第七屆華杯賽決賽試題及解答

1、第七屆華杯賽決賽一試試題及解答.公園只售兩種門票：個人票每張5元，10人一張的團(tuán)體標(biāo)每張如元，購買10張以上團(tuán)體票者可優(yōu)惠10%甲單位45人逛公園，按以上規(guī)定買票，最少應(yīng)付多少錢？乙單位208人逛公園，按以上規(guī)定買票，最少應(yīng)付多少錢？.用無色透明玻璃小正方體和紅色玻璃小正方體拼成一個大正方體ABCD-4易5口】（如右圖），大正方體內(nèi)的對角線5,L1,1所穿過的小正方體都是紅色玻璃小正方體，其它部分都是無色透明玻璃小正方體，小紅正方體共用了401個.問：無色透明小正方體用了多少個？111111.a是自然數(shù)，且17a=，求a的最小值.對一個自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2,如果是奇數(shù)則加1。如

2、此進(jìn)行直到為1時操作停止。問：經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個？.已知m,n,k為自然數(shù)，nk,2是100的倍數(shù)，求m+nk的最小值。.1998個小朋友圍成一圈，從某人開始，逆時針方向報數(shù)，從1報到64,再依次從1報到64,一直報下去，直到每人報過10次為止。問：有沒有報過5,又報過10的人?有多少?說明理由；有沒有報過5,又報過11的人?有多少?說明理由；1【解】（1）45個人，應(yīng)當(dāng)買4張團(tuán)體票（每張10人），5張個人票，共用：30 x4+5x5=145元（比5張團(tuán)體票?。＃?）208個人，可以買21張團(tuán)體票（每張10人），共用：30 x21x（110%）=3x21x9=567元，如果買20

3、張團(tuán)體票，8張個人票，共用：30 x20 x（110%）+5x8=580元由于購買10張以上團(tuán)體票的可以優(yōu)惠10%,所以208人買21張團(tuán)體票反而省錢.本題答案應(yīng)當(dāng)是567元.【解】WG、04、D、四條對角線都穿過在正中央的那個小正方體，4。1一1除此而外，每兩條對角線沒有穿過相同的小正方體，所以每條對角線穿過A+1=101個小正方體這就表明大正方體的每條邊由101個小正方體組成因此大正方體由1013個小正方體組成，其中無色透明的小正方體有1013-401=1030301401=1029900,即用了1029900個無色透明的小正方體.【解】由除法（不斷在右面添寫1直到整除為止）得171111

4、11111111111191町S1-11011611816B-131一119V21.m21174147168311的最小值是65359477124183a的最小值是653594771241834.【解】可以先嘗試一下，得出下面的圖:1124102813643130其中經(jīng)1次操作變?yōu)?的1個，即2,經(jīng)2次操作變?yōu)?的1個，即4,經(jīng)3次操作變?yōu)?的2個，即3,8,，經(jīng)6次操作變?yōu)?的8個，即11,24,10,28,13,64,31,8,于是，經(jīng)1、2、次操作變?yōu)?的數(shù)的個數(shù)依次為：1,1,2,3,5,8,(1)這一串?dāng)?shù)有個特點：自第三個開始，每一個等于前兩個的和，即：2=

5、1+1,3=2+1,5=3+2,8=5+3,如果這個規(guī)律正確，那么8后面的數(shù)依次是：8+5=13,13+8=21,21+13=34,即經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有34個。為什么上面的規(guī)律是正確的呢？道理也很簡單.設(shè)經(jīng)過n次操作變?yōu)?的數(shù)的個數(shù)為則=1,%=1,%=2,從上面的圖看出，4一比4大.一方面，每個經(jīng)過n次操作變?yōu)?的數(shù)，乘以2,就得出一個偶數(shù)，經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?；反過來，每個經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?的偶數(shù)，除以2,就得出一個經(jīng)過n次操作變?yōu)?的數(shù).所以經(jīng)過n次操作變?yōu)?的數(shù)與經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?的偶數(shù)恰好一樣多.前者的個數(shù)是外，因此后者也是4個。另一方面，每個經(jīng)過n次操作變?yōu)?的偶數(shù)

6、，減去1,就得出一個奇數(shù)，它經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?,反過來每個經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?的奇數(shù)，加上1,就得出一個偶數(shù)，它經(jīng)過n次操作變?yōu)?.所以經(jīng)過n次操作變?yōu)?的偶數(shù)與經(jīng)過n+1次操作變?yōu)?的奇數(shù)恰好一樣多.而由上面所說，前者的個數(shù)就是4-。因此后者也是外T.經(jīng)過，n+1次操作變?yōu)?的數(shù)，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，所以2一=4+4t(2)即上面所說的規(guī)律的確成立。滿足規(guī)律(2),并且4=%=1的一串?dāng)?shù)(1)稱為斐波那契數(shù).斐波那契(Fibonacci,約11751250)是意大利數(shù)學(xué)家，以他名字命名的這種數(shù)列有很廣泛的應(yīng)用.【解】首先注意100=22x52如果，n=k,那么2m是100的倍數(shù)，因而是

7、5的倍數(shù)，這是不可能的，所以n-k12m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k-1)被22整除，所以k2設(shè)a=m-k,b=n-k,則ab.而且都是正整數(shù)2a+2b-1被52整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值，不難看出:21。+21-1=1025被25整除，所以a+b+k的最小值1+1十2=13而且在a=10,b=1,k=2時，上式等號成立還需證明在a+b10時，2a+2b-1不可能被52整除列表如下：9S1654bIL21231,2,314L2.3451,23.4a3時，2a+2b-1bc)在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位6是正確的。問：原式中的門兒是多少？6.

