2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題專題十六不等式選講（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題十六不等式選講高考理數(shù)考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)若c0,則|ax+b|c等價(jià)于-cax+bc,|ax+b|c等價(jià)于ax+bc或ax+b-c,然后根據(jù)a,b,c的值求解即可.(2)若c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀數(shù)形結(jié)合法通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想,正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫(huà)出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵注意分區(qū)間討論時(shí),一是不要把分成的區(qū)間的端點(diǎn)遺漏;二是原不等式的解集是若干個(gè)不等式解集的并集,而不是交集.3.|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法(

2、1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x).4.絕對(duì)值三角不等式定理1如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立.定理2如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立.上述定理還可以推廣到以下兩個(gè)不等式.(1)|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|;(2)|a|-|b|ab|a|+|b|.考向突破考向一絕對(duì)值不等式的解法例1(2017課標(biāo),23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若

3、不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.解析(1)f(x)=當(dāng)x2時(shí),由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.(2)解法一:由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),|x+1|-|x-2|-x2+x=.因?yàn)樵坏仁降慕饧强?所以m的取值范圍為.解法二:易知f(x)=設(shè)g(x)=x2-x+m=+m-,則g(x)=2x-1.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)g(x)及f(x)的圖象(圖略),觀察圖象可知直線y=2x-1為拋物線y=g(x)的切線時(shí),有g(shù)(x)f(x).設(shè)

4、切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則由2x0-1=2得x0=,則y0=2-1=2.所以不等式f(x)x2-x+m的解集非空時(shí),gf,得m,即m的取值范圍是.考向二含有絕對(duì)值的恒成立、存在性、參數(shù)范圍的問(wèn)題例2(2019河北省級(jí)示范性高中4月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-5|(a0).(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)5;(2)當(dāng)xa,2a-2時(shí),不等式f(x)|x+4|恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2時(shí), f(x)=|x+2|+|2x-5|=(2分)由f(x)5,得或 或(4分)解得x2或x,所以不等式f(x)5的解集為.(5分)(2)因?yàn)閒(x)|x+4|,所以|x

5、+a|+|2x-5|x+4|,因?yàn)閤a,2a-2,所以2a-2a,所以a2,所以x+a0,x+40,得x+a+|2x-5|x+4,不等式恒成立,即|2x-5|4-a在xa,2a-2上恒成立,(7分)由不等式恒成立可得a4,a-42x-54-a,即a+12x9-a.(8分)所以解得1a,(9分)結(jié)合2a4,得2b,只需證a-b0.(2)作商法:要證明ab(b0),只要證1.2.綜合法從已知條件,不等式的性質(zhì)和基本不等式等出發(fā),通過(guò)邏輯推理,推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.3.分析法從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),

6、從而得出要證的命題成立.4.反證法先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立.5.放縮法證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的.考向突破考向不等式的證明例(2020屆廣西玉林第二次月考,23)已知正數(shù)a,b滿足+=1.(1)證明:ab;(2)若存在實(shí)數(shù)x,使得|x+2|-=a+b,求a,b.解析(1)證明:4a+b=(4a+b)=4+4+2+=,1,又1=+2,ab1,ab.(5分)(2)

7、|x+2|-(x+2)-=,且當(dāng)即x時(shí),等號(hào)成立.a+b=(a+b)=1+1+2=,且當(dāng)=,即a=2b時(shí),等號(hào)成立.(10分)方法1含絕對(duì)值不等式的解法1.基本性質(zhì)法:對(duì)于a0,|x|a-axaxa.2.平方法:不等式兩邊同時(shí)平方去掉絕對(duì)值符號(hào).3.零點(diǎn)分區(qū)間法:含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解.4.幾何法:利用絕對(duì)值的幾何意義,畫(huà)出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解.5.數(shù)形結(jié)合法:在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象求解.方法技巧例1(2019河南駐馬店期末,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-1|(aR).(1)當(dāng)a=-1時(shí),求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)2x的解集包含,求a的取值范圍.解題導(dǎo)引 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析(1)當(dāng)a=-1時(shí),不等式f(x)2可化為|x-1|+|2x-1|2,當(dāng)x時(shí),不等式為1-x+1-2x2,解得x0;當(dāng)x1,求a的取值范圍;(2)若a0,x,y(-,a,都有不等式f(x)+|y-a|恒成立,求a的取值范圍.解析(1)f(1)+f(-1)1|1-a|-|1+a|1或或a-1或-1a