南大2006級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題B答案

1、一、填空題2006 級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題B 答案設(shè)為隨機(jī)事件，已知PBAB則P| AB 1解：4 P(B(AB)P(ABBB)P(AB)P(AAB)P(A) P(AB)P(B AB) P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A) P(A B) P(A)P(B)P(AB) 0.2 1。0.845個(gè)答案，一個(gè)考生可能真正理解而選對(duì)答案, 也可能亂猜一個(gè)。假設(shè)他知道正確答案的概率為 35如果已知他選對(duì)了，則它確實(shí)知道正確答案的概率為 5解：7設(shè)事件A表示考生選對(duì)了，事件B表示考生知道正確答案。由全概率公式，得 （A B（A B 11 21 7再由貝葉斯公式，得B （A

2、 B） 115 335155。 P(377x,0 x 1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f x A x,1 x 2，則A .0,其它32.利用密度函數(shù)的歸一性，有f (xdx 1 xdx2(Axdx 011 A 2 1 122所以A 2。設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)fx3x2,0 x 10,其它，若隨機(jī)變量Y 表示對(duì)X的三次獨(dú)立觀察中事件X 2 出現(xiàn)的次數(shù)，則33Y 0.4. 19327.由題設(shè)可知Y ，），其中參數(shù)3p p( X 2) 3f (x)dx 2 3x2dx 8 ，33-0273于是所求概率19（Y C0 p0( p)335在區(qū)間01)3271.5.3）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之積大于

3、 ”的概率為 4 ln 。42設(shè)XY為區(qū)間）中隨機(jī)取的兩個(gè)點(diǎn)，則（X）的聯(lián)合密度函數(shù) x 1,0 y f (xy 0(其他).于是所求概率P( XY 1) f (x,y)dxdy 1 xdy 11 )dx 3 1 ln 2。4114x42xy 1444x46設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為p0 p ）的0-）分布。 1 （X Y為偶數(shù)）令隨機(jī)變量Z 0（X 要使X和Z相互獨(dú)立，則p .Y為奇數(shù)）解12當(dāng)X 和Z獨(dú)立時(shí)，任何一個(gè)聯(lián)合概率都等于邊際概率的乘積，故應(yīng)有P( X 0, Z 0) P(X 0)P(Z 0),即PX 0,Y 1) PX 0)PX 0,Y 1) PX 0),再由X ,

4、Y獨(dú)立同分布，得P(X 0)P(Y 1) 2P(X 0)P(X 0)P(Y 1)即P(X 11 22設(shè)隨機(jī)變量X服從自由度為（n,nF分布，已知P Xa)0.05,則P X1).a7. 解 0.95由F分布性質(zhì)，若X F (nn),1 F (nn),X111P(X) P(X )1P(X )1P(X )10.050.95X二、選擇題已知P(B)0,A A ,則下列各式不正確的(). 12 12A PA A |B PA |BPA | B ；12BPA A | B12 0； 12PA A |B 12PA A | B112解 選C.由A A12 可知選項(xiàng)B顯然正確而A A12 A A1 ,所以選項(xiàng)D也

5、正確,并由此判斷 A1A 不可能是大概率事件,2故選項(xiàng)C不正確.是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，0P則下列四對(duì)事件中，不相互獨(dú)立的()AA C;A C;BAC與C;DAB與C解 選因?yàn)镻( ACC) P( A) P() 0 P( AC)P(C) , 所以事件AC 與C 不相互獨(dú)立,故選B.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y 1e2x ()A服從上的均勻分布； 服從正態(tài)分布；解 選 A.B仍服從指數(shù)分布；D服從參數(shù)為2的泊松分布。X 的密度函數(shù) fX2e2 x ( x 0),x ) 0 x 0), y 1e2X的反函數(shù)1x ln(1 y ), x(0 y 當(dāng)0 y 時(shí)Y122(1 y)f(

6、y ) fY( x ) x 2e 2 1 ln(1 y ) 1，從而 Y 的密度函數(shù)12(1 y )21 (0 y 12(1 y )2Yfy) 0（其他Y即Y服從（）上的均勻分布，因此選A.隨機(jī)變量X，Y和X Y的方差滿(mǎn)足DX YDXD是XY()A不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；B不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；C 獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；D獨(dú)立的充分必要條件解 選C.因?yàn)镈X YDXD(Y是X與Y不相關(guān)的充分必要條件(所以選項(xiàng), 結(jié)論錯(cuò)),但由此條件推不出X 和Y相互獨(dú)立故選項(xiàng)的結(jié)論也錯(cuò));若X 和Y相互獨(dú)立,則必有DX Y DX D(Y 所以選項(xiàng)C.設(shè)存在常數(shù)a,b(a0),使

7、得概率P aX b則必有()AXY1;BXY 1;a a ;aXYD1XYC.事實(shí)上P(Y aX b)的充分必要條件為而1(a 0), XY故選C. 1 (a 0),aa設(shè)X，X12，X是取自正態(tài)總體X 0,）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則n的無(wú)偏估計(jì)量是() 1n 1nAX2nii1 n 1X 2ii11n2nX2i2i1D 1n 1nX2i2i1解 選 事實(shí)上1n1n1nE(ni1X 2 ) ii1E(X 2 ) ii1D(Xi)E(Xi)2 1 n( 2 0) 2故選A.i1在假設(shè)檢驗(yàn)中，記H 為備擇假設(shè)，則犯第一類(lèi)錯(cuò)誤是指()1AH 為真，接受HBH 不真，接受H1 11 11H 為真，拒絕H11

