2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題6.2等差數(shù)列（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、6.2等差數(shù)列高考理數(shù)考點(diǎn)一等差數(shù)列及其性質(zhì)考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.定義式如下:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,nN*).2.通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,nN*.3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則ak+al=am+an.(3)若an是等差

2、數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等差數(shù)列,則pan+qbn(p,qR)也是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為md的等差數(shù)列.考向突破考向一等差數(shù)列基本量運(yùn)算例1(2019甘肅二診,4)在等差數(shù)列an中,已知a1與a11的等差中項(xiàng)是15,a1+a2+a3=9,則a9=()A.24B.18C.12D.6解析在等差數(shù)列an中,a1與a11的等差中項(xiàng)是15,(a1+a11)=a1+5d=15.a1+a2+a3=9,a1+d=3.聯(lián)立,得a1=0,d=3,a9=a1+8d=0+24=24.故選A.答案

3、A考向二等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用例2(2019江西紅色七校第一次聯(lián)考,3)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,若a2+a6+a10=,則tan(a3+a9)的值為()A.0B.C.1D. 解析數(shù)列an為等差數(shù)列,a2+a6+a10=,3a6=,解得a6=.a3+a9=2a6=,tan(a3+a9)=tan =.故選D.答案D考向基礎(chǔ)1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=n2+n.非零數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和Sn=f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù),且不含常數(shù)項(xiàng),即Sn=An2+Bn(A2+B20).3.在等差數(shù)列an中,若a10,d0,則Sn存在最大值;若a1

4、0,則Sn存在最小值.已知條件前n項(xiàng)和公式a1,an,nSn=a1,d,nSn=na1+d考點(diǎn)二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和4.與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)(1)若an是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項(xiàng)與an的首項(xiàng)相同,其公差是an的公差的.(2)若an是等差數(shù)列,Sm,S2m,S3m分別為an的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列.(3)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)(i)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=.(ii)若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.(4)兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和Sn、Tn之間的關(guān)

5、系為=.考向突破考向等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值例(2019河南百校聯(lián)盟考前仿真試卷,7)已知等差數(shù)列an滿足a1=32,a2+a3=40,則|an|的前12項(xiàng)之和為()A.-144B.80C.144D.304解析因?yàn)閍2+a3=2a1+3d=64+3d=40d=-8,所以an=40-8n,所以|an|=|40-8n|=所以|an|的前12項(xiàng)之和為+=80+224=304.答案D方法1等差數(shù)列的判定與證明方法解讀適合題型定義法對(duì)于大于2的任意自然數(shù)n,an-an-1為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an=pn+

6、q(p,q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇題、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列方法技巧例1(2018山東濟(jì)南一中1月檢測(cè),18)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列an滿足=an+2an,且a3=2a8=.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解題導(dǎo)引 解析(1)依題意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,兩邊同時(shí)除以anan+1an+2,可得+=,故數(shù)列是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為d.因?yàn)閍3=2a8=,所以=5,=10,所以-=5=5

7、d,即d=1,故=+(n-3)d=5+(n-3)1=n+2,故an=.(2)由(1)可知bn=,故Sn=.方法2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題求等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法: 例2(2019廣東中山一中等七校聯(lián)合體第二次聯(lián)考,8)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則Sn取得最大值時(shí)n的值為()A.5B.6C.7D.8解析解法一:(通項(xiàng)公式法)由題意,可得a6+a8=2a7=6a7=3,S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3a8=1,則d=a8-a7=-2,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=17-2n,令an0,即17-2n0,解得n,又由nN*,可得等差數(shù)列an中,當(dāng)1n8,nN*時(shí),an0,當(dāng)n9,nN*時(shí),an0,所以Sn取得最大值時(shí)n的值為8,故選D.解法二:(二次函數(shù)法)由題意可得a6+a8=