2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題11.1 隨機事件、古典概型與幾何概型（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題十一概率與統(tǒng)計11.1隨機事件、古典概型與幾何概型高考理數(shù)考點一隨機事件的概率考點清單考向基礎(chǔ)1.隨機事件的頻率與概率(1)頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下進行n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率:對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)n的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,則把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率.2.事件的關(guān)系與運算 定義符號表示包含關(guān)系一般地,對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA

2、(或AB)相等關(guān)系一般地,若AB且BA,則稱事件A與事件B相等A=B并事件(或和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(或積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱該事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥AB=對立事件若AB為不可能事件,而AB為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件AB=,P(AB)=P(A)+P(B)=1【知識拓展】互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系:互斥事件與對立事件都是指兩個事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時發(fā)生

3、的兩個事件,而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者必須有一個發(fā)生.因此,對立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是對立事件.3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)=1.(3)不可能事件的概率P(F)=0.(4)概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(AB)=P(A)+P(B).(5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則P(A)+ P(B)=1.考向突破考向求互斥事件、對立事件的概率例(2019遼寧沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(三),6)我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.周髀算經(jīng)九章算術(shù)海島算經(jīng)孫子算經(jīng)緝古算經(jīng)等10部專著,有著十分

4、豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()A.B.C.D. 解析設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著為事件A,由題意知P()=,因此P(A)=1-P()=1-=,故選A.答案A考點二古典概型考向基礎(chǔ)1.古典概型的兩個特點(1)有限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.(2)等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)在基本事件總數(shù)為n的古典概型中,每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的,即每

5、個基本事件的概率都是.(2)對于古典概型,事件A發(fā)生的概率為P(A)=.考向突破考向古典概型的概率例(2019福建廈門一模,5)易經(jīng)是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為()A.B.C.D. 解析觀察八卦圖可知,含有3根陰線的共有1卦,含有3根陽線的共有1卦,含有2根陰線1根陽線的共有3卦,含有1根陰線2根陽線的共有3卦,故從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線恰有三根陽線和三根陰線的概率為=.故選D.答案D考點三幾何概型考向基礎(chǔ)1.幾

6、何概型的概念如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2.幾何概型的特點(1)無限性:即在一次試驗中,基本事件的個數(shù)是無限的.(2)等可能性:即每個基本事件發(fā)生的可能性相等.3.幾何概型的計算公式設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域,事件A所對應(yīng)的區(qū)域用A表示(A),則P(A)=.考向突破考向幾何概型的概率例(2020屆山西大同開學(xué)考試,14)中國象棋是中華文化的瑰寶,中國象棋棋盤上的“米”字形方框叫做九宮,取意后天八卦中的九星方位圖.現(xiàn)有一張中國象棋棋盤如圖所示.若在該棋盤矩形區(qū)城內(nèi)(其中楚河漢界寬度等于每個

7、小格的邊長)隨機取一點,該點落在九宮內(nèi)的概率是. 解析整個棋盤的面積為98=72,九宮的面積為22+22=8,則隨機取一點,該點落在九宮內(nèi)的概率P=.答案 方法1古典概型概率的求法1.古典概型概率的求解步驟方法技巧2.基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法:此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型.(2)列表法:此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗,也可看成坐標(biāo)法.(3)畫樹狀圖法:畫樹狀圖法是進行列舉的一種常用方法,適用于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探求.(4)運用排列組合知識計算.例1(2019安徽合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測,10)某商場進行購物摸獎活動,規(guī)則如下:在一個封閉的紙箱中裝

8、有標(biāo)號分別為1,2,3,4,5的五個小球,每次摸獎需要同時取出兩個小球,每位顧客最多有兩次摸獎機會,并規(guī)定:若第一次取出的兩球號碼連號,則中獎,摸獎結(jié)束;若第一次未中獎,則將這兩個小球放回后進行第二次摸球,若與第一次取出的兩個小球號碼相同,則為中獎.按照這樣的規(guī)則摸獎,中獎的概率為()A.B.C.D. 解題導(dǎo)引 解析由題意可知分兩種情況:摸到連號小球的概率P1=;摸到與第一次所摸到的小球同號的概率P2=,中獎的概率P=P1+P2=+=.故選C.答案C方法2幾何概型概率的求法1.判斷試驗是不是幾何概型,要切實理解并掌握幾何概型的兩個基本特點:無限性和等可能性.2.求解幾何概型概率的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.當(dāng)考察對象為點,點的活動范圍在線段上時,用線段長度比計算;當(dāng)考察對象在某塊區(qū)域時,用面積比計算;當(dāng)考察對象在某個空間時,用體積比計算.例2(2018湖北黃岡、黃石等八市3月聯(lián)考,6)若張三每天的工作時間在6小時至9小時之間隨機均勻分布,則張三連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時的概率是