180ABC證法一證明：作BC的延長線CD，在A B C的外部以C A 為一邊，CE為另一邊作1=A. 則 C EB

3、A 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 2 =B 兩直線平行，同位角相等 B C A +1 +2=180 B C A +A +B = 180 再此證法中,通過做角等把三角形的三個角移到一起，想一想還有沒有與此類似的方法？ D2E1為了證明的需要，在原圖形上添畫的線叫作輔助線。在平面幾何里，輔助線通常化成虛線。返回第6頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四證法二已知：A B C.求證：A +B +C=180ABCDE證明：過點A畫DEBC B ，C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） BAC （平角定義） B BAC C返回第7頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四證法三已知：

4、A B C.求證：A +B +C=180ABCFE證明：在BC上取一點D，過點D畫DEBA，DF CA BDF C，EDC B, (兩直線平行，同位角相等）EDF=DEC=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） BDF EDF EDC A B C 返回第8頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四證法四已知：A B C.求證：A +B +C=180ABCD證明：過點C作CD BA ACD A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）BCD B （兩直線平行，同內(nèi)角互補） BCA ACD B 即BCA A B 返回第9頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四ABCD三角形的外角： 三角形

5、的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角第10頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四畫圖并思考：畫一個ABC ，你能畫出它的所有外角來嗎？請動手試一試同時想一想ABC的外角共有幾個呢？歸納：每一個三角形都有個外角每一個頂點相對應(yīng)的外角都有個每個外角與相鄰的內(nèi)角是鄰補角第11頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四1 2 4 三角形的外角與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?外角A 3B CD相鄰內(nèi)角不相鄰 內(nèi) 角思考1相鄰的內(nèi)角：不相鄰的兩內(nèi)角：第12頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四探究？三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：如圖ABC

6、中，則 ACB+ACD180 ABCD？ 結(jié)論： 三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角即三角形的外角與它 相鄰內(nèi)角的和為180第13頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四ABC ABC的外角ACD與它不相鄰的內(nèi)角 A、 B有怎樣的關(guān)系？D探究？ ACD= A+ B 能證明這個結(jié)論嗎？第14頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四結(jié)論1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。ACBD如圖, ACD 是ABC的一個外角,試說明ACD= B+ A你能說出三角形的外角與每一個不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系嗎? ACD= B+ A ACDA, ACD B結(jié)論2、三角

7、形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。第15頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四ABCD證明： ABC中A+B+ACB=180（三角形內(nèi)角和定理）ACB+ACD=180（平角定義）ACD=A+B（等量代換）ACD= A+ B第16頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四歸納總結(jié)： 推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。 推論2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。由公理、定理直接得出的真命題叫做推論。第17頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四3、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。2、三角形的

8、一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；1、三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補；三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：第18頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四 160110練一練： 1、求下列各圖中1的度數(shù)。50 45 1 35 120 1第19頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四試比較1 、A的大小關(guān)系？你能比較2 、 A的關(guān)系么？再試試看。 2PABCD1第20頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四練一練：2、把圖中1、 2、 3按從大到小的順序排列，并說明理由。解：1 2 3 321ABCDE第21頁，共41頁，2022年，5月20日，

9、15點19分，星期四 321ABCDE解： 1是BDE的外角， 2是ADC的外角12, 2 3 123第22頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四例1.已知:如圖6-14,在ABC中, 1是它的一個外角, E為邊AC上一點,延長BC到D,連接DE.求證: 12.證明: 1是ABC的一個外角(已知), 13(三角形的一個外角大于任何一個和 它不相鄰的內(nèi)角). 3是CDE的一個外角 (外角定義). 32(三角形的一個外角大于任何一個和 它不相鄰的內(nèi)角). 12(不等式的性質(zhì)).CABF1345ED2第23頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四 321ABC5

10、64例1 已知：如圖，1、2、3是ABC的三個外角 求證：1+2+3=360結(jié)論：三角形的外角和等于360通常把一個三角形每一個頂點處的一個外角的和叫做三角形的外角和。第24頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四三角形的外角和 對于三角形的每個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。結(jié)論： 三角形的外角和等于180 第25頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四123BACPNMDEF挑戰(zhàn)一下！ABCDEF=。360第26頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四ABCDE(2)求A+ B+

11、C+ D+ E的度數(shù)第27頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四思考題：在ABC中， B=48 ， C=82 那么 A等于多少度呢？答：A這樣的三角形是銳角三角形。有三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。思考題：在ABC中， B=48 ， C=2 那么 A等于多少度呢？答：A思考題：在ABC中， B=4 ， C=2 那么A等于多少度呢？答：A這樣的三角形是鈍角三角形。有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。這樣的三角形是直角三角形。有一個角是直角的三角形是直角三角形。思考題：如何按角給三角形分類呢？請大家思考相互討論。第28頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期

12、四三角形直角三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形直角邊直角邊斜邊三角形按角的大小分類直角三角形可以用符號Rt 表示，直角三角形可以寫成Rt ABC。第29頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四思考題：在ABC中， C= ， A= B，那么 A和B，等于多少度呢？答： A= B 兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形思考題：在Rt ABC中， C= ， A與B的和等于多少度？答： AB 你能用一句話概括這個命題嗎？三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于 推論：直角三角形的兩個銳角互余。推論：直角三角形的兩個銳角互余。推論：直角三角形的兩個銳角互余。推論：直角三角形的兩個銳

13、角互余。推論：直角三角形的兩個銳角互余。推論：直角三角形的兩個銳角互余。推論：直角三角形的兩個銳角互余。第30頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四證明：在ABC中 A+B+C=180(三角形內(nèi)角和定理） C= 90（已知） A+B+90=180（等量代換） A+B=18090= 90 （等式性質(zhì)） 即A+B=90ABC已知：在ABC中，C 90 求證：AB90 隨堂練習(xí)第31頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四實際問題（二）一個已損壞的三角形零件如圖經(jīng)檢驗量得， A B，你能推算出另一個角的度數(shù)嗎？AB實際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)問題源于生活實踐，反過來數(shù)學(xué)又

14、為生活實踐服務(wù)第32頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四練習(xí)一：在ABC中，（1）C=90，A=30 ，則B=；（2）A=50 ，B=C，則B=；（3）AC=25 ，BA=10 ，則 B=。第33頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四 已知: 在 ABC中，C=ABC=2A， BD是AC邊上的高。求DBC的度數(shù)。ABCD練習(xí)二第34頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四例1： 如圖，已知ACB=90 ，CDAB，垂足是D。 （1）圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？說出它 們的直角和斜邊。 （2） 1、2有什么關(guān)系？B、2有什么關(guān)系？

15、為什么？1和B是不是相等？為什么？CABD12第35頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四學(xué)會了一個定理及一個推論三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于 推論：直角三角形的兩個銳角互余。大家思路很開闊，用了很多方法證明了三角形內(nèi)角和定理下面讓我們共同欣賞一下：方法ABCD2E1談?wù)勈斋@第36頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四談?wù)勈斋@學(xué)會了一個定理及一個推論三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于 推論：直角三角形的兩個銳角互余。大家思路很開闊，用了很多方法證明了三角形內(nèi)角和定理下面讓我們共同欣賞一下：方法ABCDE第37頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四談?wù)勈斋@學(xué)會了一個定理及一個推論推論：直角三角形的兩個銳角互余。大家思路很開闊，用了很多方法證明了三角形內(nèi)角和定理下面讓我們共同欣賞一下：方法ABCFE三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于 第38頁，共41頁，2022年，5月20日，15點19分，星期四談?wù)勈斋@學(xué)會了一