數(shù)列通項公式方法大全很經(jīng)典

1、1,數(shù)列通項公式的十種求法:（）公式法（構(gòu)造公式法）例1已知數(shù)列an滿足an12an32n，a12，求數(shù)列an的通項公式。解：an12an32n兩邊除以2n1,得an1an3an1an3an是2n12n2,則n12n，故數(shù)列2n22a121為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，an1(n3以22得1)，21312n2因此數(shù)列an的通項公式為an(n)2n。22評注：本題解題的要點是把遞推關(guān)系式an12an32n轉(zhuǎn)變成an1an3,說明數(shù)列2n12n2an是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an(n3,進而求出數(shù)列n2n11)22an的通項公式。（2）累加法例2已知數(shù)列an

2、滿足an1an2n1，a11，求數(shù)列an的通項公式。解:由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1(221)(211)12(n1)(n2)21(n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此數(shù)列an的通項公式為ann2。評注:本題解題的要點是把遞推關(guān)系式an1an2n1轉(zhuǎn)變成an1an2n1，進而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得數(shù)列an的通項公式。變式：已知數(shù)列an滿足aa23n1，a3,求數(shù)列an的通項公式。n1n1（)累乘法例3已知數(shù)列an滿足an12(n1)5

3、na，a3，求數(shù)列an的通項公式。n1解:因為an12(n1)5nan，a13,因此an0,則an12(n1)5n,故anananan1a3a2a1anana2a1122(n11)5n12(n21)5n22(21)522(11)5132n1n(n1)325(n1)(n2)2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)因此數(shù)列an的通項公式為an352n!.評注：本題解題的要點是把遞推關(guān)系an12(n1)5nan轉(zhuǎn)變成an12(n1)5n，進而求an出anan1a3a2a1,即得數(shù)列an的通項公式。an1an2a2a1變式：已知數(shù)列an滿足a11，ana12a23a3(n1)an1(n2),求

4、an的通項公式。(4）待定系數(shù)法例4已知數(shù)列an滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè)an1x5n12(anx5n)?將an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n,等式兩邊消去2an,得35nx5n12x5n,兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代入式得an15n12(an5n)?由a1516510及式得an5n0，則an15n12,則數(shù)列an5n是以an5na1511為首項,以2為公比的等比數(shù)列,則an5n2n1,故an2n15n。評注:本題解題的要點是把遞推關(guān)系式an12an35n轉(zhuǎn)變成an15n12(an5n)，從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列，進

5、而求出數(shù)列an5n的通項公式,最后再求出數(shù)列an的通項公式。變式:已知數(shù)列an滿足an13an52n4，a11,求數(shù)列an的通項公式。已知數(shù)列an滿足an12an3n24n5，a11，求數(shù)列an的通項公式。（5)對數(shù)變換法例已知數(shù)列an滿足an123nan5,a17,求數(shù)列an的通項公式。解：因為an123nan5，a17,因此an0，an10。在an123nan5式兩邊取常用對數(shù)得lgan15lgannlg3lg2設(shè)lgan1x(n1)y5(lganxny)?錯誤!將式代入，11式,得5lgannlg3lg2x(n1)y5(lganxny),兩邊消去5lgan并整理，得(lg3x)nxylg

6、25xn5y,則lg3lg3x5xx,故4xylg25ylg3lg2y416代入錯誤!式,得lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2)錯誤!41644164由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及錯誤!式,41644164得lganlg3nlg3lg20,4164lgan1lg3(n1)lg3lg2則41645,lg3nlg3lg2lgan4164因此數(shù)列l(wèi)ganlg3nlg3lg2是以lg7lg3lg3lg2為首項，以5為公比的等41644164比數(shù)列，則lganlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1,因此41644164lga

7、n(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)lg(7lg(75n15n1n5n113431625n15n4n15n1131624)5n11)75n15n4n15n11則an31624。評注：本題解題的要點是經(jīng)過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an123nan5轉(zhuǎn)變成lgalg3(n1)lg3lg25(lgalg3nlg3lg2)，進而可知數(shù)列n14164n4164lganlg3

8、nlg3lg2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)ganlg3nlg3lg2的通項41644164公式,最后再求出數(shù)列an的通項公式。(6）數(shù)學(xué)歸納法例已知數(shù)列an滿足an1an8(n1)3)2，a18，求數(shù)列an的通項公式。(2n1)2(2n9解:由an1an8(n1)2及a182,得(2n1)(2n3)9a2a18(11)8822411)2(213)2992525(2a3a28(21)24834821)2(223)225254949(2a4a38(31)48848031)2(233)249498181(2由此可猜想an(2n1)21，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(2n1)2(1)當n1時，a1(2

9、11)218，因此等式成立。(211)29（)假設(shè)當nk時等式成立,即ak(2k1)21,則當nk1時，(2k1)2ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)22(k1)1212(k1)12由此可知，當nk1時等式也成立。依照(1）,（)可知,等式對任何nN*都成立。評注：本題解題的要點是經(jīng)過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前

