高中數(shù)學(xué)教學(xué)培訓(xùn)講座-高中數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題的理解與教學(xué)課件

1、高中數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題的理解與教學(xué)高中數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題的理解與教學(xué)有效教學(xué)的關(guān)鍵理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)?！叭齻€(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。特別強(qiáng)調(diào)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解，決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。有效教學(xué)的關(guān)鍵理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。案例一：1.2.1函數(shù)的概念（1）案例一：1.2.1函數(shù)的概念（1）（一）復(fù)習(xí)：從變量和對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)

2、y是x的函數(shù)，x叫做自變量。 正比例函數(shù)：y=k x（k0） 反比例函數(shù)：y=k /x（x0） 一次函數(shù)：y=a x+b（a 0） 二次函數(shù)：y=a X2 +b x+c（a 0）（一）復(fù)習(xí)：從變量和對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量請(qǐng)同學(xué)們思考下列四個(gè)問(wèn)題: （1）y=1（xR）是函數(shù)嗎？ （2）y=x與y=x2/x是同一個(gè)函數(shù)嗎？ 1 當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，2 當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)是函數(shù)嗎?（4） f (x)=x2與f (t)=t2是同一個(gè)函數(shù)嗎?（3）y=請(qǐng)同學(xué)們思考下列四個(gè)問(wèn)題: （1）y=1（xR）是函數(shù)嗎？下面先看幾個(gè)實(shí)例： (1)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為8

3、45m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時(shí)間t(單位:s)變化的規(guī)律是 h=130t-5t2 (*) 這里，炮彈飛行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A=t|0t26,炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B =h|0h845.從問(wèn)題的實(shí)際意義可知，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系(*)，在數(shù)集B中都有唯一的高度h和它對(duì)應(yīng)。下面先看幾個(gè)實(shí)例： (1)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s (2) 近幾十年來(lái)，大氣中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問(wèn)題。下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧空洞的面積從19792001年的變化情況： 根據(jù)下圖中的曲線可知，時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A =t|1979t2001，臭氧層空

4、洞面積S的變化范圍是數(shù)集B =S|0S26.并且，對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)刻t，按照?qǐng)D中的曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對(duì)應(yīng). (2) 近幾十年來(lái)，大氣中的臭氧迅速減少，因而出 (3) 國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。下表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間(年)變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化。請(qǐng)仿照（1）、（2）描述恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系。 (3) 國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)（1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；（2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；（3）“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城

5、鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題。這三個(gè)例子有什么共同點(diǎn)？（1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；這三個(gè)例子有什么共同點(diǎn) 歸納以上三個(gè)實(shí)例，我們看到，三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系可以描述為： 對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有惟一確定的y和它對(duì)應(yīng)，記作 f: AB. 歸納以上三個(gè)實(shí)例，我們看到，三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系函數(shù)的定義： 設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它相對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x), xA. 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做

6、函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.（二）新課：是非空數(shù)集注意唯一確定值域與集合的關(guān)系怎樣？函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域注意事項(xiàng)：注意f(x)的符號(hào)意思函數(shù)的定義： 設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某練習(xí)1. 下列說(shuō)法中，不正確的是( )A、函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)B、函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合C、定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定D、若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素B練習(xí)1. 下列說(shuō)法中，不正確的是( )B函數(shù)f（x）kxb（k0）定義域值域RRf（x）ax2bxc（a0）Ra0a

7、0f（x） （k0）xkx | x0 y | y0 初中常見(jiàn)函數(shù)的定義域與值域函數(shù)f（x）kxb（k0）定義域值域RRf（x）ax例1：已知函數(shù) (1) 求函數(shù)的定義域；（2）求f（3），f (2/3)的值；（3）當(dāng)a0時(shí)，求f（a）,f(a+2)的值. 例1：已知函數(shù)例2：求下列函數(shù)的定義域：例2：求下列函數(shù)的定義域： 例3: 判斷下面每組的兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)? 例3: 判斷下面每組的兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)? 總結(jié)：（）函數(shù)的概念（）函數(shù)的三要素 探討與反思 (1) 復(fù)習(xí)與思考題是否有必要？ 與以往相比，教科書(shū)對(duì)函數(shù)概念的處理方式發(fā)生了很大的變化。改變了以往先映射后函數(shù)的順序，直接通過(guò)三

