（福建專用）2013年高考數(shù)學總復習 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法課時闖關（含解析）

1、PAGE PAGE 9（福建專用）2013年高考數(shù)學總復習 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法課時闖關（含解析）一、選擇題1(原創(chuàng)題)如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是a(0,2,1)，b(eq r(2)，eq r(5)，eq r(5)，那么這條斜線與平面的夾角是()A90B60C45 D30解析：選D.coseq f(ab,|a|b|)eq f(r(3),2)，因此a與b的夾角為30.從而可得斜面與平面的夾角為30.2.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中點，設GF、C1E與AB所成的角分別為、，則

2、A120B60C75 D90解析：選D.建立坐標系如圖，設正方體的棱長為2，則B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(xiàn)(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)則eq o(BA,sup6()(0,2,0)，eq o(GF,sup6()(1,1，1)，eq o(C1E,sup6()(1,2，1)，coseq o(BA,sup6()，eq o(GF,sup6()eq f(1,r(3)，coseq o(BA,sup6()，eq o(C1E,sup6()eq f(r(2),r(3)，coseq f(1,r(3)，sineq f(r(2),r(3)，coseq f(r(2),r

3、(3)，sineq f(1,r(3)，90，故選D.3(2010高考大綱全國卷)正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.eq f(r(2),3)B.eq f(r(3),3)C.eq f(2,3) D.eq f(r(6),3)解析：選D.如圖，連接BD交AC于O，連接D1O.由于BB1DD1，DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角易知DD1O即為所求設正方體的棱長為1，則DD11，DOeq f(r(2),2)，D1Oeq f(r(6),2)，cosDD1Oeq f(DD1,D1O)eq f(2,r(6)eq f(r(6),3).BB1與

4、平面ACD1所成角的余弦值為eq f(r(6),3).4直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1eq r(6)，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成的角為()A60 B45C30 D90解析：選D.建立坐標系如圖所示，易得M(0,0，eq f(r(6),2)，A1(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，eq r(6)，B1(1,0,0)，eq o(AB1,sup6()(1，eq r(3)，eq r(6)，eq o(A1M,sup6()(0，eq r(3)，eq f(r(6),2)eq o(AB1,sup6()eq o(A1M,sup6()103

5、eq f(6,2)0，eq o(AB1,sup6()eq o(A1M,sup6().即AB1A1M.5已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1A.eq f(8,3) B.eq f(3,8)C.eq f(4,3) D.eq f(3,4)解析：選C.如圖建立坐標系Dxyz，則A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，eq o(AD1,sup6()(2,0,4)，eq o(AB1,sup6()(0,2,4)，eq o(AA1,sup6()(0,0,4)，設平面AB1D1的法向量為n(x，y，z)，則eq bl

6、crc (avs4alco1(no(AD1,sup6()0，,no(AB1,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x4z0，,2y4z0，)解得x2z且y2z，不妨設n(2，2,1)，設點A1到平面AB1D1的距離為d，則deq f(|o(AA1,sup6()n|,|n|)eq f(4,3)，故選C.二、填空題6(2012漳州調研)長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析：建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，eq o(BC1,sup6()

7、(1,0,2)，eq o(AE,sup6()(1,2,1)，coseq o(BC1,sup6()，eq o(AE,sup6()eq f(o(BC1,sup6()o(AE,sup6(),|o(BC1,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(30),10).答案：eq f(r(30),10)7.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1解析：不妨設正三棱柱ABCA1B1C1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系(x軸垂直于AB則C(0,0,0)，A(eq r(3)，1,0)，B1(eq r(3)，1,2)，D(eq f(r(3

8、),2)，eq f(1,2)，2)，則eq o(CD,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，2)，eq o(CB1,sup6()(eq r(3)，1,2)設平面B1DC的法向量為n(x，y,1)，由eq blcrc (avs4alco1(no(CD,sup6()0，,no(CB1,sup6()0，)解得n(eq r(3)，1,1)又eq o(DA,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，2)，sin|coseq o(DA,sup6()，n|eq f(4,5).答案：eq f(4,5)8.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，則二面角C

9、1ABC解析：如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，eq o(AC1,sup6()(0,1,2)，eq o(AB,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，0)設n(x，y，z)為平面ABC1的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(1,2)y0，,y2z0.)取n(eq f(2r(3),3)，2，1)，同理取m(0,0,1)作為平面ABC的法向量則cosm，neq f(1,r(f(19,3)eq f(r(57),19).二面角C1ABC的余弦值為eq f(r(57),19).答案：eq f(r(57),19)三、解答題9(2010高考

