課標版高考文科數學總復習專題5.2 平面向量的數量積及平面向量的應用（講解練）教學講練

1、專題五平面向量5.2平面向量的數量積及平面向量的應用高考文數考點一平面向量的數量積考點清單考向基礎1.兩向量夾角的定義和范圍2.兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件3.平面向量的數量積4.向量數量積的性質設a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos .(2)當a與b同向時,ab=|a|b|;當a與b反向時,ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(3)|ab|a|b|.5.坐標表示若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.考向一求平面向量的數量積考向突破例1(1)(2020屆皖南八校摸底考試,5)已知=(-3,-

2、2),=(m,1),|=3,則=()A.7B.-7C.15D.-15(2)(命題標準樣題,13)設ABC中AC=1,AB=2,CAB=60,=a,=b,=c,則ab+bc+ca=.解析(1)=-=(m+3,3),|=3,(m+3)2+9=9,m=-3,=(-3,1),=(3,2),=-9+2=-7.(2)試題考查平面向量的概念、運算、平面向量數量積等數學知識.試題解法靈活多樣,考查化歸與轉化的數學思想,體現了理性思維的學科素養(yǎng).考查了邏輯推理能力、運算求解能力,落實了基礎性的考查要求.ab+bc+ca=b(a+c)+ca=-(a+c)2+ca=-a2-ca-c2=-4.答案(1)B(2)-4考

3、向二求平面向量的投影例2(2020屆貴州遵義摸底考試,6)已知向量a,b的夾角為60,且|a|=|b|=2,則向量a-b在向量a方向上的投影為()A.-1B.1C.2D.3解析設向量a-b與向量a的夾角為,則向量a-b在向量a方向上的投影為|a-b|cos =|a-b|=1,故選B.答案B考點二平面向量數量積的應用考向基礎1.向量數量積的應用已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)證明垂直問題,常用向量垂直的充要條件,abab=0 x1x2+y1y2=0.(2)求解夾角問題,常利用夾角公式:cos =(其中為a與b的夾角).(3)求線段長度問題,常利用向量的長度公式:|a|=或|=.

4、在ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)在=的條件下,存在使得I為ABC的內心;a+b+c=0P為ABC的內心.(2)|=|=|P為ABC的外心.(3)+=0G為ABC的重心.(4)=P為ABC的垂心.2.向量中常用的結論考向一求平面向量的夾角考向突破例3(2020屆廣西桂林十八中8月月考,6)已知向量a,b滿足|a|=,|b|=1,且|b+a|=2,則向量a與b的夾角的余弦值為()A.B.C.D. 解析由|b+a|=2得(b+a)2=4,即a2+2ab+b2=4.又|a|=,|b|=1,2+2ab+1=4,解得ab=.設向量a與b的夾角為,則有cos =,故選D.答案D例4(2

5、018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夾角為60,且|b|=1,|2a-b|=1,則|a|=()A.B.1C.D.2考向二求平面向量的模解析非零向量a,b的夾角為60,且|b|=1,ab=|a|1=.|2a-b|=1,|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4|a|2-2|a|+1=1,4|a|2-2|a|=0,|a|=(|a|=0舍去),故選A.答案A方法1平面向量的模的求解方法利用向量數量積求解向量的長度問題是向量數量積的重要應用,要掌握此類問題的處理方法:1.a2=aa=|a|2或|a|=.2.|ab|=.3.若a=(x,y),則|a|=或|a|2=x2+y2.方法技巧例1已知點A(

6、4,3)和點B(1,2),點O為坐標原點,則|+t|(tR)的最小值為()A.5B.5C.3D.解析由題意可得=(4,3),=(1,2),+t=(4+t,3+2t),|+t|=,tR,當t=-2時,|+t|取得最小值,故選D.答案D方法2平面向量夾角的求解方法1.定義法:利用向量數量積的定義知,cos =,其中兩個向量的夾角0,求解時應求出三個量:ab,|a|,|b|或找出這三個量之間的關系.2.坐標法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),為a,b的夾角,則cos =.3.三角函數法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面積公式等知識進行求解.例2(2020屆江

7、西南昌三校期初調研,6)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),則a與b的夾角為()A.B.C.D.解析由(a-b)(3a+2b),得(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=0,又知|a|=|b|,ab=3a2-2b2=3|b|2-2|b|2=|b|2.設a與b的夾角為,則cos =,又知0,=,即a與b的夾角為.答案A方法3用向量法解決平面幾何問題1.用向量法解決平面幾何問題的基本步驟:建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量的問題;通過向量運算研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;把運算結果轉化成幾何關系.2.用向量法解平面幾何問題,主要是通過建立平面直角坐標系將問題坐標化,然后利用平面向量的坐標運算求解有關問題,這樣可以避免繁雜的邏輯推理,同時加強了數形結合思想在解題中的應用.例3在平行四邊形ABCD中,AD=1,BAD=60,E為CD的中點.若=1,則AB的長為.解析解法一:由題意可知,=+,=-+.因為=1,所以(+)=1,即+-=1.因為|=1,BAD=60,所以=|,因此式可化為1+|-|2=1.解得|=0(舍去)或|=,所以AB的長為.解法二:以A為原點,AB所在直線為x軸建立如圖所