H∞控制器的設計

1、一、Hg控制器的設計(一)七狀態(tài)反饋控制器設計思路圖2-1廣義系統(tǒng)針對如上圖所示的廣義系統(tǒng)，P (s)是一個線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可以用下面的式子描述：x = Ax + B 3 + B u1112z - C x + D 3 + D u2-1y-Cx + D 3 + D u其中：x e Rn是狀態(tài)向量，u g R，是控制輸入，y e Rp是測量輸出，z g Rr 是被調輸出，3 e R4是外部擾動。這里考慮在外部擾動不確定但能量有限的情況 下，設計一個控制器u(s) - K(s)y(s)，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足：(1)閉環(huán)系統(tǒng)內部穩(wěn)定；(2)從擾動到被調輸出的傳遞函數(shù)滿足下面的關系：叱(s)12-

2、2滿足這樣性質的控制器稱為系統(tǒng)的一個H s控制器。通過將系統(tǒng)模型中的系數(shù)矩陣分別乘以一個適當?shù)某?shù)，可以使得閉環(huán)系統(tǒng) 具有給定的H:性能y，即使得憶z( s )| y的H s控制問題轉化為使得 Js)| 1的標準Hs控制問題。稱具有給定H/性能y的Hs控制器為系統(tǒng)P(s) 的Y -次優(yōu)Hs控制器。進一步可以通過對y的搜索，可以求取使得閉環(huán)系統(tǒng)的擾動抑制度丫最小化的控制器。對于上面給出的系統(tǒng)，令D21、d22為零矩陣，C2為單位陣，那么就形成了一 個狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。對于這個系統(tǒng)，如果可以設計一個靜態(tài)反饋控制器u(s) = K(s)x(s)，使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，并且滿足從擾動到被調輸出的傳遞函數(shù)為

3、:憶(s)| 二 |(q + D12K)sI - (A + B12)_iB11 + D1JI 12-3那么，我們稱這樣的反饋控制器為系統(tǒng)P(s)的一個狀態(tài)反饋H控制律。 go定理 對于系統(tǒng)P(s)，存在一個狀態(tài)反饋H /控制器，當且僅當存在一個對 稱正定矩陣X和W，使得以下矩陣不等式成立：(C X + D W) tDt11一I2-4AX (C X + D W) tDt11一I2-4 TOC o 1-5 h z 121211Bt-111CX + D2WD11成立，而且，如果上面的矩陣不等式存在一個可行解W *、X *，則有K = W*(X*)-1為系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H控制矩陣。go對于次優(yōu)控制問題，

4、通產(chǎn)可以進行一下變換:|Tz(s)| V n Y -1Twz(s)| 12-5將原模型中的C. D、D12替換為y-q y-1 % y-1 q，則得到新的狀態(tài)反 饋次優(yōu)控制器對應的矩陣不等式：AX + B WAX + B W + (AX + B W) tBt11yfX + D12WB11-Iy-1 D 11y -1( C X + D W) ty -1 Dt11-I2-6為了計算方便，在上式的左右兩邊分別乘以diagI,I,y I，則得到如下式子:AX + B WAX + B W + (AX + B W) t BBt-111q x + DJD11(C X + D W) tDt11-y 2I02-

5、7求解該不等式即可得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋V-次優(yōu)Hg控制器求解該不等式，即 可得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋V -次優(yōu)H控制器。這樣，V -次優(yōu)H控制器存在的條件下(LMI可解)，通過建立和求解以下 優(yōu)化問題即可得到V -次優(yōu)Hg控制器：min pAX + B W + (AX + AX + B W + (AX + B W) t12Bt11CX + D W12B11一I(CX + D W)T12D1112Dt1121下面利用狀態(tài)反饋進行Y -次優(yōu)H控制器的設計。（二）系統(tǒng)矩陣下面給出系統(tǒng)的各個矩陣:（二）系統(tǒng)矩陣下面給出系統(tǒng)的各個矩陣:C=1000010000-1011C=1000010000-1011001011

6、001211-3112010-1282-132341142,D11,D12243121=021=022（三）仿真結果仿真條件設置：系統(tǒng)的狀態(tài)初值設置為:X仿真條件設置：系統(tǒng)的狀態(tài)初值設置為:X0 = 0 0 0 0卜，時間間隔設置為0.01s，共仿真10s，在0.2秒處施加一個o =2 1T的擾動。設置mincx函數(shù)的解算精度為1e-5,計算得到系統(tǒng)的反饋控制矩陣:Solver for linear objective minimization under LMI constraintsIterations :Best objective value so far123424.40725452

7、1.995437621.995437.21.995437821.852114921,8521141021.8276141121.8276141221.8179661321.8179661421.8179661521.8167661621.8167661721.816706182L 8166641921.816664202L 8166642121.8166602221.8166552321.8166552421.8166542521.8166542621.8166542721.816654* switching to QR282L 8166542921.816654Result: feasLbl

8、e solut i ontest objective value:21.8L6654f-radi.iis Eaturat ion: 8. 335% of R = L. 00e+09Teiminat ion due t o SLQ-ff PROGRESS:the objective was decr&a.Eed by less than 口口01% during the last 10 it erat ions.flag =1. 0e+08 *-1. 4238-0.8756-0.4070-0. 3349-0.0000-0.0000-o.oaoo-o.oaoo1. 0e+07 *3.5792-0.

9、90030. 0017-2.2852-0.90031.6995-0.77930. 18940.0017-0.77931. 66460.6700-2.28520. 18940.67002.S9051. 0e-b07*-4.29750.2094-L. 2U82.37600. 2094-0. 39020.70050. 622S-1. 24480.7005-1. 3277-O.77292.37000.5228-0.7729-2. 3661-1. 5074-1. 30SF-L. 372C0. 03420. 1663-0.525S0.02320. 3760-0.9937-0.2690-0.5579-0. 90610.5S5S0. 74730.0526-0. 4166ron =4=. 6708I在上面的仿真結果中，flag同EVP問題中的flag 一樣，都是X, W是否是系 統(tǒng)的解得標志。仿真結果中flag負定，說明X,W是系統(tǒng)的解。這樣就求得了系統(tǒng) 的狀態(tài)反饋控制矩陣。下面給出閉環(huán)系統(tǒng)的仿真結果：圖2-2 0.2秒處加入脈沖干擾后的系統(tǒng)狀態(tài)變量的響應曲線當取二sin(nT) cos(2 nT) F (T = 0.01,20 n