高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例-平面向量的數(shù)量積

1、40 平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1. 理解解并掌握握平面向向量的數(shù)數(shù)量積、幾幾何意義義和數(shù)量量積的坐坐標(biāo)表示示，會初初步使用用平面

2、向向量的數(shù)數(shù)量積來來處理有有關(guān)長度度、角度度和垂直直的問題題，掌握握向量垂垂直的條條件2. 通過過對數(shù)量量積的引引入和應(yīng)應(yīng)用，初初步體會會知識發(fā)發(fā)生、發(fā)發(fā)展的過過程和運(yùn)運(yùn)用過程程，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的科學(xué)思思維習(xí)慣慣任務(wù)分析兩個(gè)向量的的數(shù)量積積從形式式和實(shí)質(zhì)質(zhì)上都與與數(shù)的乘乘法有區(qū)區(qū)別，這這就給理理解和掌掌握這個(gè)個(gè)概念帶帶來了一一些困難難在學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，要要充分讓讓學(xué)生理理解、明明白兩個(gè)個(gè)向量的的數(shù)量積積是一個(gè)個(gè)數(shù)量，而而不是向向量兩兩個(gè)向量量的數(shù)量量積的值值是這兩兩個(gè)向量量的模與與兩個(gè)向向量夾角角余弦的的乘積，其其符號由由夾角余余弦值的的正負(fù)而而確定兩向量的數(shù)數(shù)量積“aab”不不同于兩兩實(shí)數(shù)之之積“a

3、ab”通過實(shí)例理理解abbbc與與acc的關(guān)系系，ab00與a0或bb0的的關(guān)系，以以及（aab）cca（bbc）與與（abb）ca（bbc）的的不同教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情情景如圖40-1所示示，一個(gè)個(gè)力f作作用于一一個(gè)物體體，使該該物體發(fā)發(fā)生了位位移s，如如何計(jì)算算這個(gè)力力所做的的功由由于圖示示的力ff的方向向與前進(jìn)進(jìn)方向有有一個(gè)夾夾角，真真正使物物體前進(jìn)進(jìn)的力是是f在物物體前進(jìn)進(jìn)方向上上的分力力，這個(gè)個(gè)分力與與物體位位移的乘乘積才是是力f做做的功即力ff使物體體位移xx所做的的功W可可用下式式計(jì)算Wsfcoss其中fcoss就是是f在物物體前進(jìn)進(jìn)方向上上的分量量，也就就是力ff在物體體前進(jìn)方方

4、向上正正射影的的數(shù)量問題：像功功這樣的的數(shù)量值值，它由由力和位位移兩個(gè)個(gè)向量來來確定我們能能否從中中得到啟啟發(fā)，把把“功”看看成這兩兩個(gè)向量量的一種種運(yùn)算的的結(jié)果呢呢？二、建立模模型1. 引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生從從“功”的的模型中中得到如如下概念念：已知兩個(gè)非非零向量量a與bb，把數(shù)數(shù)量aabbcoos叫叫a與bb的數(shù)量量積（內(nèi)內(nèi)積），記記作ababccos其中中是aa與b夾夾角，accos（bbcoos）叫叫a在bb方向上上（b在在a方向向上）的的投影規(guī)定0與任任一向量量的數(shù)量量積為由上述定義義可知，兩兩個(gè)向量量與的數(shù)量量積是一一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)說明：向量量a與bb的夾角角是指指把a(bǔ)，bb起點(diǎn)平平移到一一起所成

5、成的夾角角，其中中0當(dāng)時(shí)，稱稱a和bb垂直，記記作ab為方方便起見見，a與與b的夾夾角記作作a，bb2. 引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生思思考討論論根據(jù)向量數(shù)數(shù)量積的的定義，可可以得出出（1）設(shè)ee是單位位向量，aaeacossa，ee（2）設(shè)aab是是非零向向量，則則ababb0（3）aaa22，于是是a.（4）coosaa，b.（5）aabaabb（這這與實(shí)數(shù)數(shù)abbab不不同）三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題已知a5，b4，a，bb1120，求aab解：abbaabbcoosaa，b54ccos1120110練習(xí)1. 已知知a3，在上上的投影影為22，求：（1）aa（2）aa在b上上的投影影2. 已知知：在ABCC中，a