10、n項，進而猜出數(shù)列的通項公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。(7）換元法例7已知數(shù)列an滿足an14an124an)，a11，求數(shù)列an的通項公式。1(116解：令bn124an,則an1(bn21)24故an11(bn211),代入an11(14an124an)得24161211224(bn11)161424(bn1)bn即4bn21(bn3)2因為bn124an0，故bn1124an10則2bn1bn3,即bn113bn,22可化為bn131(bn3)，2因此bn3是以b13124a13124132為首項，以1為公比的等比數(shù)2列,因此bn32(1)n1(1)n2，則bn(1)n23,即124

11、an(1)n23,得2222an2(1)n(1)n1。3423評注：本題解題的要點是經(jīng)過將124an的換元為bn,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)變b1b3形式,進而可知數(shù)列bn3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列bn3的通項公式，n12n2最后再求出數(shù)列an的通項公式。()不動點法例8已知數(shù)列an滿足an121an24，a14，求數(shù)列an的通項公式。4an1解：令x21x24,得4x220 x240,則x12，x23是函數(shù)f(x)21x24的兩4x14x1個不動點。因為21an2422。因此數(shù)列an124an121an242(4an1)13an2613anan1321an24321an243(4an1)9an27

12、9an34an1an2是以a12422為首項，以13為公比的等比數(shù)列,故an22(13)n1，an3a13439an39則an13。2(13)n119評注：本題解題的要點是先求出函數(shù)f(x)21x24的不動點，即方程x21x24的兩4x14x1個根x12，x23，進而可推出an1213an2，進而可知數(shù)列an2為等比數(shù)an139an3an3列，再求出數(shù)列an2的通項公式,最后求出數(shù)列an的通項公式。an3例已知數(shù)列an滿足an17an2，a12，求數(shù)列an的通項公式。2an3解：令x7x2，得2x24x20,則x1是函數(shù)f(x)3x1的不動點。2x34x7因為an117an215an5,因此2

13、an32an3an2(1)n(1)n1。3423評注:本題解題的要點是經(jīng)過將124an的換元為bn,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)變b1b3形式，進而可知數(shù)列bn3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列bn3的通項公式,n12n2最后再求出數(shù)列an的通項公式。課后習(xí)題：1.數(shù)列2，5，22，11，的一個通項公式是（）A、an3n3、an3n1、an3n1D、an3n32.已知等差數(shù)列an的通項公式為an32n,則它的公差為（)、2B、3C、2D、33.在等比數(shù)列an中,a116,a48,則a7（)A、4B、4、2、24若等比數(shù)列an的前項和為Sn，且S1010,S2030，則S305已知數(shù)列an通項公式ann210n

14、3，則該數(shù)列的最小的一個數(shù)是1且an1nannN,則數(shù)列1項和等在數(shù)列an中,a1n1an的前992an于.7.已知an是等差數(shù)列,其中a131,公差d8。(）求數(shù)列an的通項公式;（）數(shù)列an從哪一項開始小于0?（）求數(shù)列an前n項和的最大值,n的值并求出對應(yīng).已知數(shù)列an的前項和為Snn23n1，1)求a1、a2、a3的值；（）求通項公式an。9等差數(shù)列an中,前三項分別為x,2x,5x4，前n項和為Sn,且Sk2550。（)、求x和k的值;1111（）、求Tn=S2S3;S1Sn數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)知識比較一覽表等差數(shù)列等比數(shù)列an1ana2a1（nN*）an1a2(nN*)an

15、a1遞an1and（nN*）推an1q（q0,nN*）an1ananan1（n2)關(guān)an系an1an（n2,nN*)anan1通ana1(n1)d（nN*)項anpnq（p,q為常數(shù),n*)N2Snn(a1an)（nN*）求和Snna1n(n1)(nN*)d公2式SnAn2Bn(A,B是常數(shù),nN*）若p+q=s+r,p、q、s、rN,則apaqasar.對任意,c1，can為等比數(shù)列.主an1an12an,nN*,n2.若an、bn分別為兩等差數(shù)列,則ana1qn1（nN*)anpqn（p,q是常數(shù),q0,p0,nN*）n2(a1an)nN*求積公式ai(n)i1na1,q1Snn(nN*)

16、a1(1q),q11qSnna1,q1（nN*,A0)AAqn,q1若p+=s+r，、s、*，則apaqasar對任意c0,c1,若an恒大于0,則logcan為等差數(shù)列an1an1an2,nN,n2.若an、bn為兩等比數(shù)列,則anbn為等比數(shù)列.n若n恒大于0,則數(shù)列nai為等比數(shù)列.i1anbn為等差數(shù)列.若bn為正項等差自然數(shù)列，則ab為等比數(shù)列.要nSn,S2nSn,S3nS2n,為等比數(shù)列數(shù)列Sn為等差數(shù)列.nnnmN*，ap0,p性若bn,則abn為等差nain2mai，n2m,m、n為正項等差自然數(shù)列i1im1數(shù)列SmnSmqmSnSnqnSm.Sn,S2nSn,S3nS2n,

