第6講 立體幾何（2022年高考真題）（解析版）

1、第6講 立體幾何 一、單選題1（2022全國高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為故選：A2（2022全國高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為

2、海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積棱臺上底面積，下底面積，故選：C3（2022全國高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所以球的半徑

3、,設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，當時，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國高考真題（文）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【解析】【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，分別求出平面，的法向量，根據法向量的位置關系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以

4、點為原點，建立空間直角坐標系，設，則，則，設平面的法向量為， 則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.5（2022全國高考真題（文）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱

5、錐的體積最大時其高的值.【詳解】設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為，則（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又則當且僅當即時等號成立，故選：C6（2022全國高考真題（理）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式

6、即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.7（2022全國高考真題（理）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）ABAB與平面所成的角為CD與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，解得對于A，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，C錯誤；對于D，與平面所成角為，而，所以D正確故選：D二、多選題8（2022

7、全國高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（）ABCD【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.【詳解】設，因為平面，則，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，則，則，則，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.9（2022全國高考真題）已知正方體，則（）A直線與所成的角為B直線與所成的角為C直線與平面所成的角為D直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數形結合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直

8、線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD三、解答題10（2022全國高考真題）如圖，是三棱錐的高，E是的中點(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接并延長交于點，連接、，根據三角形全等得到，再根據直角三角形的性質得到，即可得到為的中點從而得到，即可

9、得證；（2）過點作，如圖建立平面直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據同角三角函數的基本關系計算可得；(1)證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，所以，又，所以，則，所以，所以，所以，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以；設平面的法向量為，則，令，則，所以；所以設二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；11（2022全國高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為(1)

10、求A到平面的距離；(2)設D為的中點，平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由等體積法運算即可得解；（2）由面面垂直的性質及判定可得平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可得解.(1)在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；(2)取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，

11、所以二面角的正弦值為.12（2022全國高考真題（文）如圖，四面體中，E為AC的中點(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當的面積最小時，求三棱錐的體積【答案】(1)證明詳見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時點的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.(1)由于，是的中點，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)依題意，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當最短時，三

12、角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，解得，所以，所以.過作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.13（2022全國高考真題（理）如圖，四面體中，E為的中點(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據已知關系證明，得到，結合等腰三角形三線合一得到垂直關系，結合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標系，結合線面角的運算法則進行計算即可.(1)因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，所以平面，

13、因為平面，所以平面平面.(2)連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，因為，所以,在中，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.14（2022全國高考真題（文）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）分別取的中點，連接，由平面知識可知，依題從而可證平面，平面，根據線面垂直的性質定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點，由（1）知，該幾何體的體積等于