10、天津卷)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點，CFAB2CE，ABADAA112(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點設AB1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，eq f(3,2)，0)(1)易得eq o(EF,sup6()(0，eq f(1,2)，1)，eq o(A1D,sup6()(0,2，4)，于是coseq o(EF,sup6()，eq o(A1D,sup6()eq f(o(EF,sup6()o(A

11、1D,sup6(),|o(EF,sup6()|o(A1D,sup6()|)eq f(3,5).所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為eq f(3,5).(2)證明：易知eq o(AF,sup6()(1,2,1)，eq o(EA1,sup6()(1，eq f(3,2)，4)，eq o(ED,sup6()(1，eq f(1,2)，0)，于是eq o(AF,sup6()eq o(EA1,sup6()0，eq o(AF,sup6()eq o(ED,sup6()0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)設平面EFD的法向量u(x，y，z)，則eq blcrc (avs

12、4alco1(uo(EF,sup6()0，,uo(ED,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)yz0，,xf(1,2)y0.)不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，eq o(AF,sup6()為平面A1ED的一個法向量，于是cosu，eq o(AF,sup6()eq f(uo(AF,sup6(),|u|o(AF,sup6()|)eq f(2,3)，從而sinu，eq o(AF,sup6()eq f(r(5),3).所以二面角A1EDF的正弦值為eq f(r(5),3).10四棱錐PABCD的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示(1)寫出四棱錐PABCD

13、中四對線面垂直關系(不要求證明)；(2)在四棱錐PABCD中，若E為PA的中點，求證：BE平面PCD；(3)在四棱錐PABCD中，設面PAB與面PCD所成的角為(090)，求cos的值解：(1)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD.CD平面PAC.(2)依題意AB，AD，AP兩兩垂直，分別以直線AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如上圖則P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)E是PA的中點，點E的坐標為(0,0,1)，eq o(BE,sup6()(2,0,1)，eq o(PC,sup6()(2,2

14、，2)，eq o(PD,sup6()(0,4，2)設n1(x，y，z)是平面PCD的法向量由eq blcrc (avs4alco1(n1o(PC,sup6()，,n1o(PD,sup6()，)即eq blcrc (avs4alco1(2x2y2z0，,4y2z0，)取y1，得n1(1,1,2)為平面PCD的一個法向量eq o(BE,sup6()n12101120，eq o(BE,sup6()n1，eq o(BE,sup6()平面PCD.又BE平面PCD，BE平面PCD.(3)由(2)，平面PCD的一個法向量為n1(1,1,2)又AD平面PAB，平面PAB的一個法向量為n2(0,1,0)cos|

15、eq f(n1n2,|n1|n2|)|eq f(1,r(6)eq f(r(6),6).一、選擇題1.如圖所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，點D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點，若BCCACC1，則BD1與AF1A.eq f(r(30),10) B.eq f(r(10),10)C.eq f(r(5),10) Deq f(r(30),10)解析：選A.建立如圖所示的空間直角坐標系，設BCCACC12，則A(2,0,0)，B(0，2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0，2,2)D1、F1為A1B1、A1C1D1(1,1,2)，F(xiàn)1(1,0,2)，eq o(BD

16、1,sup6()(1，1,2)，eq o(AF1,sup6()(1,0,2)，eq o(BD1,sup6()eq o(AF1,sup6()(1，1,2)(1,0,2)3，|eq o(BD1,sup6()|eq r(1122)eq r(6)，|eq o(AF1,sup6()|eq r(122)eq r(5)，coseq o(BD1,sup6()，eq o(AF1,sup6()eq f(3,r(6)r(5)eq f(3r(30),30)eq f(r(30),10).2.(2010高考北京卷)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若

17、EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()A與x，y，z都有關B與x有關，與y，z無關C與y有關，與x，z無關D與z有關，與x，y無關答案：D二、填空題3已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若ABCD2，則四面體ABCD的體積的最大值為_解析：過CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB與P，設點P到CD的距離為h，則有V四面體ABCDeq f(1,3)2eq f(1,2)2heq f(2,3)h，當直徑通過AB與CD的中點時，hmax2eq r(2212)2eq r(3)，故Vmaxeq f(4r(3),3).答案：eq f(4r(3),3)4.

