借對(duì)稱求最短距離

1、關(guān)于借對(duì)稱求最短距離第1頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四最短距離問(wèn)題考查知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”,“點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱”。生活中的原型：“建奶站問(wèn)題”，“牧馬人飲馬問(wèn)題”等。出題背景變式：有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標(biāo)軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路：（不變的“宗”）： 找點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”. 第2頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四在北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）的第123頁(yè)上：如圖，要在街道旁修建一個(gè)奶站，分別向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A、B到它的距離之和 最短？數(shù)學(xué)模型1第3頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月2

2、0日，8點(diǎn)43分，星期四 數(shù)學(xué)問(wèn)題1 已知：直線L和L的同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)C，使C在直線L上，并且ACCB最小。第4頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四 BC+AC BC +AC ，即AC+BC最小LBACAC 直線L是點(diǎn)A、A的對(duì)稱軸， 點(diǎn)C、C在對(duì)稱軸上，AC=AC，AC=AC 在BA C中，BA BC+A C， BC+AC = AC+BC = ABAC +BC = AC +BC 做法：作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A，連接 A B 與直線L相交于點(diǎn)C，連接AC，則AC+BC最短。則點(diǎn)C就是奶站 的位置依據(jù)？：以此題為“宗”的題目可以說(shuō)層出不窮，如：第5頁(yè)，共29頁(yè)，20

3、22年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四1.在正方形中探求線段和的最小值例1：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為 N連接BM交AC于N，連接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.第6頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式1：如圖所示，正方形ABCD的面積為36，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為 ( ) 面積為36，所以AB=BE=6第7頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式2：如圖，在ABC中，ACBC2，A

4、CB90，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值為_(kāi)第8頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四2.在圓背景下探求線段和的最小值例2：如圖，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點(diǎn)D在AC上,弧AD=2弧CD，點(diǎn)P是半徑OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么AP+PD的最小值是 .PADCOB第9頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式：已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值2.在圓背景下探求線段和的最小值第10頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)4

5、3分，星期四3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值 例3： 在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n =_ 時(shí),AC + BC的值最小第11頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值 變式1：一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)第12頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四令X=0得，Y=1，所以P點(diǎn)（0.1）第13頁(yè)，共29

6、頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式2：已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)C。且對(duì)稱軸為直線X=-1，其中A點(diǎn)（-3,0），C點(diǎn)（0，-2）（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PBC 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)ACxyBO第14頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PBC 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)第15頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四4、在角的背景下探求線段和的最小值例4：已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形

7、，使三角形周長(zhǎng)最小.第16頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式：如圖，點(diǎn)P在AOB內(nèi)部，且AOB=45,OP=2cm,在射線OA、OB上找點(diǎn)C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？第17頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四第18頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四 數(shù)學(xué)模型2如圖：C處為馬棚，D處為帳篷，牧馬人某一天要從馬棚牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定所走的最短路線。第19頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四 數(shù)學(xué)問(wèn)題2如圖

8、：C、D在AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別找點(diǎn)G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2.作點(diǎn)D關(guān)于直線OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH第20頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四例題：在直線m、n上分別求點(diǎn)M、N,使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小第21頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式1:如圖點(diǎn)A（a，1）、B（1，b）都在雙曲線 (x0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ在直線的解析式是（ ）.

9、 A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx3第22頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四第23頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四變式2：(2016貴陽(yáng))25.如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)F，E的坐標(biāo). 第24頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四第25頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四我的收獲：第26頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四課堂小結(jié)1、構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直P(pán)NPP2.關(guān)鍵：作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決第27頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)43分，星期四 測(cè)試題：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊 OB的中點(diǎn). （1）若E為邊