貝葉斯公式的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、貝葉斯公式的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用第2卷第2期大學(xué)數(shù)學(xué)COLLEGE M A TH EM A月011 年 4TICSol .ol .27, Nq.2Apr.2011楊靜1 ,陳冬1 ,程小紅2(1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部，北京100101 ； 2 .首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京100080)摘要介紹了貝葉斯公式的一些應(yīng)用實(shí)例及分析，以使在教學(xué)中能幫助學(xué)生更深入地理解該公式.關(guān)鍵詞|貝葉斯公式;應(yīng)用；案例中圖分類號(hào)1 O 211文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼C文章編號(hào) 1672-1454(2011)02-0166-04在一般的概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中，都會(huì)涉及到 貝葉斯公式.遺憾的是，多數(shù)教材對(duì)該公式的探討都 點(diǎn)到為止.同時(shí)，教材

2、中所涉及到的應(yīng)用又都過(guò)于單調(diào). 據(jù)此，本文擬對(duì)由貝葉斯公式得到的結(jié)論作更深入的 探討以及提供更多類型的應(yīng)用.通過(guò)貝葉斯公式，我 們看到，某些看似合理的結(jié)論卻往往蘊(yùn)含著不合理.1貝葉斯公式貝葉斯公式是英國(guó)學(xué)者托馬斯 貝葉斯(Thomas Bayes , 1702 -1761)最早發(fā)現(xiàn)的,首次發(fā)表在1763 年，當(dāng)時(shí)貝葉斯已經(jīng)去世，其結(jié)果沒有受到應(yīng)有的重 視.1774年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P .-s . Laplace ,1749 -1827)再一次總結(jié)了這一結(jié)果.此后，人們逐漸認(rèn)識(shí)到這個(gè)著名概率公式的重要性.現(xiàn)在，它已在疾病 診斷、安全監(jiān)控、質(zhì)量控制、安全部門的招募、藥劑 檢測(cè)等方面發(fā)揮著重要

3、的作用.貝葉斯公式若事件B ,B ,B是樣本空間甲的一個(gè)劃分，P(B )0 a =1 2,2，,n ),A 是任一事件且P(A)0 ，則有B( A) P(A)* =1 ,2，B =(p(AJ-),其中，P(A)可由全概公式得到即P(AX P(B )P(A B A和B，根據(jù)貝葉斯公式有(2 )i =1 本文主要應(yīng)用貝葉斯公式的一種簡(jiǎn)單情形，即:P(2 )i =1 本文主要應(yīng)用貝葉斯公式的一種簡(jiǎn)單情形，即:P(B A)=A)其中P(A)=P(BiB)+P(B)P(A)P(AB).(4)這里，事件B的概率通常是根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得 到的，叫作先驗(yàn)概率,而P(B A)是在獲得新的信息后 對(duì)先驗(yàn)概率作出

4、重新的認(rèn)識(shí)，稱為后驗(yàn)概率 1.后驗(yàn) 概率體現(xiàn)了已有信息帶來(lái)的知識(shí)更新,經(jīng)常用來(lái)分析 事件發(fā)生的原因.1收稿日期2008-05-26基金項(xiàng)目“十一五”國(guó)家課題“我國(guó)高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式研究”數(shù)學(xué)類子課題項(xiàng)目便IB070335 -A 2-15-C) (994-2015 China Acadeniic Journal Elecironic Publishing I Iouse. AU rigilts reservcd. http:ki.ne第2期 楊靜，等:貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用頌2貝葉斯公式的應(yīng)用1 .疾病診斷l(xiāng)iiJ=J貝葉斯公式在疾病診斷方面的應(yīng)用很多，一般教材 多采用這方面的例子.在此，我們