6、a5，bb8，cc600，求求四、建立向向量數(shù)量量積的運(yùn)運(yùn)算律1. 出示示問題：從數(shù)學(xué)學(xué)的角度度考慮，我我們希望望向量的的數(shù)量積積運(yùn)算，也也能像數(shù)數(shù)量乘法法那樣滿滿足某些些運(yùn)算律律，這樣樣數(shù)量積積運(yùn)算才才更富有有意義回憶實(shí)實(shí)數(shù)的運(yùn)運(yùn)算律，你你能類比比和歸納納出向量量數(shù)量積積的一些些運(yùn)算律律嗎？它它們成立立嗎？為為什么？2. 運(yùn)算算律及其其推導(dǎo)已知：向量量a，bb，c和和R，則（1）abbba（交交換律）證明：左abcoss右右（2）（a）b（ab）a（b）（數(shù)數(shù)乘結(jié)合合律）證明：設(shè)aa，b夾夾角為，當(dāng)0時(shí)時(shí)，aa與b的的夾角為為，（a）b（a）bcossabcoss（ab）；當(dāng)0時(shí)時(shí)，aa與b

7、的的夾角為為（），（a）babcoss（）ab（coss）aabbcoos（aab）；當(dāng)0時(shí)時(shí)，（a）b00b0（ab）總之，（a）b（ab）；同理a（b）（aab）（3）（aab）caacbcc（乘法法對加法法的分配配律）證明：如圖圖40-2，任任取一點(diǎn)點(diǎn)O，作作a，cab（即即）在cc方向上上的投影影等于aa，b在在c方向向上的投投影的和和，即abcossaccos1bbcoos22，cabbcoosc（aacoos11bbcoos22）caacoos11ccbbcoos22caccb，（abb）ccacbbc思考：（11）向量量的數(shù)量量積滿足足結(jié)合律律，即（aab）cca（bbc）嗎嗎？

8、（2）向量量的數(shù)量量積滿足足消去律律，即如如果abccb，那那么ac嗎？五、應(yīng)用與與深化例題1. 對實(shí)實(shí)數(shù)a，bb，有（aab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完完全平方方和公式式與平方方差公式式，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2其證明是：（ab）22（aab）（ab）aaaabbaabba22aabb2，（ab）（ab）aaaabbbabbba2b22有類似結(jié)結(jié)論2. 已知知a6，b4，a，bb660，求求（a2b）（a3b）解：（a2b）（a3b）a23aab2ba66b2a2abcoss606b227

9、723. 已知知a3，b4，且且a與bb不共線線當(dāng)kk為何值值時(shí)，（aakbb）（akb）？解：（akb）（akb），即（akb）（akb）0，即a2k2b20，即9k2160，k因此，當(dāng)kk時(shí)時(shí)，有（aakbb）（akb）4. 已知知：正方方形ABBCD的的邊長為為1，并并且aa，bb，cc，求abbc解法1：abc2，abbc22解法2：abbc2（aabc）22a2b2c22aab2ac22bcc11222111coos900221 218，abcc22練習(xí)1. aa44，bb33，（22a33b）（2aab）61，求求a與bb的夾角角2. 在邊邊長為22的正三三角形AABC中中，求六、

10、拓展延延伸1. 當(dāng)向向量a，bb的夾角角為銳角角時(shí)，你你能說明明abb的幾何何意義嗎嗎？如圖40-3，aab，即即以b在在a上射射影的長長和的的長為兩兩鄰邊的的矩形面面積（OOAOOA1）2. 平行行四邊形形是表示示向量加加法與減減法的幾幾何模型型，如圖圖40-4，試說說明平行行四邊形形對角線線的長度度與兩條條鄰邊長長度之間間的關(guān)系系3. 三個(gè)個(gè)單位向向量a，bb，c有有相同終終點(diǎn)且aabc00，問：它們的的起點(diǎn)連連成怎樣樣的三角角形？解法1：如如圖400-5，abc1，abc0，abc，（ab）2（c）2，a2bb22aabc2，2abbcoosAOCC11，coosAOCC，AOCC122

11、0同理BOOCAOCC1220，故故AOBB，BOCC，BOCC全等，ABAACBBC，即即該ABCC為等邊邊三角形形解法2：如如圖400-6，c，a，b，由abc0，即ab1，OADB為菱形又11，AOBB1220同理AOOCBOCC1220，4. 在ABCC中，問：O點(diǎn)在在ABCC的什么么位置？解：由，即（）00，即0，同理理，故OO是ABCC的垂心心點(diǎn)評這篇案例的的一個(gè)突突出特點(diǎn)點(diǎn)是使用用類比方方法，即即在研究究向量的的數(shù)量積積的性質(zhì)質(zhì)及運(yùn)算算律時(shí)，經(jīng)經(jīng)常以實(shí)實(shí)數(shù)為對對象進(jìn)行行類比以物理理學(xué)中的的力對物物體做功功的實(shí)例例，引入入數(shù)量積積的過程程比較自自然，學(xué)學(xué)生容易易接受在“拓拓展延伸伸”中，較較多地展展示了向向量的綜綜合應(yīng)用用這都都充分體體現(xiàn)了向向量是數(shù)數(shù)形結(jié)合合的重要要