二次函數(shù)極值問(wèn)題

1、關(guān)于二次函數(shù)的極值問(wèn)題第1頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四1、求下列二次函數(shù)的最大值或最小值： y=x22x3; y=x24x解：（1）y=（x1）22 當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為2。 （2）y=（x+2）24 當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為4。歸納：一般地，因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是 最低（高）點(diǎn)，所以當(dāng)x= 時(shí)，二次函 數(shù)y=ax2+bx+c有最小（大）值 。第2頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四-202462-4xy若3x3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為（ ）、（ ）。 又若0 x3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為（ ）、（ ）。求函數(shù)的最

2、值問(wèn)題，應(yīng)注意什么?55 555 132、圖中所示的二次函數(shù)圖像的解析式為： 第3頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四一、自主探究 問(wèn)題1.已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)是每件60元，每星期可賣出300件。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤(rùn)，該商品應(yīng)定價(jià)為多少元？第4頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)是每件 60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤(rùn)，該商品應(yīng)定價(jià)為多少元？分析：沒(méi)調(diào)價(jià)之

3、前商場(chǎng)一周的利潤(rùn)為 元；設(shè)銷售單價(jià)上調(diào)了x元，那么每件商品的利潤(rùn)可表示為 元，每周的銷售量可表示為 件，一周的利潤(rùn)可表示為 元，要想獲得6090元利潤(rùn)可列方程 。 6000 20+x300-10 x (20+x)( 300-10 x) (20+x)( 300-10 x) =6090 第5頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)是每件 60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤(rùn)，該商品應(yīng)定價(jià)為多少元？ 若設(shè)銷售單價(jià)x元，那么每件商品的利潤(rùn)可表示為 元，每周的銷售量可表示

4、為 件，一周的利潤(rùn)可表示 為 元，要想獲得6090元利潤(rùn)可列方程 . x-40300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6090第6頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四二、自主合作問(wèn)題2.已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元?，F(xiàn)在的售價(jià)是每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)一元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)一元，每星期可多賣出20件。如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？第7頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解：設(shè)每件漲價(jià)為x元時(shí)獲得的總利潤(rùn)為y元.y =(60-40+x)(300-10

5、 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x-600) =-10(x-5)2-25-600 =-10(x-5)2+6250當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值是6250.定價(jià):60+5=65（元）(0 x30)怎樣確定x的取值范圍第8頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說(shuō)當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以，當(dāng)定價(jià)為65元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元也可以這樣求極值第9頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，

6、5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解:設(shè)每件降價(jià)x元時(shí)的總利潤(rùn)為y元.y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 所以定價(jià)為60-2.5=57.5時(shí)利潤(rùn)最大,最大值為6125元. 答:綜合以上兩種情況，定價(jià)為65元時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為6250元.由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應(yīng)該如何定價(jià)能使利潤(rùn)最大了嗎?怎樣確定x的取值范圍（0 x20）第10頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 2.某公司試銷一種成本單價(jià)為500元的新產(chǎn)品，

7、規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),又不高于800元/件,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)可以近似看作一次函數(shù)的關(guān)系(如圖). (1)根據(jù)圖象,求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)為s元,試求s與x的函數(shù)關(guān)系式; (3)試問(wèn):銷售單價(jià)定為多少時(shí),該公司可獲得最大利潤(rùn)?最大毛利潤(rùn)是多少?此時(shí)的銷售量是多少?600700400300Oxy(3)當(dāng)x=750時(shí),s最大為62500元,銷售量為250件.第11頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四歸納小結(jié)：運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值的一般步驟 :求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍配方變形

8、，或利用公式求它的最大值或最小值。檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 。解這類題目的一般步驟第12頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 1.某產(chǎn)品每件的成本價(jià)是120元,試銷階段,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035 (1)則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 _；y=-x+200(120 x200)若銷售量y是銷售價(jià)格x的一次函數(shù).第13頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 1.某產(chǎn)品每件的成本價(jià)是120元,試銷階段,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格x(元)與產(chǎn)品的日銷售量

9、y(件)之間的關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035(2)若要獲得最大的銷售利潤(rùn),每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為多少元？此時(shí)每日的銷售利潤(rùn)是多少？設(shè)銷售利潤(rùn)為W,則W=(x-120)y=(x-120)(-x+200)=-x2+320 x-2400W=1600則:若銷售量y是銷售價(jià)格x的一次函數(shù).第14頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四2.某種糧大戶去年種植優(yōu)質(zhì)水稻360畝,今年計(jì)劃增加承租x(100 x150)畝,預(yù)計(jì),原種植的360畝水稻今年每畝可收益440元,新增加地今年每畝的收益為(440-2x)元,試問(wèn):該種植大戶要增加承租多少畝水稻,才能使總收益最大