8、個(gè)背景實(shí)例，在問(wèn)題的引導(dǎo)下分析概括出運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言描述的函數(shù)定義。這樣，既銜接了初中階段將函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，又進(jìn)一步提升到用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)。探討與反思 (1) 復(fù)習(xí)與思考題是否有必要？ 與探討與反思 (2) 如何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例1，引導(dǎo)學(xué)生如何得出炮彈飛行1s,5s,10s,20s時(shí)距地面多高？其中，t的變化范圍是多少？ 這里，炮彈飛行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A=t|0t26,炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B =h|0h845.從問(wèn)題的實(shí)際意義可知，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系(*)，在數(shù)集B中都有唯一的高度h和它對(duì)應(yīng)。探討與反思 (2) 如

9、何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例1，引探討與反思 (2) 如何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例2，引導(dǎo)學(xué)生從表中看出哪一年臭氧空洞面積最大？那些年的臭氧空洞面積大約為1500萬(wàn)平方千米？其中，t的變化范圍是多少？根據(jù)下圖中的曲線可知，時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A =t|1979t2001，臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集B =S|0S26.并且，對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)刻t，按照?qǐng)D中的曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對(duì)應(yīng).探討與反思 (2) 如何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例2，引探討與反思 (2) 如何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例3，引導(dǎo)學(xué)生從圖中看出恩格爾系數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系是否和前兩個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系相似

10、？如何用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)關(guān)系？探討與反思 (2) 如何分析引例？ 對(duì)于實(shí)例3，引探討與反思 (3) 如何歸納三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)？不同點(diǎn)實(shí)例（1）是用解析式刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例（2）是用圖象刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例（3）是用表格刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；共同點(diǎn)（1）都有兩個(gè)非空數(shù)集 （2）兩個(gè)數(shù)集之間都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系探討與反思 (3) 如何歸納三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)？不同點(diǎn)實(shí)探討與反思 (4) 如何理解函數(shù)的定義？ 問(wèn)題1：是三要素還是兩要素？ 函數(shù)的三要素定義域值域?qū)?yīng)法則f定義域?qū)?yīng)法則值域問(wèn)題2：什么是要素？如數(shù)軸的三要素探討與反思 (4) 如何理解函數(shù)的定義？ 問(wèn)題

11、1：2、探討與反思 (4) 如何理解函數(shù)的定義？問(wèn)題3：函數(shù)f: NN. x x函數(shù) g: NZ. xx 這兩個(gè)函數(shù)一樣嗎？ 問(wèn)題4：集合A=1,2,3,n,和集合B=2,4,6,2n,試比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)的多少？2、探討與反思 (4) 如何理解函數(shù)的定義？問(wèn)題3：函數(shù)1、探討與反思 (4) 如何理解函數(shù)的定義？ 問(wèn)題5：什么是函數(shù)？理解2三要素：從映射角度理解函數(shù)，函數(shù)是一種裝置f: AB ，是一個(gè)整體,突出函數(shù)的工具性，大學(xué)階段。理解1兩要素：突出研究定義域與對(duì)應(yīng)法則，高中階段重點(diǎn)研究對(duì)應(yīng)法則，函數(shù)相當(dāng)于暗箱 。如袁隆平：力爭(zhēng)2020年超級(jí)雜交水稻畝產(chǎn)千斤。1、探討與反思 (4) 如

12、何理解函數(shù)的定義？ 問(wèn)題探究與思考（5）初中各類函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域分別是什么？加深對(duì)函數(shù)概念的理解，這樣，既銜接了初中階段將函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，又進(jìn)一步提升到用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)。探究與思考（5）初中各類函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域分別是函數(shù)對(duì)應(yīng)法則定義域值域正比例 函數(shù)反比例 函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)RRRRR函數(shù)對(duì)應(yīng)法則定義域值域正比例反比例一次函數(shù)二次函數(shù)RRRRR探究與思考 判斷正誤（1）函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)（2）函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合（3）定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定（4）若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域

