概率論復(fù)習(xí)課件

1、概率論復(fù)習(xí)第一章 隨機事件第二章 隨機事件的概率第三章 隨機變量及其分布第五章 大數(shù)定律及中心極限定理第四章 隨機變量的數(shù)字特征1.1、隨機現(xiàn)象 1.2、隨機試驗1.3、樣本空間 樣本點1.4、隨機事件的概念第一章 隨機事件在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象. 具有統(tǒng)計規(guī)律性2. 隨機現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.1.確定性現(xiàn)象 1.1、隨機現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果1.2、隨機試驗 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進行; 2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果; 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).定義 在

2、概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗. E4:電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù). 4=0，1，2， 1=0, 2=1, 3=2 E3:擲一顆骰子,觀察點數(shù).則 3=1,2,3,4,5,61=1 2=2 6=6E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.2=HHH, THH， HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT 1.4、隨機事件的概念隨機事件 隨機試驗 E 的樣本空間 的子集(或某些樣本點的子集），稱為 E 的隨機事件, 簡稱事件.隨機事件間的關(guān)系對立差互斥(互不相容)交（積）和（并）包含事件關(guān)系事件的互不相容 (互斥) 若事件 A 、B 滿足則稱事件 A與B互不相容.

3、圖示 A與B互斥AB說明 當AB= 時,可將AB記為“直和”形式A+B. 任意事件A與不可能事件為互斥. 若事件 A 、B 滿足則稱 A 與B 為互逆事件. A 的逆記作事件的互逆圖示 A 與 B 的對立.BA概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系 記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B 兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集 事件A與B的積事件 A集合與B集合的交集2.1頻率與概率5s*2

4、4000/3600=33.3h 概率的統(tǒng)計定義（頻率）直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但也有不足，即只適用能夠大量重復(fù)的問題，很多重要問題無法根據(jù)此定義計算某事件的概率。例如：不能直接應(yīng)用概率的頻率解釋“你和你的小學(xué)同學(xué)在街上偶遇的概率”古典概型中事件概率的計算公式設(shè)隨機試驗E為古典概型，其樣本空間及事件A分別為： =1，2，n A=i1，i2，ik則隨機事件 A 的概率為： 條件概率的性質(zhì)乘法定理2.4 全概率公式和貝葉斯公式:1. 樣本空間的劃分例 學(xué)生在回答多項選擇題時，或者知道答案或猜測答案。假定他知道答案的概率是p，而猜的概率是1-p。假設(shè)他猜對的概率為1/m

5、，其中m是選項數(shù)。問已知學(xué)生答題正確時，他確實知道答案的概率是多少？2.5 事件獨立性(一) 兩個事件的獨立性（二） n 個事件的獨立性 設(shè) A1，A2 ， ，An為n 個事件，若對于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 事件 A 與 B 相互獨立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān).注：2 獨立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥二者之間沒有必然聯(lián)系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系1定義2: 設(shè)A,B,C是三個事件,若滿足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=

6、P(A)P(B)P(C) 則稱A,B,C為相互獨立的事件.定義3：對n個事件A1,A2,An,如果對所有可能的組合1ijkn成立著 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An), 則稱這n個事件A1,A2,An相互獨立.定義4：設(shè)A1, A2, , An是n個事件，如果對任意的1ij n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 則稱這 n個事件兩兩獨立.注： 若n個事件相互獨立，必蘊含這n個事件兩兩相互獨立. 反之不成立。例 同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每一四面體的面分別標有號碼1，2，3，4令

7、A=第一個四面體出現(xiàn)偶數(shù) B=第二個四面體出現(xiàn)奇數(shù) C=兩個四面體同時出現(xiàn)偶數(shù)或同時出現(xiàn)奇數(shù) 驗證A、B、C的獨立性 故A、B、C三事件不相互獨立但兩兩獨立。 第三章 隨機變量及其分布3.1 隨機變量的概念3.2 隨機變量的分布函數(shù)3.3 離散型隨機變量的概率分布3.4 連續(xù)型隨機變量的概率密度3.5 隨機變量的函數(shù)的分布3.6 多維隨機變量及其分布3.1 隨機變量的概念例1 從一批產(chǎn)品中任意抽取k件,觀察出現(xiàn)的“廢品數(shù)”X1,依試驗結(jié)果不同X1的所有可能取值為:0,1,2,k.K+1個結(jié)果可用(X1=j)表示.例2 記錄某接待站一天中來訪的人數(shù)X2,“接待k個人”可用(X2=k)表示.定義如

