第四章指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.6 課時(shí)10函數(shù)的應(yīng)用

1、知識(shí)點(diǎn)一 指數(shù)函數(shù)模型1.某單位職工工資經(jīng)過(guò)六年翻了三番，則每年比上一年平均增長(zhǎng)的百分率是()36答案 B63,kt5 小時(shí)，1 個(gè)病毒能繁殖為_(kāi)個(gè)k解析 當(dāng) t0.5 時(shí)，2，2e .2ln 2.知識(shí)點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)模型所以 8ln (mln ( 2)4ln 28ln.m由已知，得 M479.8，則 479.8.479.8479.8x將 8 代入(1)中所得式中，得 88ln，解得 303.3.所以應(yīng)裝載大約 303.3 t 8 km/s 順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的橢圓軌道知識(shí)點(diǎn)三 冪函數(shù)模型4.2017 年某地官方數(shù)字顯示：該地區(qū)人口約有 60 萬(wàn)，但其人口總數(shù)在過(guò)去40 年內(nèi)翻了一番，問(wèn)該地

2、區(qū)每年人口的平均增長(zhǎng)率是多少？以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用：2.000對(duì)數(shù) lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010解 設(shè)該地區(qū)每年人口的平均增長(zhǎng)率為 n 年前的人口數(shù)為 ，則(1xn60，則當(dāng) n40 時(shí)，30，即 30(1) 60.40) 2，兩邊取對(duì)數(shù)，則 40lg lg 2，40lg 2則 lg 0.007526，4011.017，解得 x1.7%.易錯(cuò)點(diǎn) 忽視指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算方法而致錯(cuò)5如圖所示，桶 1 中的水按一定規(guī)律流入桶 2 中，已知開(kāi)始時(shí)桶 1 中有 a升水，桶 2 是空的，t 分鐘后桶 1 中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線 y ae 其中nt1n 是

3、常數(shù)，e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)假設(shè)在經(jīng)過(guò) 5 分鐘后，桶 1 和桶 2 中的水恰好相等求：桶 2 中的水 y 升與時(shí)間 t分鐘的函數(shù)關(guān)系式2a8經(jīng)過(guò)多少分鐘，桶 1 中的水是 升？易錯(cuò)分析 本題容易出現(xiàn)因忽視指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，不能充分應(yīng)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化而致誤正解 桶 2 中的水是從桶 1 中流出的，而開(kāi)始時(shí)桶1 中的水是 a 升，又滿足 y ae ，nt1桶 2 中的水與 t 的函數(shù)關(guān)系式是 y aae .nt2t5 時(shí)，y y ，1215ae aae ，解得2e 1，n ln 2.5nn5n25ty ae.125ta8a8當(dāng) y 時(shí)，有 ae，解得 t15.1a8經(jīng)過(guò) 15 分鐘桶 1 中

4、的水是 升一、選擇題1長(zhǎng)迅速，后期增長(zhǎng)越來(lái)越慢若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間 x的關(guān)系，可選用()一次函數(shù)C指數(shù)型函數(shù)答案 D二次函數(shù)對(duì)數(shù)型函數(shù)解析 由題意分析，符合對(duì)數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)2一天的 2 倍，若荷葉 20 天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，當(dāng)荷葉覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了()10 天 15 天 C19 天 2 天答案 C解析 當(dāng)荷葉生長(zhǎng) 20 天時(shí)，長(zhǎng)滿水面，所以生長(zhǎng) 19 天時(shí)，荷葉覆蓋水面面積的一半3把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T ，空氣的溫度是1T t 分鐘后物體的溫度T可由公式 TT T T )e 0.25 t0010度是 90 的物體，放在1

5、0 的空氣中冷卻 t 分鐘后，物體的溫度是50 ，那么t 的值約等于參考數(shù)據(jù)：ln 31.099，ln 20.693)(1.78 2.77 C2.89 D4.40答案 B)12解析 由題意可知 5010(900.25t，整理得0.25t tln12ln 20.693，解得 t2.77.4 100 200 三個(gè)月銷售400790臺(tái))與投放市場(chǎng)的月數(shù) x之間的關(guān)系的是(100 x)50 x 501002C502x100log 1002答案 C解析 由題意，對(duì)于 A 中的函數(shù)，當(dāng) 3 或 4 時(shí)，誤差較大對(duì)于 B 中的函數(shù)，當(dāng) 4 時(shí)，誤差也較大對(duì)于 C 中的函數(shù)，當(dāng) 1,2,3 時(shí)，誤差為 0，x