5、引入兩個(gè)案例.并通 過(guò)第一個(gè)案例，對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行詳盡的討論.liiJ=J資料顯示,某項(xiàng)艾滋病血液檢測(cè)的靈敏度(即真有病的人檢查為陽(yáng)性)為95 %,而對(duì)沒有得病的人這種 檢測(cè)的準(zhǔn)確率(即沒有病的人檢查為陰性)為99 %.美國(guó)是一個(gè)艾滋病比較流行的國(guó)家，估計(jì)大約有千分之 一的人患有這種病.為了能有效地控制、減緩艾滋病的傳播，幾年前有人建議對(duì)申請(qǐng)新婚登記的新婚夫婦進(jìn) 行這種血液檢查.該計(jì)劃提出后，征詢專家意見,遭到專家的強(qiáng)烈反對(duì)，計(jì)劃沒有被通過(guò).現(xiàn)在我們用貝葉斯公式分析專家為何反對(duì)通過(guò)這項(xiàng) 計(jì)劃.設(shè)A =檢查為陽(yáng)性,B =個(gè)人患有艾滋病.根據(jù) 文中敘述可知，P(B)=0 .001,P(A | B)

6、=0 .95 , P(B )=1 -0 .001=0 .999 , P(A | B )=1 -0 .99 =0 .01.由(4)得P(A)=0 .001 x0 .95 +0 .999 x0 .01 =0 .01094.根據(jù)公式(3)，得到P(B A)=0 .001 x0 .95司7087丁I0.01094也就是說(shuō)，被檢測(cè)患有艾滋病而此人確實(shí)患有該病的 概率大約為0 .087 .這個(gè)結(jié)果使人難以接受，好像與實(shí)際不符.從資料顯示來(lái)看，這種檢測(cè)的精確性似乎 很高.因此，一般人可能猜測(cè)，如果一個(gè)人檢測(cè)為陽(yáng) 性，他患有艾滋病的可能性很大，估計(jì)應(yīng)在90 %左liiJ右，然而計(jì)算結(jié)果卻僅為8 .7%.如果通

7、過(guò)這項(xiàng)計(jì)劃, 勢(shì)必給申請(qǐng)登記的新婚夫婦帶來(lái)不必要的恐慌.因?yàn)?約有91 .3%的人并沒有患艾滋病.為什么會(huì)出現(xiàn)與直 覺如此相悖的結(jié)果呢？這是因?yàn)槿藗兒雎粤艘恍┗?礎(chǔ)信息，就是患有艾滋病的概率很低,僅為千分之一.因 此,在檢測(cè)出呈陽(yáng)性的人中大部分是沒有患艾滋病的 具體的說(shuō),若從該地隨機(jī)抽取1000個(gè)居民,則根據(jù) 經(jīng)驗(yàn)概率的含義，這1000個(gè)居民中大約有1人患 有艾滋病,999人未換艾滋病.檢查后，大約有1 x0 .95 +999 M0 .01 =10 .94個(gè)人檢查為陽(yáng)性,而在 這個(gè)群體中真正患有艾滋病卻僅有1人.因此有必 要進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè).liiJ但是，我們也應(yīng)該注意到，這項(xiàng)檢測(cè)還是為我們提

8、供了一些新的信息.計(jì)算結(jié)果表明，一個(gè)檢測(cè)結(jié)果呈 陽(yáng)性的人患有艾滋病的概率從最初的0 .001增加到了 0 .087，這是原來(lái)患有艾滋病概率的87倍.進(jìn)一步的計(jì)算，我們得到一個(gè)檢查呈陰性而患有艾 滋病的概率為P(B | A)=P(tt)P(AB)=01001 x0.05 0 .00006 .0 .98906liiJ因此，通過(guò)這項(xiàng)檢測(cè)，檢查呈陰性的人大可放寬心， 他患有艾滋病的概率已從千分之一降低到十萬(wàn)分之 六.liiJ我們?cè)倥e一個(gè)心理學(xué)研究中常被引用的例子 滲加 常規(guī)檢查的40歲婦女患乳腺癌的概率是1 %.如果 一個(gè)婦女有乳腺癌,則她有80 %的概率將接受早期 胸部腫瘤X射線檢查.如果一個(gè)婦女沒

