高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 33 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1、33 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式sin2acos2a1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用教學(xué)重點是公式sin2acos2a1與的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用：（1）已知知某角的的正弦、余余弦、正正切中的的一個，求求其余兩兩個三角角函數(shù)（2）化簡簡三角函函數(shù)式及及證明簡簡單的三三角恒等等式其中，已知知某角的的一個三三角函數(shù)數(shù)值，求求它的其其余各三三角函數(shù)數(shù)值時，正正負(fù)號的的選擇是是本節(jié)的的一個難難點，正正確運用用平方根根及象限限角的概概念是突突破這一一難點的的關(guān)鍵；證明恒恒等式是是這節(jié)課課的另一一個難點點課堂堂上教師師應(yīng)放手手讓學(xué)

2、生生獨立解解決問題題，優(yōu)化化自己的的解題過過程教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)學(xué)生經(jīng)歷歷同角三三角函數(shù)數(shù)的基本本關(guān)系的的探索、發(fā)發(fā)現(xiàn)過程程，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的動手實實踐、探探索、研研究能力力2. 理解解和掌握握同角三三角函數(shù)數(shù)的基本本關(guān)系式式，并能能初步運運用它們們解決一一些三角角函數(shù)的的求值、化化簡、證證明等問問題，培培養(yǎng)學(xué)生生的運算算能力，邏邏輯推理理能力3. 通過過同角三三角函數(shù)數(shù)基本關(guān)關(guān)系的學(xué)學(xué)習(xí)，揭揭示事物物之間的的普遍聯(lián)聯(lián)系規(guī)律律，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的辯證唯唯物主義義世界觀觀任務(wù)分析這節(jié)課的主主要任務(wù)務(wù)是引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生根根據(jù)三角角函數(shù)的的定義探探索出同同角三角角函數(shù)的的兩個基基本關(guān)系系式：ssin22acoo

3、s2a1及及，并進(jìn)進(jìn)行初步步的應(yīng)用用由于于該節(jié)內(nèi)內(nèi)容比較較容易，所所以，課課堂上無無論是關(guān)關(guān)系式的的探索還還是例、習(xí)習(xí)題的解解決都可可以放手手讓學(xué)生生獨立完完成，即即由學(xué)生生自己把把要學(xué)的的知識探探索出來來，并用用以解決決新的問問題必必要時，教教師可以以在以下下幾點上上加以強強調(diào)：（11）“同同角”二二字的含含義（22）關(guān)系系式的適適用條件件（33）化簡簡題最后后結(jié)果的的形式（4）怎怎樣優(yōu)化化解題過過程教學(xué)設(shè)計一、問題情情境教師出示問問題：上上一節(jié)內(nèi)內(nèi)容，我我們學(xué)習(xí)習(xí)了任意意角的的六個三三角函數(shù)數(shù)及正弦弦線、余余弦線和和正切線線，你知知道它們們之間有有什么聯(lián)聯(lián)系嗎？你能得得出它們們之間的的直接

4、關(guān)關(guān)系嗎？二、建立模模型1. 引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生寫寫出任意意角的的六個三三角函數(shù)數(shù)，并探探索它們們之間的的關(guān)系在角的終終邊上任任取一點點P（xx，y），它它與原點點的距離離是r（rr0），則則角的的六個三三角函數(shù)數(shù)值是2. 推導(dǎo)導(dǎo)同角三三角函數(shù)數(shù)關(guān)系式式引導(dǎo)學(xué)生通通過觀察察、分析析和討論論，消元元（消去去x，yy，r），從從而獲取取下述基基本關(guān)系系（1）平方方關(guān)系：sinn2acoos2a1（2）商數(shù)數(shù)關(guān)系：t：說明：當(dāng)當(dāng)放手讓讓學(xué)生推推導(dǎo)同角角三角函函數(shù)的基基本關(guān)系系時，部部分學(xué)生生可能會會利用三三角函數(shù)數(shù)線，借借助勾股股定理及及相似三三角形的的知識來來得出結(jié)結(jié)論對對于這種種推導(dǎo)方方法，教教師也應(yīng)應(yīng)

5、給以充充分肯定定，并進(jìn)進(jìn)一步引引導(dǎo)學(xué)生生得出sinncoos1除以上兩兩個關(guān)系系式外，也也許部分分學(xué)生還還會得出出如下關(guān)關(guān)系式：.教師點撥：這些關(guān)關(guān)系式都都很對，但但最基本本的還是是（1）和和（2），故故為了減減少大家家的記憶憶負(fù)擔(dān)，只只須記住?。?）和和（2）即即可以以上關(guān)系系式均為為同角三三角函數(shù)數(shù)的基本本關(guān)系式式教師啟發(fā)：（1）對對“同角角”二字字，大家家是怎樣樣理解的的？（2）這兩兩個基本本關(guān)系式式中的角角有沒沒有范圍圍限制？（3）自然然界的萬萬物都有有著千絲絲萬縷的的聯(lián)系，大大家只要要養(yǎng)成善善于觀察察的習(xí)慣慣，也許許每天都都會有新新的發(fā)現(xiàn)現(xiàn)剛才才我們發(fā)發(fā)現(xiàn)了同同角三角角函數(shù)的的基本關(guān)