8、H 不真，拒絕H117. 解選因?yàn)榈谝活?lèi)錯(cuò)誤是指棄真錯(cuò)誤,即H 接受H ，所以選B。1三、計(jì)算題為真時(shí)拒絕H0, 此時(shí)亦即H 不真時(shí)，1做出正確的裁定，而第三個(gè)人以擲硬幣決定，最后結(jié)果根據(jù)多數(shù)人的意見(jiàn)裁判組哪組做出正確裁定的概率大？解:設(shè)、C分別表示事件 “第一組的三個(gè)人均做出正確裁定D表示“第一組人做出正確裁定 ABC ABC ABC ABC,PA PB p,P 12由于A、B、C是相互獨(dú)立的，利用加法定理得P D P ABC P P P ABC P AP BP P AP B P P AP P P pp1 pp1 p p1 pp1 2222 p這樣，兩個(gè)裁判組正確裁定的概率一樣大0,x,y設(shè)

9、二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)fx,yAxy,0,x,y其中G y | 0 x 2,0 y x2 求：1系數(shù)A；2X 和Y的邊緣密度函數(shù)；3條件概率密度函數(shù)fX x| y和Y|Xy | x.解（1）由聯(lián)合密度函數(shù)的歸一性可得 f (x,y)dxdy Axydxdy 2 Axdxx2ydy A2 x5dx 16 A100203G故A 316(2)當(dāng)0 x 2時(shí)fy)dy x23 xydy 3 x501632當(dāng)0 y 4時(shí) x,y)dx A2xydx 3 y(4 y)201632所以X 和Y的邊緣密度函數(shù)分別為 3f）32 X0,0 x 2)其他 3y(4 ) 0 y 4)Y0,其他(

10、3)當(dāng)0 y 4時(shí)f（x, y) 2x （ y x 2)f （x | XY（） Y0,其他當(dāng)0 x 2時(shí)2 yf （y |y)（0 y x2 )0,0,Y | Xxx） x4其他設(shè)二維隨機(jī)變(X,Y)的聯(lián)合密度函fx,y3y,0 x y,0 y 10,其他，隨機(jī)變量Z X 2Y，求Z的概率密度函數(shù)。解的聯(lián)合概率密度為f (x, y) 則Z 的概率密度f(wàn) (z) z1 bbzaxaf (x,)dxabz byf(,y)dy a本題 a=1，B=-2，代入上式可得f (z) zf (z 2 y, y)dy其中被積函數(shù)3y(2 y z y,0 y 1)f(z2yy)它取非零值的區(qū)域由三條直線z=-y

11、,y=1 所圍（如圖所示，三角形頂點(diǎn)在z -0 便是z 的分界點(diǎn)。z 2 z 0 當(dāng)2 z 1時(shí)，(z) 0zf (z) 1zz23ydy z33283當(dāng)1 z 0(z) z 3ydy z39zz892于是所求概率密度函數(shù)332 z2(2 z 1fz(1 z 0)8z其他03X Y和的方差、協(xié)方差分別是D(3X Y ) 333,) 280,COV (3X Y ,2 X ) 42求隨機(jī)變量X 2Y和2X3Y的方差和協(xié)方差。D(3X Y)9D(X)D(Y)6cov(X,Y)333D(2X )4D(X)9D(Y)12cov(X,Y)280cov(3X Y , 2X ) 6D(X ) 3D(Y ) 7

12、 cov(X ,Y ) 42解得 D( X ) 25, D(Y ) 36,cov( X ,Y ) 12 ，于是D(X ) D(X ) 4D(Y ) 4cov( X ,Y ) 121D(2X+3Y)4D(X)+9D(Y)+12cov(X，Y)568，cov(X2Y，2X3Y)2D(X)6D(Y)cov(X，Y)178某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)的某種商品每日的價(jià)格為YYn X (n 1),n其中Y 表示第n天該商品的價(jià)格，Xn表示第n天較前一天商品價(jià)格的變化n寫(xiě)Y與Y，X，X ，之間的關(guān)系n012nX1，2相互獨(dú)立，且E( X) 0, D(Xn2，）。如果今天該商品的價(jià)格為100元，用中心極限定理估計(jì)18天后該商

13、品的價(jià)格在96元與104元之間的概率。解 （1）X（n1，得YnYXnn-2n-1nn-3n-2n-1nYn-2n-1nn-3n-2n-1nXXY0X1X2Xn.（2）18 天后得商品價(jià)格YYYY18X10018 X，iii1i1其中 X1，X2，X18 相對(duì)獨(dú)立，且 E(Xi)0，D(Xi)2 (i1，2，18，故 E（X）iE(Xi)0，(XiD(Xi)2 36.由獨(dú)i1i1i1i1i1立同分布的中心極限定理可得18i1XN(0，36)，于是所求概率P(96Yi18104418 44 2 10.4972.i66 3i1設(shè)總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即（X ）1p 2）且X 1，X2是X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，n求參數(shù)