17、為等差數(shù)列.若a1a2ama1a2an,mn,質(zhì)SnSnmSm,n2，m、N*.mn1.nn2m則aii1SmnSmSnmnd.若SmSn,mn,則Smn0.重若apq,aqp,p、N*，且pq，SmnSm(1qmq2mq(n1)m)要則apq0.=S(1qnq2nq(m1)n).n性若Spq,Sqp,且pq,則若|1,則limSnSa1質(zhì)n1qSpq(pq),p、qN*.求數(shù)列n通項公式的方法1an1=an+f(n)型累加法:an(anan1）+(an1an2）+（a2a1)+a1=f(n1)+f(n2)+f(1)+a1例.已知數(shù)列an滿足a1=，an1=an+2n（nN+），求an解an=

18、an-an1+an1an2+a2-a1a12n12n2+21+12n2n112an=2n-1(nN+)an1pan+型（p、q為常數(shù)）方法:（）an1q=p(anq)，再依照p1p1比數(shù)列的相關(guān)知識求an.(2）an1-anp(anan1)再用累加法求an.(3)an1=anq，先用累加法求an再求an.pn1pn+pnpn1例.已知an的首項a1=a（a為常數(shù)）,an=2an1+（nN+,n求an.解設(shè)an=2（an1),則-an=2（an11)an1為公比為2的等比數(shù)列an+1=(a+1）2n1an=（a1)2n11an1g(n)型3an累乘法：an=anan1a2a1an1an2a1例2

19、.已知數(shù)列anan1n（nN+）,a1=1，求an.滿足an解an=anan1a2a1an1an2a1（n1）（2)11=（)!an(n)!(N+)4an1panf(n)型(p為常數(shù))an1anf(n)方法:變形得pn1pn+pn1，則an可用累加法求出,由此求an.pn例4.已知an滿足a1=,an1=2an+2n1.求an.解an1=an+12n12nan為等差數(shù)列.2nana1n1n2n2an=2nan2=pan1+an型（p、q為常數(shù))特點根法:x2pxq(）x1x2時，an=C1x1n+C2x2n（2)x1x2時,an=(C1+C2n）x1n例5.數(shù)列an中,a1=，a2=3，且an

20、=an1+an1（nN+，2），求an解an1=2anan1x22x1x1x21an=（C1+C2n)1n=C1+C2nC1C22C112C231C1C2ann1(nN).“已知Sn,求an”型方法:an=Sn-Sn1(注意a1可否吻合)例6.設(shè)Sn為an的前n項和,Sn=3(an1），求an(n）2解Sn=3（an)(nN+)23當n時，a1(a11）2a1=當n2時，an=Sn-Sn1=3(an）3(an1-1)22anan1an=3n（nN+）求數(shù)列a的前n項和的方法(1)倒序相加法（2)公式法此種方法主要針對近似等差數(shù)列中此種方法是針對于有公式可套的數(shù)列，如等差、等ana1an1a2，

21、擁有這樣特點的數(shù)列比數(shù)列，要點是觀察數(shù)列的特點，找出對應(yīng)的公式.例:等差數(shù)列求和公式:Sna1a2an等差數(shù)列:a1(a1d)a1(n1)d把項的次序反過來,則：Snan(and)an(n1)d+得：n個2Sna1an(a1an)(a1an)n(a1an)Snn(a1an)2（3)錯位相減法此種方法主要用于數(shù)列anbn的求和，其中an為等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，只需用SnqSn即可轉(zhuǎn)變成等比數(shù)列的求和，但要注意談?wù)?1和q兩種情況例:試化簡以下和式:Sn12x3x2nxn1(x0)n(n1)解:若x=1,則Sn1+2+3+nSnn(a1an)na1n(n1)d22nann(n1)d2

22、SmnSmSnmndSnSnmSm(n2m,m,nN*)nn2m等比數(shù)列:Sna1(1qn)a1anq1q1；(q1)qSmnSnSmqn1+3+n=n(n1)；2122232n2n(n1)(2n1)132333n3(123n)21n2(n1)24(4）分組化歸法此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列,可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進行求和,再綜合求出所有項的和例:求數(shù)列111,1，1，,1121241+的和.242n1解：an1111242n1若x1,則Sn12x3x2nxn11(1)n122xSnx2x23x3nxn112n12兩式相減得:Sn1(11)(111)224(1x)Sn1x2n1n111x+xnx(1242n1)1xn(21)(21(21nxn)22)1x2(2n11)Sn1xnnxn121(1x)21x12n(142n1)22n212n1(5）奇偶求和法（）裂項相消法此種方法是針對于奇、偶數(shù)項,要考慮符號的此方法主要針對數(shù)列,要求S,就必定分奇偶來談?wù)?，最后進行綜合111a1a2a2a3這樣的求和,其中