2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第2章 第3節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試要求1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用1根式(1)如果xna，那么x叫做a的n次方根(2)式子 eq r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(3)( eq r(n,a)na當(dāng)n為奇數(shù)時， eq r(n,an)a；當(dāng)n為偶數(shù)時， eq r(n,an)|a| eq blc(avs4alco1(a，a0，,a，a0，m，nN*，n1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，a eq sup6(f(m,n) eq f

2、(1,asup6( eq sup6(f(m,n) eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，n1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3指數(shù)冪的運算性質(zhì)arasars；(ar)sars；(ab)rarbr(a0，b0，r，sR).4指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)yax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù)提醒：形如ykax，yaxk(kR，且k0；a0且a1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a0時，y1；當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x1；當(dāng)x0時，0y0，且a1)的圖象經(jīng)過 eq blc(rc)(avs4alco1(

3、2，f(1,3)，則f(1)()A1B2C eq r(3)D3C依題意可知a2 eq f(1,3)，解得a eq f(r(3),3)，所以f(x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)x，所以f(1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3) eq sup10(1) eq r(3).2某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件，在今后m年內(nèi)，計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為_答案ya(1p%)x(0 xm，xN)3計算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(1,3) eq blc(rc)(avs

4、4alco1(f(7,6)08 eq sup10(f(1,4) eq r(4,2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sup10(f(2,3)_2原式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup10(f(1,3)12 eq sup10(f(3,4)2 eq sup10(f(1,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup10(f(1,3)2.4已知a eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,3)，b eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(

5、f(1,4)，c eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(f(3,4)，則a，b，c的大小關(guān)系是_(用“”連接)cbay eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)x是減函數(shù)， eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)0，則ab1，又c eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco

6、1(f(3,2)01，cba. 考點一指數(shù)冪的運算1若x eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2) eq r(6)，則 eq f(（xx1）（x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10( eq f(3,2)）,x2x22)_ eq r(6)x eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2) eq r(6)，xx1(x eq sup10(f(1,2)x eq sup10( eq f(1,2)224，x2x2(xx1)2214，x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10(f(3,2)(x eq sup

7、10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2)(xx eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2)x1)3 eq r(6)， eq f(（xx1）（x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10(f(3,2)）,x2x22 ) eq f(43r(6),12) eq r(6).2計算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,8) eq sup10(f(2,3)0.002 eq sup10(f(1,2)10( eq r(5)2)10_ eq f(167,9)原式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq s

8、up10(2)500 eq sup10(f(1,2) eq f(10（r(5)2）,（r(5)2）（r(5)2）)1 eq f(4,9)10 eq r(5)10 eq r(5)201 eq f(167,9).3計算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4) eq sup10(f(1,2) eq f(r(blc(rc)(avs4alco1(4ab1)3),（0.1）1（a3b3）sup10(f(1,2)_(a0，b0). eq f(8,5)原式 eq f(24sup10(f(3,2)asup10(f(3,2)b eq sup10(f(3,2),10asup10(f(3,2)b e

9、q sup10(f(3,2) eq f(8,5).指數(shù)冪運算的一般原則(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式要求統(tǒng)一 考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 eq avs4al(典例1)(1)函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)已知實數(shù)a，b滿足等式2 021a2 022b，Aab0Bab

10、0C0ab D0ba(1)D(2)C(1)由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.又f(0)ab0，即b0.(2)如圖，觀察易知，ab0或0b0，且a1)的圖象有兩個公共點，則a(1)A(2) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)(1)法一：當(dāng)x0時，y0，排除C.又f(x)為偶函數(shù)，排除B，D，故選A.法二：y1e|x|的圖象可由ye|x|關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)e|x|的圖象，再向上平移一個單位長度得到，故選A.(2)y|ax1|的圖象是由yax的圖象先向下平移1個單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的當(dāng)a1時，如圖1

11、，兩個圖象只有一個交點，不合題意；當(dāng)0a1時，如圖2，要使兩個圖象有兩個交點，則02a1，得0a eq f(1,2).綜上可知，a的取值范圍為 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).圖1圖2 考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用比較指數(shù)式的大小典例21(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，Aabc BacbCcab Dbca(2)(2021江淮十校聯(lián)考)若2x5y2y5x，則有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0(1)A(2)B(1)由0.20.6，0.41，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.20.40.6，即bc.因為a20.21，b0.40.21，所以ab.

12、綜上，abc，故選(2)設(shè)函數(shù)f(x)2x5x，易知f(x)為增函數(shù)又f(y)2y5y，由已知得f(x)f(y)，所以xy，所以xy0.解簡單的指數(shù)方程或不等式 典例22 (1)已知實數(shù)a1，函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(4x，x0，,2ax，x0，)若f(1a)f(a1)，則a的值為_(2)設(shè)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x7，x0，,r(x)，x0，)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是_(1) eq f(1,2)(2)(3，1)(1)當(dāng)a1時，2a(1a)4a1無解，故a的值為 eq f(1,2).(2)當(dāng)

13、a0時，原不等式化為 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(a)71，則2a3，所以3a0.當(dāng)a0時，則 eq r(a)1，0a0對任意xR都成立，則實數(shù)a的取值范圍是_(1)1(2)(，4(3)(1，)(1)法一(定義法)：因為f(x)x3(a2x2x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)對任意的xR恒成立，所以(x)3(a2x2x)x3(a2x2x)對任意的xR恒成立，所以x3(a1)(2x2x)0對任意的xR恒成立，所以a1.法二(取特殊值檢驗法)：因為f(x)x3(a2x2x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(1)f(1)，所以 eq bl

14、c(rc)(avs4alco1(f(a,2)2)2a eq f(1,2)，解得a1，經(jīng)檢驗，f(x)x3(2x2x)為偶函數(shù)，所以a1.法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知f(x)x3(a2x2x)的定義域為R，且是偶函數(shù)設(shè)g(x)x3，h(x)a2x2x，因為g(x)x3為奇函數(shù)，所以h(x)a2x2x為奇函數(shù)，所以h(0)a20200，解得a1，經(jīng)檢驗，f(x)x3(2x2x)為偶函數(shù)，所以a1.(2)令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間 eq blcrc)(avs4alco1(f(m,2)，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間 eq blc(rc(avs4alco1(，f(m,2)上單調(diào)遞減而y2t是增函數(shù)，所以要

15、使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有 eq f(m,2)2，即m4，所以m的取值范圍是(，4.(3)原不等式可化為a4x2x1對xR恒成立，令t2x，則t0，y4x2x1t22t(t1)211，當(dāng)t1時，ymax1，a1.1.比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”2指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化3涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷跟進訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x) eq f(4x1,2x)，af(20.3)，bf(0.20.3)，cf(log0.32)