9、有患乳腺癌, 也有9 .6%的概率將接受早期胸部腫瘤X射線檢查.ii在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫 瘤X射線檢查，問她實(shí)際患乳腺癌的概率是多少？ 2 心理學(xué)家關(guān)心的是，一個(gè)不懂貝葉斯原理的人對(duì)上 述問題進(jìn)行直覺推理時(shí)的情形是什么樣的，并將他們 的判斷結(jié)果與貝葉斯公式計(jì)算的結(jié)果作比較來(lái)研究 推理過(guò)程的規(guī)律.結(jié)果，95 %的內(nèi)科醫(yī)生的判斷介于 70 %-80 %，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離正確答案.設(shè)B =患有乳腺 癌, A =早期胸部腫瘤X射線檢查.由資料知iiP(B)=0 .01 , P(B )=0 .99 , P(A B)=0 .8 , P(A B )=0 .096 .由上面公式(4),有P(

10、A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .01 x0 .8+0 .99 x0 .096 =0 .10304 .利用上面公式(3)，有015 Chiiici AcBdimii: Journal ElectronjcP(B A)=0 .01 X0 .8 =0 .0776. .10304 a 015 Chiiici AcBdimii: Journal Electronjc168大學(xué)數(shù)學(xué)第168大學(xué)數(shù)學(xué)第27卷由此可知，在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了 早期胸部腫瘤X射線檢查，她實(shí)際患乳腺癌的概率 是 0 .0776 .2 .說(shuō)謊了嗎 ?測(cè)謊儀是用來(lái)檢測(cè)一個(gè)人是否說(shuō)謊的儀器，經(jīng)常

11、用 于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領(lǐng)域.定義 事件T =“檢測(cè)為一個(gè)人在說(shuō)謊”，L =一個(gè)人真正在 說(shuō)謊”.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),P(T L)=0 .88 , P(T L ) =0.86 . 看起來(lái)，測(cè)謊儀比較精確.I I假設(shè)在一次試驗(yàn)中,檢測(cè)出被測(cè)對(duì)象在說(shuō)謊.按照上 面所給資料，也許很多人都認(rèn)為這個(gè)人說(shuō)謊的概率會(huì) 很高，也許在0 .87左右.然而，在安全部門的招募 篩查中，大多數(shù)人都是誠(chéng)實(shí)的,假設(shè)P(L) =0 .01 ,根 據(jù)公式(4),有P(T)=P(L)P(T L)+P(L )P(T L ) =0 .01 x0 .88 +0 .99 x0 .14 =0 .1474.應(yīng)用公式(3)，有T)X0

12、 .88 0 .0 6 .P(L) |L) T)X0 .88 0 .0 6 .0 .1474從計(jì)算結(jié)果來(lái)看,94 %的檢測(cè)都是錯(cuò)誤的.如果測(cè) 謊試驗(yàn)導(dǎo)致被檢測(cè)者逮捕或被指控，后果該有多么嚴(yán) 重!這也顯示了在一般人群中使用這種篩查的危險(xiǎn) 性.如果檢驗(yàn)用在嫌疑犯身上，危險(xiǎn)性將大大降低.一 般嫌疑犯說(shuō)謊的概率都很高，假設(shè)P(L)=0 .5 ,這時(shí) 我們得到P(L T)=0 .86，這個(gè)概率還是可以接受的.3 .訴訟 .1981年3月30日，一個(gè)大學(xué)退學(xué)學(xué)生欣克利(Jo hn Hinckley Jr.)企圖對(duì)里根總統(tǒng)行刺.他打傷了里根、 里根的新聞秘書以及兩個(gè)保安.在1982年宣判他時(shí), 欣克利的辯護(hù)

13、律師以精神病為理由作為其無(wú)罪的辯 護(hù) 3.作證的醫(yī)師告訴法院當(dāng)給被診斷為精神分裂癥 的人以CA T掃描時(shí)，掃描顯示30 %的案例為腦萎 縮，而給正常人以CA T掃描時(shí)，只有2 %的掃描 顯示腦萎縮.欣克利的辯護(hù)律師試圖拿欣克利的CA T掃描結(jié)果為證據(jù)，爭(zhēng)辯說(shuō)因?yàn)樾揽死膾呙栾@示了 腦萎縮,他極有可能患有精神病，從而應(yīng)免受到法院 的起訴.讓我們嘗試用貝葉斯方法對(duì)欣克利是否患有精神 病作出判斷.一般地,在美國(guó)精神分裂癥的發(fā)病率大 約為1 .5%.設(shè)A =CAT掃描顯示腦萎縮;B =做掃描的人患 有精神病.根據(jù)上文的敘述可知,P(B)=0 .015 ,P(A B)=0 .3 ,P(B )=1-0 .

