古希臘三個(gè)著名問題

1、古希臘三個(gè)著名問題之一的三等分角，現(xiàn)在美國就連許多沒學(xué)過數(shù)學(xué) 的人也都知道.美國的數(shù)學(xué)雜志社和以教書為職業(yè)的數(shù)學(xué)會員，每年 總要收到許多“角的三等分者”的來信；并且，在報(bào)紙上常見到：某人 已經(jīng)最終地“解決了”這個(gè)不可捉摸的問題.這個(gè)問題確實(shí)是三個(gè)著名 的問題中最容易理解的一個(gè)，因?yàn)槎确纸鞘悄敲慈菀?，這就自然會 使人們想到三等分角為什么不同樣的容易呢？用歐幾里得工具，將一線段任意等分是件簡單的事；也許古希臘人在 求解類似的任意等分角的問題時(shí)，提出了三等分角問題；也許(更有 可能)這問題是在作正九邊形時(shí)產(chǎn)生的，在那里，要三等分一個(gè)60 角.在研究三等分角問題時(shí)，看來希臘人首先把它們歸結(jié)成所謂斜向

2、(verging problem)問題任何銳角ABC(參看圖31)可被取作矩形BCAD的對角線BA和邊BC的夾角.考慮過B點(diǎn)的一條線，它交 CA于E,交DA之延長線于F，且使得EF=2(BA).令G為EF之中 點(diǎn)，則eg=gf=ga=ba,從中得到：ZABG=ZAGB=ZGAF+ZGFA=2ZGFA=2ZGBC,并且BEF三等分ZABC.因此，這個(gè)問題被歸結(jié)為在DA的延長線 和AC之間，作一給定長度2(BA)的線段EF,使得EF斜向B點(diǎn).如果與歐幾里得的假定相反，允許在我們的直尺上標(biāo)出一線段 EF=2(BA),然后調(diào)整直尺的位置，使得它過B點(diǎn)，并且，E在AC 上, F在DA的延長線上；則ZAB

3、C被三等分.對直尺的這種不按規(guī) 定的使用，也可以看作是：插入原則(the insertion principle)的一種應(yīng) 用.這一原則的其它應(yīng)用，參看問題研究4. 6.為了解三等分角歸結(jié)成的斜向問題，有許多高次平面曲線已被發(fā) 現(xiàn).這些高次平面曲線中最古老的一個(gè)是尼科梅德斯(約公元前240 年)發(fā)現(xiàn)的蚌線.設(shè)c為一條直線，而0為c外任何一點(diǎn)，P為c上 任何一點(diǎn)，在PO的延長線上截PQ等于給定的固定長度k.于是， 當(dāng)P沿著c移動時(shí)，Q的軌跡是c對于極點(diǎn)O和常數(shù)k的蚌線 (conchoid)(實(shí)際上，只是該蚌線的一支).設(shè)計(jì)個(gè)畫蚌線的工具并不 難，用這樣一個(gè)工具，就可以很容易地三等分角.這樣，令z

4、AOB 為任何給定的銳角，作直線MN垂直于OA,截OA于D,截OB于 L(如圖32所示).然后，對極點(diǎn)O和常數(shù)2(OL)，作MN的蚌線.在 L點(diǎn)作OA的平行線，交蚌線于C.則OC三等分ZAOB.借助于二次曲線可以三等分一個(gè)一般的角，早期希臘人還不知道這一 方法.對于這種方法的最早證明是帕普斯（Pappus,約公元300年）.利 用二次曲線三等分角的兩種方法在問題研究4. 8中可以找到.有一些超越（非代數(shù)的）曲線，它們不僅能夠?qū)σ粋€(gè)給定的角三等分， 而且能任意等分.在這這樣的曲線中有：伊利斯的希皮阿斯（Hippias, 約公元前425年）發(fā)明的割圓曲線（quadratrix）和阿基米得螺線（sp

5、iral of Archimeds）.這兩種曲線也能解圓的求積問題.關(guān)于割圓曲線在 三等分角和化圓為方問題上的應(yīng)用，見問題研究4. 10.多年來，為了解三等分角問題，已經(jīng)設(shè)計(jì)出許多機(jī)械裝置、聯(lián)動機(jī)械 和復(fù)合圓規(guī)參看R. C. Yates. The Trisection Prolem.其中有 一個(gè)有趣的工具叫做戰(zhàn)斧，不知道是誰發(fā)明的，但是在1835年的一 本書中講述了這種工具.要制做一個(gè)戰(zhàn)斧，先從被點(diǎn)S和T三等分 的線段RU開始，以SU為直徑作一半圓，再作SV垂直于RU,如 圖33所示.用戰(zhàn)斧三等分ZABC時(shí)，將這一工具放在該角上，使R 落在BA 上, SV通過B點(diǎn)，半圓與BC相切于D.于是證明

6、：RSB， TSB,ATDB都全等，所以，BS和BT三等分給定的角.可以用 直尺和圓規(guī)在描圖紙上繪出戰(zhàn)斧，然后調(diào)整到給定的角上.在這種條 件下，我們可以說用直角和圓規(guī)三等分一個(gè)角（用兩個(gè)戰(zhàn)斧，貝U可以 五等分一個(gè)角）.歐幾里得工具雖然不能精確地三等分任意角，但是用這些工具的作圖 方法，能作出相當(dāng)好的近似的三等分.一個(gè)卓越的例子是著名的蝕刻 師、畫家A.丟勒（Albrecht Durer）于1525年給出的作圖方法.取 給定的ZAOB為一個(gè)圓的圓心角（參看圖34）,設(shè)C為弦AB的靠近B 點(diǎn)的三等分點(diǎn)在C點(diǎn)作AB的垂線交圓于D以B為圓心，以BD為 半徑，作弧交AB于E.設(shè)令F為EC的靠近E點(diǎn)的三等分點(diǎn)，再以B 為圓心，以BF為半徑，作弧交圓于G.那么，OG就是ZAOB的近似 的三等分線.我們能夠證明：三等分中的誤差隨著ZAOB的增大而增 大；但是，對于60 的角大約只差1 ，對于90角大約只差18.只要放棄尺 規(guī)作圖的戒律，三等分角并不是一個(gè)很難的問題。 古希臘數(shù)學(xué)家阿基米得（前 287前212）發(fā)現(xiàn)只要 在直尺上固定一 點(diǎn)，問題就可解決了?，F(xiàn)簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點(diǎn)P， 命