8、果對于樣本空間中每個樣本點 (為隨機實驗的任一可能結(jié)果)，都有唯一的一個實數(shù)X()與之對應(yīng)，則稱X()為隨機變量簡記X()為X.隨機變量分類：(1) 離散型，(2)連續(xù)型.3.2 隨機變量的分布函數(shù)定義：X是一隨機變量, 對任意xR, 函數(shù) F(x)=P Xx 稱為X的分布函數(shù).P x1x1, F(x2)-F(x1)0.(2) 0F(x)1 且(規(guī)范性)(3) F(x)至多有可列個間斷點, 而在其間斷點 x0處是右連續(xù)的,(右連續(xù)性)3.3 離散型隨機變量的概率分布定義 若隨機變量全部可能取值是有限或 可列無窮多, 則稱為離散型隨機變量.則稱(1)式為離散型變量的分布律。分布律的性質(zhì)：或列表若

9、離散型隨機變量X的分布律為則X的分布函數(shù)為幾種重要的離散型隨機變量的分布律：(一) 0-1分布設(shè)隨機變量X只可能取0和1兩個數(shù)值，其分布為 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 其中0p1,則稱X服從(0-1)分布。設(shè)A是隨機事件，P(A)=p(0p1),記, 則X服從(0-1)分布.(二) 二項分布將試驗E獨立重復(fù)地進行n次得到的試驗序列稱為n重貝努利試驗。以X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為假設(shè)飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是1-P，且各發(fā)動機的互不影響，如果至少50%的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利的飛行，問對于多大的P而言，

10、四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全？ 波音747A380波音777四發(fā)動機飛機： 正常運行時2臺或3臺或4臺發(fā)動機正常運行 2臺發(fā)動機正常運行另外2臺故障概率C(4.2)*P(1-p)=6P(1-p) 3臺發(fā)動機正常運行另外1臺故障概率C(4.3)*P(1-p)=4P(1-p) 4臺發(fā)動機正常運行概率概率P4 四發(fā)動機飛機正常運行概率 6P(1-p)+4P(1-p)+P4 =P6(1-p)+4P(1-p)+P =P(3p-8p+6) 二發(fā)動機飛機： 正常運行時1臺或2臺發(fā)動機正常運行 1臺發(fā)動機正常運行另外1臺故障概率C(2.1)*P(1-p)=2P(1-p) 2臺發(fā)動機正常運行概率P 二發(fā)動機

11、飛機正常運行概率 2P(1-p)+P=P2(1-p)+P=p(2-p)四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全時 P(3p-8p+6)p(2-p) (3p-2)(p-1)0 3p-20 p2/3 當p2/3時四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全Ps+t|Xs)=P(Xt)(三) 正態(tài)分布:性質(zhì):(2)標準正態(tài)分布:引理 對于標準正態(tài)分布有3.5 隨機變量的函數(shù)的分布已知隨機變量X的分布,求Y=g(X)的分布一、 X為離散型變量例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4X -1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4Y4101即

12、 PY=0 =PX=1 =0.1PY=1 =PX=0+PX=2 =0.3+0.4=0.7或者 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 PY=4=PX=-1=0.2設(shè)X的分布律為 X x1 x2 xk P(X=xi) p1 p2 pk . 記yi=g(xi)(i=1,2,), yi的值也是互不相同的, 則Y的分布律為: PY=yi)= P(X=xi) =pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=g(xkm),則 P(Y=yk)=P(X=xk1)+P(X=xkm)離散隨機變量函數(shù)的分布律的求法:例 設(shè)隨機變量XN(,2),求Y=aX+b(a0)的概率密度。于是求導(dǎo)可得二、X為連續(xù)型- 分布函數(shù)

