課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題4.4 解三角形（講解練）教學(xué)講練

1、專題四三角函數(shù)4.4解三角形高考文數(shù)考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.正、余弦定理2.解三角形的類型(1)已知兩角及一邊,用正弦定理,有解時(shí),只有一解.(2)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,用正弦定理,有解時(shí)可分為幾種情況.在ABC中,已知a、b和角A時(shí),解的情況如下:上表中A為銳角時(shí),absin A無解;A為鈍角時(shí),a=b,ab均無解.(3)已知三邊,用余弦定理,有解時(shí),只有一解.(4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解.考向突破考向一利用正、余弦定理解三角形例1(2019安徽安慶二模,7)若ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,

2、則等于()A.B.C.D. 解析由bsin 2A=asin B及正弦定理得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,又A,B(0,),所以sin A0,sin B0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2=3b2,得=.故選D.答案D例2(2017課標(biāo)全國(guó),16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.解析解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(1

3、80-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0BbABsin Asin B;(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;(4)在銳角三角形ABC中,sin Acos BA+B;(5)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;(6)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin=cos,cos=sin.考向一求三角形的面積考向突破例4(2019福建廈門一模,8)在ABC中,cos B=,b

4、=2,sin C=2sin A,則ABC的面積等于()A.B.C.D. 解析在ABC中,cos B=,b=2,sin C=2sin A,所以由正弦定理得c=2a;由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-2a2a=4a2=4,解得a=1,可得c=2,所以ABC的面積S=acsin B=12=.故選D.答案D考向二解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用例5(2020屆河南新鄉(xiāng)調(diào)研,15)如圖,為測(cè)量某山峰的高度(即OP的長(zhǎng)),選擇與O在同一水平面上的A,B為觀測(cè)點(diǎn).在A點(diǎn)測(cè)得山頂P的仰角為45,在B處測(cè)得山頂P的仰角為60.若AB=30米,AOB=30,則山峰的高為米. 解析設(shè)OP=h,

5、由題意可知OA=h,OB=h.在AOB中,由余弦定理可得302=h2+-2hhcos 30,解得h=30(負(fù)根舍去),故山峰的高度為30米.答案30 方法1利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法1.通過正弦定理、余弦定理化邊為角,利用三角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系并進(jìn)行判斷.2.利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系并進(jìn)行判斷.方法技巧例1設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)若bcos C+ccos B=asin A,判斷ABC的形狀;(2)若sin Asin Bsin C=51113,判斷ABC的形狀;(3)若a2+b2-c2=ab,且

6、2cos Asin B=sin C,試判斷ABC的形狀.解析(1)由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A,即sin(-A)=sin2A,sin A=sin2A.A(0,),sin A0,sin A=1,A=,ABC是直角三角形.(2)在ABC中,sin Asin Bsin C=51113,abc=51113,可設(shè)a=5k,b=11k,c=13k(k0),由余弦定理可得cos C=-0,又C(0,),C,ABC為鈍角三角形.(3)解法一:由正弦定理知=,2cos Asin B=sin C,cos A=,又由余弦定理得cos A=,=,即c

7、2=b2+c2-a2,a2=b2,a=b.又a2+b2-c2=ab,2b2-c2=b2,b2=c2,b=c,a=b=c.ABC為等邊三角形.解法二:A+B+C=180,sin C=sin(A+B),又2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin(A-B)=0,注意到A與B均為ABC的內(nèi)角,A=B,又a2+b2-c2=ab,cos C=,0C180,C=60,ABC為等邊三角形.方法2求解三角形實(shí)際問題的方法1.解三角形應(yīng)用題的兩種方法(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(

8、2)實(shí)際問題抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解條件已知的三角形,然后逐步求出其他三角形的解,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程,解方程得出所求的解.2.解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞,并能準(zhǔn)確地找出這些角;(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來使用,這樣可以優(yōu)化解題過程;(3)注意題目中的隱含條件以及解的實(shí)際意義.例2如圖,在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測(cè)得一輪船在海島北偏東30,俯角為30的B處,到11時(shí)10分又測(cè)得該船在海島北偏西60,俯角為60的C處.(1)求船的航行速度;(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問此時(shí)船距海島A有多遠(yuǎn)?解析(1)在RtPAB中,APB=60,PA=1,AB=.在RtPAC中,APC=30,AC=.在ACB中,CAB=30+60=90,BC=.則船的航行速度為=2(千