14、015 =0 .985 ,P(A B )=0 .02 .I由上面公式(4)，得P(A)=0 .015 x0 .3 +0 .985 x0 .02 =0 .0242,再由公式(3)，有P(B A)=0 .015 理.3 =硝86.I0.0242這意味著即使欣克利的掃描顯示了腦萎縮，他也只有 18 .6%的可能患有精神病，因此CA T掃描無(wú)法作 為其無(wú)罪的證據(jù).4 .企業(yè)資質(zhì)評(píng)判.I三W在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下,一些大的建筑工程都實(shí)行招投 標(biāo)制.在發(fā)包過(guò)程中，對(duì)參加招標(biāo)的施工企業(yè)的資質(zhì) (含施工質(zhì)量信譽(yù)等)進(jìn)行調(diào)查和評(píng)定是非常重要 的.設(shè)B =被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)不好, A =被調(diào) 查的施工企業(yè)資質(zhì)評(píng)定為不

15、好.由過(guò)去的資料知P(A B)=0 .97, P(A B )=0 .95 .現(xiàn)已知,在被調(diào)查的施工企業(yè) 當(dāng)中有6 %確實(shí)資質(zhì)不好，我們來(lái)看一下評(píng)定為資質(zhì) 不好的施工企業(yè)確實(shí)資質(zhì)不好的概率I三W由上面公式(4)，有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .06 x0 .97 +0 .94 x0 .05 =0 .E 994-2luntc-ademid oumd Elecirinh： u lish ng Diise. I r ghts reserved.trp：/7ww.E 994-2楊靜，等:貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用1690.06 x0.97 P(B iA)=利用上面公式0.06

16、 x0.97 P(B iA)=071055.由此可知,被評(píng)為資質(zhì)不好的施工企業(yè)中，真正不好 的約占55 %，也就是說(shuō)，誤評(píng)的可能性相當(dāng)大.所以 不能對(duì)評(píng)為不好的企業(yè)輕易下不發(fā)包的結(jié)論.為了使 發(fā)包工作公正合理地進(jìn)行，一般應(yīng)從其他方面對(duì)這些 企業(yè)進(jìn)行深入了解，再作決定.3總 結(jié)在教學(xué)中應(yīng)提醒學(xué)生以下兩個(gè)方面.第一、必須注 意事件的基礎(chǔ)概率,即事件的先驗(yàn)概率.基礎(chǔ)概率小 的事件，即使某種條件概率，如P(A B )較高，其出現(xiàn) i的概率仍然是較小的.如現(xiàn)實(shí)生活中中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)就是 小概率事件.第二、應(yīng)該對(duì)信息的外部表征作理性的分 析，不應(yīng)被一些表面特征所迷惑，如條件概率的高低 并不決定某一事件出現(xiàn)概率的

17、高低.參考文獻(xiàn)余家林.概率論及試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)M.北京:高等教育出版社，2001, 22 .K ahneman D , et al Judg eme nt unde r uncertainty :H euristics and biases M .Cambridg e :Cambridg e Univ ersityP ress,1982 :249.3陳偉.欣克利行刺案與美蘇冷戰(zhàn)結(jié)束J.書屋，2005(10):65 -72.Some Applications of Bayesian FormulaY ANG J ing1, CHE N Dong 1, CHENG X iao-hong2(1 .De partment o f Basic Subjects, Beijing Unio n U niv erstiy , Beijing 100101 , China ;2.Elementary Educa tional Co lleg e, Capital