函數(shù)單調(diào)性和凸性判別法

1、關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法第1頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四2. 帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式：第2頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四帶Lagrange余項(xiàng)的Maclaurin公式：第3頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四 4 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)的凸性及其判別法第4頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四一. 函數(shù)單調(diào)性的判別法定義第5頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理1證明：第6頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第7頁(yè)，共

2、85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四說(shuō)明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,第8頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理2證明：第9頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第10頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第11頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第12頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第13頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第14頁(yè)，共85頁(yè)，202

3、2年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：注意: 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性第15頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四Nove. 17 Mon. Review函數(shù)單調(diào)性判別法第16頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四例4. 證明時(shí), 成立不等式證: 令從而因此且證第17頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四* 證明令則從而即第18頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四二. 函數(shù)的凸性及其判別法問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?第19頁(yè)，共

4、85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四圖形上任意弧段位于弦的上方圖形上任意弧段位于弦的下方第20頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定義1若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)。第21頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四凹函數(shù)凸函數(shù)第22頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定義1凹函數(shù)凸函數(shù)定義2第23頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理證明：第24頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第25頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四幾何意義：若曲線

5、弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào) 增加的，則該曲線是下凸的；若各點(diǎn)處的切 線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的。第26頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四求拐點(diǎn)的步驟：第27頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第28頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn).第29頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四Nove. 23 Mon. Review函數(shù)單調(diào)性判別法第30頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四函數(shù)凸性及其判別法第31頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，

6、星期四若函數(shù)可微：凹函數(shù)凸函數(shù)函數(shù)凸性判別法：第32頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四求拐點(diǎn)的步驟：3.考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。拐點(diǎn)：第33頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不存在。第34頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四凸凹凹第35頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第36頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第37頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5)

7、,2(1),3,5,6.更進(jìn)一步有不等式：第38頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四例. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1) 求2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及均為拐點(diǎn).凹凹凸第39頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)第40頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線 證明：第41頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20

8、日，11點(diǎn)0分，星期四令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.第42頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明:當(dāng)時(shí)，有證明:xxxFp2-=sin)(令, 則是凸函數(shù)即 2 .(自證)第43頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四函數(shù)的極值：極大值與極小值第44頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四5 函數(shù)極值、函數(shù)作圖函數(shù)的極值與求法；漸近線；函數(shù)作圖。第45頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四一. 函數(shù)的極值與求法定義：函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第46頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月

9、20日，11點(diǎn)0分，星期四第47頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理1(必要條件)注意:例如,極值可疑點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(尖點(diǎn)).第48頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)第49頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第50頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)第51頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四例1.解列表討論極大值極小值第52頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四圖形如下第53頁(yè)，

10、共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第54頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第55頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理3（第二充分條件）第56頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第57頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四極小值極大值第58頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四定理3(第二充分條件)第59頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四例 1. 若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形；解：第60頁(yè)，共85頁(yè)，2022年

11、，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第61頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四證明：第62頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第63頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第64頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第65頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四小 結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)Hw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5

12、,7,9),6(2),7,10.第66頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四二. 漸近線定義:1.垂直漸近線第67頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四例如有垂直漸近線兩條:第68頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第69頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四3.斜漸近線斜漸近線求法:第70頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四注意:第71頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第72頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第7

13、3頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四三. 函數(shù)作圖1.函數(shù)基本性質(zhì)：1). 定義域，值域，連續(xù)范圍；2). 函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶 函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；3). 周期性。第74頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)：第75頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四3. 漸近線1). 垂直漸近線；2). 水平與斜漸近線。4. 描點(diǎn)作圖 第76頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四解：第77頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第78頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四第79頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四p188 7(1,3,5),8,11(2).p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9), 12(1),13(1,3),15,20,21,30第80頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四列表xyy . 對(duì)函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：解所以，曲線有漸近線 x =00(拐點(diǎn))+因00+3極小值+例1.0.間斷點(diǎn)第81頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)0分，星期四0 xy3.第82頁(yè)，共85頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)