考研線性代數(shù)公式

1、考研線性代數(shù)公式1、行列式行列式共有2個(gè)元素，展開后有，項(xiàng)，可分解nn 2n!為行列式；2n代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無關(guān)；A a、集行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為川；A|代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系:M = （1）i iAA = （1）i+jMV司司設(shè)行列式：nD將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，1則 I ；D = （1）Td將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9/所得行列式為D，2則 D = （13 ；將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D，3則 ；D = D將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為/則 ； DDD = D44行列式的

2、重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積；X （1） 2、上、下三角行列式( 素的乘積；、S、拉普拉斯展開式:I”M):主對角元和：副對角元素的乘積X (1)、上、下三角行列式( 素的乘積；、S、拉普拉斯展開式:I”M):主對角元和：副對角元素的乘積X (1)A OC Bm)；)2A CO B=Ia|bI=(1)rn n |a|b|、范德蒙行列式:大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;、特征值；,義 ，其|xE ,義 ，其|xE A| = Xn + 2 (1)fc S 入n kkk =1nA中為左階主子式；S k證聊八的方法：A = 0、A = I Al、反證法；、構(gòu)造齊

3、次方程組4 ,證明其有非零解;Ax = 0、利用秩，證明??；r(A) n、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：A n(是非奇異矩陣)；=r (=r (A) = n的行(列)向量組線性無關(guān); =A齊次方程組 有非零解； =A = 0l=jw,總有唯一解;=Pb e Rn Ax = b與等價(jià);EA可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積;=A4的特征值全不為0；=A是正定矩陣；。AtA的行（列）向量組是的一組基;。ARn是.中某兩組基的過渡矩陣；。A Rn對于.階矩陣a : “.A = |AE無條件恒成立；矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均4可逆:

4、A B若4若4A =As JAl = AJAAII、A-1 =(A1-1A-12、-1(II、A-1 =(A1-1A-12、-1(A-1A-1 Js;（主對角分塊）B-1J、-1B-1)；;（副對角分塊）vA-1、-1-A-1CB-1)；;（拉普拉斯）B-1J、-1(、-1(A -1;（拉普拉斯）V- B-1CA-1 B-1J33、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個(gè)s矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn) 形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：Er。、O O, y mxn等價(jià)類:所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合, 稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩 陣；B 9B 9，(幺)=r(B) S 8 ；行最簡形矩陣：

5、、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0元素必須為1;、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須 為0;初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、若 （A,E）Q（E,X）， WL可逆，且X；、對矩陣（做初等行變化，當(dāng)變?yōu)?時(shí)，B 就變成，即:、求解線形方程組：對于個(gè)未知數(shù)”個(gè)方程Ax = b， 如果 （4A）n（E,x）， 貝h可逆，且初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;、A、A，左乘矩陣，人乘的各行元素；右乘，乘N的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號(hào) )9 且 例如：1、倍乘某行或某列，符號(hào) 躋(A)， 且

6、 E(ig = (/(1),( Y1例如： k = | (SO)；(H J、倍加某行或某列，符號(hào) E(ij(k) ，且 E(ij(k)T = E(ij(-k),p 十(-A、女口:1=1 (A 0)；矩陣秩的基本性質(zhì):(J)、 0r(4x)Vmin(m,/i)；、若如 B ,則 r(A) = r(B)；(可逆、若八?？赡?，則 尸以)=r(PA) = r(/Q) = r(PAQ)；(可逆、矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(N),r(8) r(A,B) r(N) + r(8)；、r(A 4- B) r(A) + r(B)；、r(AB) ；、如果是 矩陣，“是 矩陣，且口 ，A m x nB n x

7、 sAB = 0則：()I、的列向量全部是齊次方程組“。解(轉(zhuǎn)BAX = 0li置運(yùn)算后的結(jié)論)；liII、r (A) + r (B) n、若A、B均為n階方陣，則r(AB(A)+r(B)-n；三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣的形式，再采用結(jié)(向量)行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)x合律；、型如(1010項(xiàng)的矩陣:利用二項(xiàng)展開式;、型如(1010項(xiàng)的矩陣:利用二項(xiàng)展開式;(a + b)n = C0an + C1 an-1b1 + Cman-mbm + Cn-1“1方-1 + Cnbn = S Cmmbn-mnnn注：II、Cmnnnn, , m = 0I、方、展開后有I項(xiàng)

8、；(a + b) nn +1n(n 一 1)(n m +1)12 3 m.組n!= C 0 = Cn = 1m !(n - m)!n n合的性質(zhì)Cm = Cm = Cn - mnn、伴隨矩陣:S Cr = 2nrCr = nC r-1-=0Cm = Cm + Cm-1 n+1 n n r=0 利用特征值和相似對角化:、伴隨矩陣的秩：心Ir、伴隨矩陣的秩：心Ir (A*)= r (A) = n；r (A) = n 1 9 10r(A) n 一 1特征值：，,中有階子式全部為0；r (A) n AnAx b，其中A為矩陣，則： 與方程的個(gè)數(shù)相同，艮即方程組力有個(gè)mA = b min0、伴隨矩陣的A