13、法3.6 多維隨機變量及其分布 n維隨機變量定義: 設(shè)E是一個隨機試驗, 樣本點是，若X1()X2(),Xn()是定義在樣本空間上的n個隨機變量,則稱構(gòu)成一個n維隨機變量,簡記為X=(X1,X2,Xn)1. 二維隨機變量(聯(lián)合)分布函數(shù):聯(lián)合分布函數(shù).二維隨機變量(1) F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(3) F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即 2. 二維隨機變量的分布(一) 二維離散型隨機變量的分布律(二) 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度3. 二維均勻分布及二維正態(tài)分布(1) 二維均勻分布設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,面積為 A,若二維隨機變量(X,Y)具有概率

14、密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.若區(qū)域G1是G內(nèi)的面積為A1的子區(qū)域,則有(2) 二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度二維正態(tài)分布，2. 邊緣分布 一、邊緣分布函數(shù)：二、邊緣分布律：二維離散型隨機變量(X,Y)的分量X,Y的分布律 P(X=xi ), P(Y=yj) (i=1,2,)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律。設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律 P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)則關(guān)于X的邊緣分布律為三、邊緣概率密度:所以，關(guān)于X的邊緣密度為3. 條件分布 一、二維離散型變量的情況:4. 相互獨立的隨機變量 若兩個事件A, B滿足P(AB)=P(A)P(

15、B), 則稱A, B相互獨立.定義:例 (X,Y)由聯(lián)合分布證明X與Y獨立。定理: 如果(X,Y)是二維離散型隨機變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:對任意的一對值(xi,yj)有定理 如果(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:在 f(x,y)的連續(xù)點(x,y)處，有命題：設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨立的充要條件是 =0.定理：設(shè)(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互獨立, 則Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互獨立,若h, g是連續(xù)函數(shù), 則h(X)和g(Y)相互獨立.第四章 隨機變量的數(shù)字特征4.1. 隨機

16、變量的數(shù)學(xué)期望4.2 隨機變量的方差 4.3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.4 矩、協(xié)方差矩陣1. 隨機變量的數(shù)學(xué)期望下面計算一些離散型分布的期望值。1) (0-1)分布 設(shè)X服從(0-1)分布，分布律為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1X的數(shù)學(xué)期望為 EX=1p+0(1-p)=p連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望下面計算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望：則它恰是區(qū)間a,b的中點。隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式: 均值的性質(zhì):(1) E(c)=c; (c為常數(shù))(2) E(cX)=cE(X);( c為常數(shù))(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4) 設(shè)X,Y相互獨立, 則 E(XY)=E(X)E(Y);

17、 (5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式)圍繞平均工資的爭論統(tǒng)計局最新數(shù)據(jù)顯示，上半年，中國城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資12964元，比去年同期增長18.0% ，2008年張家有財一千萬，九個鄰居窮光蛋，平均起來算一算，個個都是張百萬 4.2 方差 若X為離散型r.v.其分布律為PX=xk=pk, k=1,2, 則方差的計算公式:1. X服從(0-1)分布, 則EX=0(1-p)+1p=p,故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02(1-p)+12p=p, 下面計算一些常見分布的方差方差的性質(zhì):1 設(shè)C是常數(shù), 則D(C)=0;2 C是常

18、數(shù), 則有 D(CX)=C2D(X);3 設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機變量, 則有 D(XY)=D(X)+D(Y);切比雪夫不等式:4.3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)展開可得計算公式: Cov(X, Y)=EX-EXY-EY =E(XY)-E(X)E(Y).由方差性質(zhì)證明知對于任意的X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y). 協(xié)方差的性質(zhì):1 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常數(shù);3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);6 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);5 若X, Y相互獨立, 則Cov(X, Y)=0.4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a為常數(shù);由性質(zhì)(6) |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y)可得.公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY4.4 矩、協(xié)方差矩陣E(X)為一階原點矩, D(X)為二階中心矩, cov(X,Y)為二階混合中心矩.(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 則稱為X的k階原點矩.(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,則稱它為X的 k階中心矩.(3) 若EX-E