13、也只有一 個(gè)元素（5）對(duì)于不同的x , y的值也不同 （6）f (a)表示當(dāng)x = a時(shí)，函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量探究與思考 判斷正誤判斷下列圖象能表示函數(shù)圖象的是（ ）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D判斷下列圖象能表示函數(shù)圖象的是（ ）xy0(A)xy（1）求函數(shù)的定義域2 探究與思考【例題演示，歸納總結(jié)】已知函數(shù)【例1】注意研究一個(gè)函數(shù)一定在其定義域內(nèi)研究，所以求定義域是研究任何函數(shù)的前提 函數(shù)的定義域常常由其實(shí)際背景決定，若只給出解析式時(shí),定義域就是使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)x的集合.（1）求函數(shù)的定義域2 探究與思考【例題演示，歸納總結(jié)】已知探究結(jié)論實(shí)數(shù)集R 使分母

14、不等于0的實(shí)數(shù)的集合使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集合使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合(即各集合的交集)使實(shí)際問(wèn)題有意義的實(shí)數(shù)的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，則定義域是(4)如果y=f (x)是由幾個(gè)部分的式子構(gòu)成的，則定義域是(1)如果y=f (x)是整式，則定義域是(2)如果y=f (x)是分式，則定義域是(5)如果是實(shí)際問(wèn)題，是探究結(jié)論實(shí)數(shù)集R 使分母不等于0的實(shí)數(shù)的集合使根號(hào)內(nèi)的式子大關(guān)于函數(shù)概念的理解說(shuō)文解字：函信函，傳遞和交流信息的書(shū)面形式。引申為（有順序的）對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的來(lái)源：函數(shù)來(lái)源于運(yùn)動(dòng)，是應(yīng)“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”之所需。“數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研究中引出了一個(gè)基本概念。在

15、那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)?！保∕克萊因）關(guān)于函數(shù)概念的理解說(shuō)文解字：函信函，傳遞和交流信息的書(shū)面函數(shù)概念的本質(zhì)函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！昂瘮?shù)”不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)概念所反映的基本思想：運(yùn)動(dòng)變化的思想。函數(shù)概念的本質(zhì)函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)函數(shù)概念的發(fā)展簡(jiǎn)史背景：17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究。如計(jì)算天體的位置，長(zhǎng)距離航海中對(duì)經(jīng)度和緯度的測(cè)量，炮彈的速度對(duì)于高度和射程的影響等。涉及兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要根據(jù)這種關(guān)系對(duì)事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測(cè)它能達(dá)到的高度和射程。函數(shù)概

16、念的發(fā)展簡(jiǎn)史背景：17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等。1718年，貝努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示。1755年，歐拉將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”。當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家對(duì)不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度。萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切1837年，狄利克雷提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)”。1870年代，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募吓c對(duì)應(yīng)語(yǔ)言表述。映射的語(yǔ)言定義函數(shù)則是更晚的事情了。1

17、837年，狄利克雷提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)函數(shù)概念的教學(xué)要點(diǎn)為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道；精選實(shí)際例子從實(shí)例出發(fā)，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等階段都要注意使用實(shí)際例子，為學(xué)生提供理解函數(shù)概念的“參照物”。一個(gè)好例子勝過(guò)一千次說(shuō)教。不在字面含義、形式化“應(yīng)用”等方面糾纏，多讓學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)解釋具體問(wèn)題。圍繞運(yùn)動(dòng)變化、變量、一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化等，以實(shí)例為載體開(kāi)展教學(xué)，加強(qiáng)思想方法、函數(shù)建模等。函數(shù)概念的教學(xué)要點(diǎn)為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道；教概念的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾

18、正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空教概念的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述）；概念的辨析以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例形成用