18、(2011高考湖北卷)如圖，直角坐標系xOy所在的平面為，直角坐標系xOy(其中y軸與y軸重合)所在的平面為，xOx45.(1)已知平面內有一點P(2eq r(2)，2)，則點P在平面內的射影P的坐標為_；(2)已知平面內的曲線C的方程是(xeq r(2)22y220，則曲線C在平面內的射影C的方程是_解析：(1)設點P在平面內的射影P的坐標為x，y，則點P的縱坐標和P(2eq r(2)，2)縱坐標相同，所以y2，過點P作PHOy，垂足為H，連結PH，則PHP45，P橫坐標xPHPHcos45xcos452eq r(2)eq f(r(2),2)2，所以點P在平面內的射影P的坐標為(2,2)；(

19、2)由(1)得xxcos45xeq f(r(2),2)，yy，所以eq blcrc (avs4alco1(xr(2)x,yy)代入曲線C的方程(xeq r(2)22y220，得(eq r(2)xeq r(2)22y220(x1)2y21，所以射影C的方程填(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答題5.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側面A1ABB1和BCC1B1是兩個全等的正方形，AC1平面A1DB，D為AC的中點(1)求證：平面A1ABB1平面BCC1B1；(2)求證：B1C平面A1DB(3)設E是CC1上一點，試確定點E的位置，使平面A1DB平面BDE，并說明理由

20、解：(1)證明：如圖，連結AB1交A1B于O點，連結OD.AC1平面A1DB，A1B平面A1DB，AC1A1B.又在正方形A1ABB1中，A1BAB1，AC1AB1A.A1B面AC1B1.又B1C1面AC1B1A1BB1C1在正方形BCC1B1中有B1C1BB1又BB1A1BB，B1C1平面A1ABB1平面A1ABB1平面BCC1B1.(2)證明：由(1)知BC，BB1，BA兩兩垂直，如圖以B為原點，BC，BB1，BA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Bxyz，設正方形邊長為1，則C(1,0,0)，C1(1,1,0)，B1(0,1,0)，A1(0,1,1)，A(0,0,1)，D(eq f(1

21、,2)，0，eq f(1,2)由AC1平面A1DB，得平面A1DB的一個法向量為neq o(AC1,sup6()(1,1，1)eq o(B1C,sup6()(1，1,0)，eq o(B1C,sup6()n(1，1,0)(1,1，1)1100.又B1C平面A1DB，B1C平面A1(3)設點E(1，b,0)，平面BDE的法向量為m(x，y，z)，則由eq blcrc (avs4alco1(mo(BE,sup6()0，,m o(BD,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(xyb0，,f(1,2)xf(1,2)z0，)令y1，則m(b,1，b)，由mn(b,1，b)(1,1，1)

22、0，得beq f(1,2)，即當E為CC1中點時，平面A1DB平面BDE.6.(2011高考四川卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA1eq blc(rc)(avs4alco1(1)求證：CDC1D；eq blc(rc)(avs4alco1(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；eq blc(rc)(avs4alco1(3)求點C到平面B1DP的距離解：法一：(1)證明：如圖所示，連接AB1，與BA1交于點O，連接OD，PB1平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P平面B

23、DA1OD，ODPB1.又AOB1O，ADPD.又ACC1P，CDC1D.eq blc(rc)(avs4alco1(2)如圖所示，過點A作AEDA1于點E，連接BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C由三垂線定理可知BEDA1，BEA為二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)212)eq f(r(5),2)，又SAA1Deq f(1,2)11eq f(1,2)eq f(r(5),2)AE，AEeq f(2r(5),5).在RtBAE中，BEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),

24、5)2)eq f(3r(5),5)，cosBEAeq f(AE,BE)eq f(2,3).故二面角AA1DB的平面角的余弦值為eq f(2,3).eq blc(rc)(avs4alco1(3)由題意知，點C到平面B1DP的距離是點C到平面DB1A的距離設此距離為h，VCAB1DVB1ACD，eq f(1,3)SDB1Aheq f(1,3)SACDB1A1.由已知可得APeq r(5)，PB1eq r(5)，AB1eq r(2)，在等腰AB1P中，SAB1Peq f(1,2)AB1eq r(AP2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AB1)2)eq f(3,2).SAB1Deq f(

25、1,2)SAB1Peq f(3,4).又SACDeq f(1,2)ACCDeq f(1,4)，heq f(SACDB1A1,SDB1A)eq f(1,3).故點C到平面B1DP的距離等于eq f(1,3).法二：如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A1eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，0)，B1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，0)，C1eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，0，1).eq blc(rc)(avs4alco1(1)證明：設C1Dx，ACPC1，eq f(C1P,AC)eq f(C1D,CD)eq f(x,1x).由此可得Deq blc(rc)(avs4alco1(0，1，x)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(x,1x)，0).eq o(A1B,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，1)，eq o(A1D,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，x)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1f