9、 (AX = XX,A* = |a|A-m A*X = X)；XX、11、I 11 in1A* = |a|a-i An1關(guān)于矩陣秩的描述：A、r(A)=n，A中有“階子式不為0，”+1階子式全 TOC o 1-5 h z 部為0；(兩句話)”、r (A) n 一一線性方程組：、方程；與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組，方 nAx = b、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組，方 nAx = b為元方程；n方程:、a x +a x + +a x =b、L 1 12 2In n1a x +a x + +a x =b( a a 、a1 2a x +a x + +a x =b ml 1 m2 2 nm n

10、ji( a a 、a1 2a x +a x + +a x =b ml 1 m2 2 nm n jiX22122a In a- 2n6b )1b2A h (向量方程，4為 o Ax =bA mxna. aa a- a- x： )卜ml m2mn mm矩陣，個(gè)方程，個(gè)耒知數(shù))7kmn maB (全部按列分塊，其中B=JjpR (線性表出) +a x = Pax +a xR (線性表出) +a x = Pax +a x1 12 2n n、有解的充要條件：s以時(shí)(為未知數(shù)r(A) = r(A,p) n n的個(gè)數(shù)或維數(shù))4、向量組的線性相關(guān)性構(gòu)成W %1-個(gè)維列向量所組成的向量組構(gòu)成W %nxm矩陣.，

11、 JnxmA = (a ,a , ,a )個(gè)維待向量所組成的向MB構(gòu)B 阮，阮，阮12m-陣矩nX成含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對 應(yīng);、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)4。有、無非 零解；(齊次線性方程組)是否有解；（線。Ax = b是否有解；是否有解；（線。Ax = b是否有解；O AX = b線性相關(guān)Q ；a= a = 0R線性相關(guān) R坐標(biāo)成比例或共線（平a, Po a, P性方程組）、向量組的相互線性表示（矩陣方程）矩陣、與H行向量組等價(jià)的充分必要條件是: A B齊次方程組:和同解；（P例14） Ax = 0 Bx = 0P1014- 5 = ,；（P101 例 15）I=J維向量線性相

12、關(guān)的幾何意義：I=Jn TOC o 1-5 h z 、行）；B線性相關(guān)B共面;aB線性相關(guān)B共面;a, P, yo a, P, y線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；a ,a , ,aa ,a , ,a ,a12 s12 s s+1若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向a , a , , aa , a , , a12 s12s-1量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對偶）若 維向量組 的每個(gè)向量上添上 個(gè)分量，rAn 一 r構(gòu)成維向量組:nB競線性無關(guān)，則蹤也線性無關(guān)；反之若.線性ABB相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減 A減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定;向量組4 （個(gè)數(shù)為）能

13、由向量組（個(gè)數(shù)為）ArBs線性表示，且A線性無關(guān)，則,心向量組4 （個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為）ArBs線性表示，且A線性無關(guān)，則,心（二版p定理7）；一74向量組A能由向量組B線性表示，則；（p定86理3）向量組能由向量組線性表示 AB有解；o AX = B*。r=r（A,B）（ P,定理向量組能由向量組”等價(jià)湘 ABo r （A） = r （B）理2推論）方陣可逆 存在有限個(gè)初等矩陣Aol=JwI=jwl=Jl=Jwl=jLeej，(4 B)( P 定85A=PP P ；、矩陣行等價(jià)：r（左乘，可逆）A B o PA = BPo Ax = 0與 同解 Bx = 0（右乘，e可逆）；:可逆）

14、；、矩陣列等價(jià)：4勺如（右乘，e可逆）；:可逆）；ABoAQ = B、矩陣等價(jià)：aboPAQ = B（ P、9.對于矩陣.與.: A B、若寫右等價(jià)，則與的行秩相等；A BA B、若4與H行等價(jià)，則4 與A 同解，且4A BA = 0 Bx = 0A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相 關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣4的行秩等于列秩；A、的列1莆11組能由4的列向量組線性表示，為CAB系數(shù)矩陣；、的行向量組能由B的行向量組線性表示，“CBAT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)齊次方程組.。的解一定是血。的解，考試Bx = 0ABx = 0中可以直接作為定理使用，而無需證明；、4A 0只有零

15、解R。只有零解；ABx = 0n Bx = 0、A 0有非零解仙。一定存在非零解；Bx = 0n ABx = 0設(shè)向量組可由向量組 線性B : b , b , , bA : a , a , , a表示為：(題19結(jié)論)”“12 TOC o 1-5 h z 110.()(b , b , , b ) = (a , a , , a ) K B = AK其中K為1且線性無關(guān)，則，組線性無關(guān)K s x rAB兇；(.與的列向量組具有相同線性相關(guān)。r (K) = rB K性)(必要性：；充分性：r = r(B) = r(AK) r(K),r(K) r, r(K) = r反證法) 注：當(dāng)時(shí)，配為方陣，可當(dāng)作定理使用； TOC o 1-5 h z r = sK、對矩陣A，存在Q，AQ = E 5(A) = m、Q的 列向量線性無關(guān)；(p廣 、的P.A = E。r (、的P.A = E。r (A) = nPn行向量線性無關(guān)；nxm14. 線性相關(guān) a,a, ,a TOC o 1-5 h z =存在二組不全為0的數(shù)kk k，使得