6、關(guān)系式，那那么這些些關(guān)系式式能用于于解決哪哪些問題題呢？三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題1. 已知知sinn，且且是第第二象限限角，求求角的的余弦值值和正切切值2. 已知知tann，且是第二二象限角角，求角角的正正弦和余余弦值說明：這兩兩個題是是關(guān)系式式的基本本應(yīng)用，應(yīng)應(yīng)讓學(xué)生生獨立完完成可可選兩名名同學(xué)到到黑板前前板書，以以便規(guī)范范解題步步驟變式1在在例2中中若去掉掉“且是第二二象限角角”，該該題的解解答過程程又將如如何？師生一起完完成該題題的解答答過程解：由題意意和基本本關(guān)系式式，列方方程組，得得由，得ssinccos，代入整理理，得66coss211，coos2tan，角是是第二或或第四象象限角當(dāng)是第

7、二二象限角角時，ccos，代入式，得得；當(dāng)是第四四象限角角時，ccos，代入式，得得.小結(jié)：由平平方關(guān)系系求值時時，要涉涉及開方方運算，自自然存在在符號的的選取問問題由由于本題題沒有具具體指明明是第第幾象限限角，因因此，應(yīng)應(yīng)針對可能所所處的象象限，分分類討論論變式2把把例2變變?yōu)椋阂阎猼ann，求的值值解法1：由由tann及基本本關(guān)系式式可解得得針對兩種情情況下的的結(jié)果居居然一致致的情況況，教師師及時點點撥：觀察所求式式子的特特點，看看能不能能不通過過求siin，ccos的值而而直接得得出該分分式的值值學(xué)生得到如如下解法法：由此，引出出變式33已知：taan，求求（siincoss）22的值有

8、了上一題題的經(jīng)驗驗，學(xué)生生會得到到如下解解法：教師歸納、啟啟發(fā)：這這個方法法成功地地避免了了開方運運算，因因而也就就避開了了不必要要的討論論遺憾憾的是，因因為它不不是分式式形式，所所以解題題過程不不像“變變式2”那那樣簡捷捷那么么，能解解決這一一矛盾嗎嗎？學(xué)生得到如如下解法法：教師引導(dǎo)學(xué)學(xué)生反思思、總結(jié)結(jié)：（11）由于于開方運運算一般般存在符符號選取取問題，因因此，在在求值過過程中，若若能避免免開方的的應(yīng)盡量量避免（2）當(dāng)式式子為分分式且分分子、分分母都為為三角函函數(shù)的nn（nN且n1）次次冪的齊齊次式時時，采用用上述方方法可優(yōu)優(yōu)化解題題過程練習(xí)當(dāng)學(xué)生完成成了以上上題目后后，教師師引導(dǎo)學(xué)學(xué)生討

9、論論如下問問題：（1）化簡簡題的結(jié)結(jié)果一定定是“最最簡”形形式，對對三角函函數(shù)的“最最簡”形形式，你你是怎樣樣理解的的？（2）關(guān)于于三角函函數(shù)恒等等式的證證明，一一般都有有哪些方方法？你你是否發(fā)發(fā)現(xiàn)了一一些技巧巧？四、拓展延延伸教師出示問問題，啟啟發(fā)學(xué)生生一題多多解，并并激發(fā)學(xué)學(xué)生的探探索熱情情已知sinnccos，11802700，求求tann的值值解法1：由由sinnccos，得得反思：（11）解法法1的結(jié)結(jié)果比解解法2的的結(jié)果多多了一個個，看來來產(chǎn)生了了“增根根”，那那么，是是什么原原因產(chǎn)生生了增根根呢？（2）當(dāng)學(xué)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了由ssincoos得到到sinn222sinncooscoss2的過過程中，的范圍圍變大了了時，教教師再點點撥：怎樣才能使使平方變變形是等等價的呢呢？由學(xué)生得出出如下正正確答案案：1802700，且且sinnccos0，sinn00，coos0，且且siinccos，因因此ttan11，只能能取taan2強調(diào)：非等等價變形形是解法法1出錯錯的關(guān)鍵鍵！點評這篇案例力力求體現(xiàn)現(xiàn)新課程程理念下下的以人人為本的的思想，充充分發(fā)揮揮了學(xué)生生的主體體作用教師充充當(dāng)著學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)的引導(dǎo)導(dǎo)者、支支持者和和幫助者者的角色色教師師和學(xué)生生是本課課的共同同參與者者，共同同努力完完成了這這