10、?最大收益是多少?y=440360+(440-2x)x=-2x2+440 x+158400=-2(x-110)2+182600所以,當(dāng)x=110時(shí),y有最大值182600設(shè)該種糧大戶的今年總收益為y元.第15頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四3.某旅社有客房120間,每間房間的日租金為50元,每天都客滿,旅社裝修后要提高租金,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,如果一間客房的日租金每增加5元,則客房每天出租會(huì)減少6間,不考慮其它因素,旅社將每間客房的日租金提高到多少元時(shí),客房日租金總收入最高？比裝修前的日租金的總收入增加多少元？設(shè)日租金提高x元，客房日租金總收入為y元50+x=75第16頁(yè)，共2

11、9頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 某商場(chǎng)銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為每箱40元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱以50 元銷售,平均每天可銷售100箱. 價(jià)格每箱降低1元，平均每天多銷售25箱 ; 價(jià)格每箱升高1元，平均每天少銷售4箱。如何定價(jià)才能使得利潤(rùn)最大？ 練一練若生產(chǎn)廠家要求每箱售價(jià)在4555元之間。如何定價(jià)才能使得利潤(rùn)最大？（為了便于計(jì)算，要求每箱的價(jià)格為整數(shù)）第17頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解：設(shè)利潤(rùn)為y，每箱漲價(jià)x元，則每天可售出（1004x）箱，根據(jù)題意，得 y=（10+x）（1004x） =4（x ）2+1225 （0 x5） 當(dāng)x= 時(shí)

12、，y最大值=1225。 設(shè)每箱降價(jià)z元，則每天可售出（100+25z）箱，根據(jù)題意，得 y=（10z）（100+25z） =25（z2）2+1100（0z5） 當(dāng)z=2時(shí)，y最大值=1100。 因?yàn)閺S家要求售價(jià)在4555之間，所以應(yīng)每箱漲價(jià)5元，即每箱定價(jià)為55元時(shí)，利潤(rùn)最大。第18頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了一種活蟹1000千克，放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元。據(jù)測(cè)算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)，每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元（放養(yǎng)期間

13、蟹的重量不變）.設(shè)x天后每千克活蟹市場(chǎng)價(jià)為P元，寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.如果放養(yǎng)x天將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。 該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)，（利潤(rùn)=銷售總額-收購(gòu)成本-費(fèi)用）？最大利潤(rùn)是多少？思考第19頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解：由題意知:P=30+x. 由題意知：死蟹的銷售額為200 x元，活蟹的銷售額為（30+x）（1000-10 x)元。 駛向勝利的彼岸Q=(30+x)(1000-10 x)+200 x =-10 x2+900 x+30000設(shè)總利潤(rùn)為W=Q-30000-400 x

14、=-10 x2+500 x =-10(x-25)2+6250當(dāng)x=25時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元。第20頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四第21頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 例題:學(xué)校要建一個(gè)生物花圃園，其中一邊靠墻，另三邊用長(zhǎng)為30米的籬笆圍成，已知墻長(zhǎng)為18米，設(shè)這個(gè)花圃垂直的一邊為x米.（1）平行于墻的一邊為y米，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系及自變量x的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)花圃的面積最大，并求這個(gè)最大值；（3）當(dāng)這個(gè)花圃園的面積不小于88平米時(shí)，（結(jié)合圖像）直接寫出x的取值范圍。(1)分析：y=30

15、-2x第22頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解： 當(dāng)垂直于墻的邊長(zhǎng)為7.5米是，花圃的面積最大為112.5平方米。第23頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 -2x2+30 x=88解得：x1=4 ,x2=116X 15當(dāng) 6X 11時(shí)， 花圃園的面積不小于88平方米由圖像得:（3）分析：15第24頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四解： （3）由圖象知：當(dāng)6X 11時(shí)，面積 不小于88平方米. 當(dāng)垂直于墻的邊長(zhǎng)為7.5米是，花圃的面積最大為112.5平方米。第25頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四如圖，在一

16、面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長(zhǎng)度為8米，則求圍成花圃的最大面積。 ABCD解： (1) AB為x米、籬笆長(zhǎng)為24米 花圃寬為（244x）米 (3) 墻的可用長(zhǎng)度為8米 (2)當(dāng)x 時(shí)，S最大值 36（平方米） Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x6當(dāng)x4cm時(shí)，S最大值32 平方米第26頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四何時(shí)窗戶通過(guò)的光線最多某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)(圖中所有的黑線的長(zhǎng)度和)為15m.當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過(guò)的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)?此時(shí),窗戶的面積是多少?做一做xxy第27頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四例.小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