8、對干自然數(shù)a,表表示a的各位數(shù)字之和。求同時滿足下列條件的所有的自然數(shù)(1)a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)；(2)工=m152所以m10.如果m9,那么球的總數(shù)10 x9+(10+9+8+2)=90+54=144152所以m=10,在m=10時，10 x10+(10+9+1)=155=152+3,所以一個箱子放10個球，其余箱子分別放11，12,14,15,16,17,18,19,20個球，總數(shù)恰好為152,而且符合要求的放法也只有這一種.【解】先求乙的速度，設(shè)乙的速度為甲的K倍，丙與乙相遇時甲行S千米，則這時丙行7s千米，乙行KS千米，于是7S+KS=125(1)33即（將（1）代入（2）消去S）

9、即（將（1）代入（2）消去S）6S3333p-K47+Kx125（千米）這時甲丙相距6s（=7SS）千米，丙第一次回到甲處時，甲又向前行6S+（7+1）=4S（千米），44丙行sSx7（千米），乙行SxK（千米）x125（千米）（4）（推導(dǎo)與上面完全一樣，只是125千米換成了x125千米)3(3-K根據(jù)已知條件:x125=45(5)x125（千米）（4）（推導(dǎo)與上面完全一樣，只是125千米換成了x125千米)3(3-K根據(jù)已知條件:x125=45(5)即：1625(6)于是（只取正值）2g從而K=即乙的速度是每小時:79x9=7(千米)當(dāng)丙第三次回到甲處時，甲、乙相距34x45=4x$x45=

10、35x45=27(千米).【注】（3）中的125,如果改成其他數(shù)（例如A、A兩地原來相距250千米）.推導(dǎo)完全一樣，于是，在丙第二次回到甲處時，甲、乙相距3p-K+笈x381丙第四次回到甲處時，甲、乙相距5x27=520（千米）.因此，甲、乙相距20千米發(fā)生在丙第四次回到甲處之前，即他們都應(yīng)從丙第四次回到甲處這事往回倒退。由于81198119199而甲、乙速度之比是9：7.所以甲應(yīng)退5”+“丙的速度是甲的7倍，所以丙應(yīng)退甲的7倍，上17工從而在甲、乙相距20米時，甲丙相距5x9+7x(1+7)=(千米).【解】考慮除以9的余數(shù)，我們用xy(mod9)表示x,y除以9的余數(shù)相同，也就是xy是9的

11、倍數(shù)，讀作x與y模9同余熟知一個自然數(shù)與它的數(shù)字和模9同余，所以2342352862+3+4+2+3+5+2+8+68(mod9)abcxabcxbca(a+b+c)3(mod9)于是(a+b+c)38(mod9)從而(用a+b+c0,1,2,8代入上式檢驗)a+b+c2,5,8(mod9)(1)對a進(jìn)行討論如果a=9,那么b+c2,5,8(mod9)(2)又cxaxb的個位數(shù)字是6,所以bxc=4x1=7x2=8x3=6x4其中只有(b,c)=(4,1),(8,3)符合(2),經(jīng)檢驗只有983x839x398=328245326符合題意如果a=8,那么b+c3,6,O(mod9)(3)又bx

12、c=2x1=4x3=6x2=7x6=7x1,其中只有(b,c)=(2,1),符合(3).經(jīng)檢驗岫17=921,不合題意如果a=7,那么b+c4,7,1(mod9)(4)又bxc=4x2=6x3,其中沒有符合(4)的b、c如果a6，那么貨乩成700 x600 x500=210000000222334586,因此這時乩不可能符合題意。綜上所述，門玩=983是本題唯一的解本題采用枚舉法(也稱為窮舉法)，分情況進(jìn)行討論，這是一種極常用的方法.凡.【解】如果a是一位數(shù)，那么(2)顯然滿足(=1),由(1),a=1,5,7。Q10 x+y9x如果a是兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y,則=工+=1+*+

13、9x由于a不是3的倍數(shù)，所以Sa也不是3的倍數(shù)。但工=m是自然數(shù)，所以“十丁是自然數(shù)，即9x被x+y整除。因為Sa=x+y不是3的倍數(shù)，即x+y與9互質(zhì)，所以x被x+y整除。但a是奇數(shù)，所以yO,x；+y,x不可能被x+y整除。因此a不可能是兩位數(shù)。如果a是四位以上的數(shù)，設(shè)a=1000 x+100y十10z+u,其中y,z,u都是數(shù)字，x是自然數(shù)，則Sx+y+z+u,由(2),1000 x十1OOy+10z+u50(x+y十z十u)于是950950 x+50y40z+50u400+500=900矛盾，因此a不可能是四位以上的數(shù)。如果a是三位數(shù)，設(shè)a=1OOx+1Oy+1Oz,x、y、z都是數(shù)字，x0，則Sa=x+y+z,1CW+10下+w_10+90zj-9Z_1Q9(10 x-z)x+y+Z式4-1y+wx+y+zm=9(1Ox-z)1Ox-z4Qy-hzx-l-y-l-za與前面的推理相同，是奇數(shù)，而且由于，m50,所以丫5,1Oxz從而，x+y+z=1或3(1)以下分兩種情況來求(1)的解(a)1Oxz=x+y+z,即9x=y+2z(2)在x=1時，由(2)可得z=1,y=7或者z=3,y=3(注意a為奇數(shù)，所以z是奇數(shù))，其中第一組得