19、概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般有兩種形式2.揭示本質(zhì)屬性; 討論特例；新舊概念聯(lián)系；實(shí)例確認(rèn)；具體運(yùn)用。如二次函數(shù)的概念。1.觀察實(shí)例；分析共同屬性；抽象本質(zhì)屬性；確認(rèn)本質(zhì)屬性（正例、反例）；概括定義；符號(hào)表示；具體運(yùn)用。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般有兩種形式2.揭示本質(zhì)屬性; 討論特例；新 案例二、古典概型 案例二、古典概型例1： 兩個(gè)完全相同的球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，試求事件A：“在1，2號(hào)盒子中個(gè)有一球”的概率.例1： 兩個(gè)完全相同的球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒變式1

20、： 把編號(hào)為a,b的兩個(gè)球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，試求事件A：“在1，2號(hào)盒子中個(gè)有一球”的概率.變式1： 把編號(hào)為a,b的兩個(gè)球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3變式2： 兩個(gè)完全相同的球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，并且假定每個(gè)盒子中至多有一個(gè)球，試求事件A：“在1，2號(hào)盒子中個(gè)有一球”的概率.變式2： 兩個(gè)完全相同的球，隨機(jī)地放在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)例2：（摸球問(wèn)題）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球，從中一次摸出兩個(gè)球.求摸出的兩個(gè)球一紅一黃的概率。問(wèn)共有多少個(gè)基本事件；求摸出兩個(gè)球都是紅球的概率；求摸出的兩個(gè)球都是黃球的概率；例2：（摸球問(wèn)題）一個(gè)口

21、袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球例2:（摸球問(wèn)題）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球， 從中一次摸出兩個(gè)球。問(wèn)共有多少個(gè)基本事件；解： 分別對(duì)紅球編號(hào)為1、2、3、4、5號(hào)，對(duì)黃球編號(hào)6、7、 8號(hào)，從中任取兩球，有如下等可能基本事件，枚舉如下：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8） （4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） （5，6）、（5，7）、（5，8） （6，7）、（6，8） （7，8） 76543

22、21共有28個(gè)等可能事件28例2:（摸球問(wèn)題）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球變式：（摸球問(wèn)題）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球，從中依次摸出兩個(gè)球.求摸出的兩個(gè)球一紅一黃的概率。問(wèn)共有多少個(gè)基本事件；求摸出兩個(gè)球都是紅球的概率；求摸出的兩個(gè)球都是黃球的概率；變式：（摸球問(wèn)題）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球例3 同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？ 解：（1）擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)1，2以便區(qū)分，由于1號(hào)骰子的結(jié)果都可以與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)

23、果配對(duì)，我們用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)”來(lái)表示組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果（如表），其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示2號(hào)骰子的結(jié)果。 （6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）從表中可以看出同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種。 （2）在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，

24、分別為： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1） （3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得列表法一般適用于分兩步完成的結(jié)果的列舉。（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）6543216543211號(hào)骰子 2號(hào)骰子例3 同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：解：（1）擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？ 如果不標(biāo)上記號(hào)，類似于（1，2）和（2，1）的結(jié)果將沒(méi)有區(qū)別。這時(shí)，所有可能的結(jié)果將是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，

25、3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21種,和是5的結(jié)果有2個(gè),它們是（1，4）（2，3），所求的概率為思考與探究 左右兩組骰子所呈現(xiàn)的結(jié)果，可以讓我們很容易的感受到，這是兩個(gè)不同的基本事件。為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能案例三：向量案例三：向量如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,根據(jù)圖中標(biāo)出的向量回答下列問(wèn)題:(1)AB與DE的長(zhǎng)度相等嗎?它們是相等向量嗎?(2)與向量OA相等的向量有多少個(gè)?(3)與向量OA相等的向量有哪些?(4)是否存在與向量OA長(zhǎng)度相等,方向相反的向量?(5)與向量OA共線的向量有哪些?CABDEOF和我一樣的人有多少個(gè)？如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,根據(jù)圖中標(biāo)出的向量回案例四：