6、4 時(shí)，誤差為 10，誤差很小對(duì)于 D 中的函數(shù)，當(dāng) 4 時(shí)，300，與實(shí)際值 790 相差很大綜上，只有 C 中的函數(shù)誤差最小故選 C.5向高為 H 的水瓶?jī)?nèi)注水，注滿為止，如果注水量 V 與水深 h 的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示，那么水瓶的形狀是()答案 B解析 取 OH的中點(diǎn)(如圖E 作 h h 達(dá)到水瓶高度一半時(shí)，體積 V 大于一半易知 B符合題意二、填空題6一個(gè)駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí) 25%的速度減少，為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò) 0.09 _小時(shí)才能開(kāi)車精確到 1 小時(shí)，參考數(shù)據(jù)

7、lg 0.30，lg 30.48)答案 5解析 設(shè)經(jīng)過(guò) n 小時(shí)后才能開(kāi)車，此時(shí)酒精含量為 0.3(10.25) .根據(jù)題意，n34有 0.3(10.25) 0.09，在不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有nlg n(lg 32lg lgn13 10.3lg 31，將已知數(shù)據(jù)代入，得 n(0.480.6)0.481，解得 n 4 ，故33至少經(jīng)過(guò) 5 小時(shí)才能開(kāi)車7 y與儲(chǔ)藏溫度 單位： 滿足函數(shù)關(guān)系 ye 2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，b 為常數(shù) 0 的保鮮時(shí)間kxb是 192 小時(shí)，在 22 的保鮮時(shí)間是 48 小時(shí)，則該食品在 33 的保鮮時(shí)間是_小時(shí)答案 24e 192，解析 依題意得1412b兩

8、式相除可得 e ，故 e ，故 e22kk33k be48，22k b12 e e 192 ，即該食品在 33 的保鮮時(shí)間是 24 小時(shí)33kb38中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 毫克與時(shí)間 t小時(shí)成正比；藥物釋放完畢1 后，y與 t 的函數(shù)關(guān)系式為 a 為常數(shù)ta16 回答下列問(wèn)題：從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量 毫克與時(shí)間 t(小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)； 0.25 _10t0t0.1，答案 1(2)0.6 0.1t0.1t16 解析 (1)因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 毫克)與時(shí)間 t小時(shí)成正比，則設(shè)函數(shù)為 ktk0)，將點(diǎn)(0.1,1)代入 kt，可得 10，所

9、以 10t；1 將點(diǎn)(0.1,1)代入 ，得 a0.1.ta16 10t0t0.1，故所求的函數(shù)關(guān)系式為 1 0.1.t0.1t16 1116 1 216由 0.25 ，得 0.6.t0.1即至少要經(jīng)過(guò) 0.6 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室三、解答題9某種海洋生物身體的長(zhǎng)度 ft單位：米與生長(zhǎng)年限 t單位：年)滿足如下10的函數(shù)關(guān)系：ft12設(shè)該生物出生時(shí) tt4需經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，該生物的身長(zhǎng)超過(guò) 8 米？該生物出生后第 3 年和第 4 2 年中哪一年長(zhǎng)得更快10解 由 ft12148，即 2 ，4tt4解得 t6，即該生物 6 年后身長(zhǎng)超過(guò) 8 米10104由于 ff(2) ，12 12 3210105ff ，12 12 30143535 4所以，第 3 年長(zhǎng)了 米，第 4 年長(zhǎng)了 米，因?yàn)?，所以第 4 年長(zhǎng)得快3 310一片森林原來(lái)的面積為 a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百 10 1422面積至少要保留原面積的 ，已知到今年為止，該森林剩余面積為原來(lái)的 .求每年砍伐面積的百分比；到今年為止，該森林已砍伐了多少年？從今年算起最多還能砍伐多少年？解 設(shè)每年砍伐面積的百分比為 (0，1212則 a) a，即) ，1010112 解得 1 .22設(shè)經(jīng)過(guò) m年該森林剩余面積為原來(lái)的 ，2