2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第5章 第1節(jié)　平面向量的概念及線性運算

1、 平面向量的概念及線性運算考試要求1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.4.通過實例分析，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線

2、向量，規(guī)定：0與任意向量平行(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求兩個向量差的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算| a|a|，當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共線定理向量a(a0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使得ba.提醒：當(dāng)a0時，定理中的實數(shù)才唯一，否則不唯一常用結(jié)論1P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點eq o(OP,s

3、up6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2若G為ABC的重心，則有(1)eq o(GA,sup6()eq o(GB,sup6()eq o(GC,sup6()0；(2)eq o(AG,sup6()eq f(1,3)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()3首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量4若eq o(OP,sup6()veq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()(、v為常數(shù))，則P，P1，P2三點共線的充要條件是v1.5對于任意兩

4、個向量a，b，都有：(1)|a|b|ab|a|b|；(2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2) 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()(2)若向量eq o(AB,sup6()與向量eq o(CD,sup6()是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(3)若ab，bc，則ac.()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是()A.eq o(EF,sup6()eq o(CD,sup6()B.eq o(AB,s

5、up6()與eq o(DE,sup6()共線C.eq o(BD,sup6()與eq o(CD,sup6()是相反向量D.eq o(AE,sup6()eq f(1,2)|eq o(AC,sup6()|Deq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，故D錯誤2設(shè)向量a，b不共線，向量ab與a2b共線，則實數(shù)_.eq f(1,2)ab與a2b共線，存在實數(shù)使得ab(a2b), eq blcrc (avs4alco1(，,21，)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)，,f(1,2).)3已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq o(OA,sup6(

6、)a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(DC,sup6()_，eq o(BC,sup6()_.(用a，b表示)baab如圖，eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()ba，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab.4化簡：(1)(eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()_.(2)eq o(NQ,sup6()eq o(QP,sup6()eq o

7、(MN,sup6()eq o(MP,sup6()_.(1)eq o(AB,sup6()(2)0(1)原式eq o(AB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(AB,sup6().(2)原式eq o(NP,sup6()eq o(PN,sup6()0. 考點一平面向量的概念1. 下列命題中的真命題是()A若|a|b|，則abB若A，B，C，D是不共線的四點，則“eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C若ab，bc，則acDab的充要條件是|a|b|且abBA不正確兩個向

8、量的長度相等，但它們的方向不一定相同B正確eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|且eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()且eq o(AB,sup6()，eq o(DC,sup6()方向相同，因此eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6().C不正確因為零向量與任一非零

9、向量都平行，當(dāng)b0時，a與c不一定平行D不正確當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件故選B.2(2021合肥模擬)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)成立的充分條件是()AabBabCa2bDab且|a|b|C因為向量eq f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.當(dāng)a2b時，eq f(a,|a|)eq f(2b,|2b|)eq f

10、(b,|b|)，故a2b是eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)成立的充分條件3如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EFAB，則下列等式中成立的是()A.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6() B.eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()C.eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6() D.eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6()D根據(jù)相等向量的定義，分析可得eq o(AD,sup6()與eq o(BC,sup6()不平行，eq o(AC,sup6()與eq o(B

11、D,sup6()不平行，所以eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()均錯誤，eq o(PE,sup6()與eq o(PF,sup6()平行，但方向相反，故不相等，只有eq o(EP,sup6()與eq o(PF,sup6()方向相同，且大小都等于線段EF長度的一半，所以eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6().解答與向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)平行向量就是共線向量，二者是等價的(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，可以比較大小(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是

12、相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談(4)非零向量a與eq f(a,|a|)的關(guān)系：eq f(a,|a|)是與a同方向的單位向量 考點二平面向量的線性運算向量的線性運算典例11如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E為BC邊上一點，且eq o(BC,sup6()3eq o(EC,sup6()，F(xiàn)為AE的中點，給出下列命題：eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()；eq o(AF,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()；eq o(

13、BF,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()； eq o(CF,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().其中正確命題的序號為_ ABCD，ABAD，AB2AD2DC，由向量加法的三角形法則得eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,s

14、up6()，正確；eq o(BC,sup6()3eq o(EC,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AB,sup6()f(2,3)o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().又F為AE的中點，eq o(AF,su

15、p6()eq f(1,2)eq o(AE,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()，正確；eq o(BF,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()，正確；eq o(CF,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()e

16、q f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，錯誤故正確命題為.根據(jù)向量線性運算求參數(shù)典例12在ABC中，延長BC至點M使得BC2CM，連接AM，點N為AM上一點且eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AM,sup6()，若eq o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，則()A.eq f(1,3)B.eq

17、 f(1,2)Ceq f(1,2)Deq f(1,3)A由題意，知eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AM,sup6()eq f(1,3)(eq o(AB,sup6()eq o(BM,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq f(3,2)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，又eq o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()

18、eq o(AC,sup6()，所以eq f(1,6)，eq f(1,2)，則eq f(1,3).平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)求已知向量的和或差共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用向量減法的幾何意義；求首尾相連向量的和用三角形法則(2)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值跟進訓(xùn)練1(1)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq o(EB,sup6()()A.eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6() B.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(

19、3,4)eq o(AC,sup6()C.eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6() D.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()(2)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，若eq o(AB,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()(x，yR)，則xy_.(1)A(2)2(1)法一：如圖所示，eq o(EB,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(DB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o

20、(CB,sup6()eq f(1,2)eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()，故選A.法二：eq o(EB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(3,4)eq

21、 o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()，故選A.(2)由題意得eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，因為eq o(AB,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()，所以eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(y,2)eq

22、 o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)y)eq o(AD,sup6()，所以eq blcrc (avs4alco1(xf(y,2)1，,f(x,2)y0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(4,3)，,yf(2,3)，)所以xy2. 考點三共線向量定理的應(yīng)用典例2設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5eq o(AB,sup6().eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共線又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)kab和akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k1