《普通物理學教程 力學（第二版）》電子教案：10全部內(nèi)容

1、波動是振動(相位)的傳播，簡稱波.振動 機械振動 電磁振動 波 機械波 電磁波 第十章 波動和聲 10.1 波的基本概念 10.1.1 波是振動狀態(tài)的傳播 機械波產(chǎn)生的條件： 振源和彈性介質(zhì). 彈性介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì).正彈性力(壓、張):液體、氣體、固體 彈性力切彈性力 固體10.1.2 多種多樣的波 橫波1.橫波與縱波縱波縱波振動方向與傳播方向相同,如聲波.t=0 t=T/4 t=T/2t=3T/4 t=T 147101316動畫演示橫波各振動方向與傳播方向垂直.如電磁波t =0 t=T/4 t=T/2t=3T/4 t=T 147101316質(zhì)點完成一次振動，波剛好傳播了一個波形.

2、動畫演示2. 水面波 水面波是由于表面張力和重力作用的結(jié)果，并非彈性波. Oy水面平衡位置 10.1.3 平面波與球面波 波線（波射線)波的傳播方向用線表示；波面（相面、波陣面）振動相位相同點 的軌跡.波前某時刻處在最前面的波面. 在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直.波面波線球面波平面波波線波面10.2 平面簡諧波方程 10.2.1 平面簡諧波方程 以橫波為例建立 y = f (x,t) 簡諧波簡諧振動在媒質(zhì)中的傳播. 數(shù)學描述 y = f (x,t) 1. 簡諧波的運動學方程 僅討論:無損耗、無限大媒介、無反射波介入. 設簡諧波沿正 x 方向傳播 , 行波相位逐點傳波的波. 設 t 時刻

3、O點振動表達式：求同一時刻任意點x的振動. 角頻率（圓頻率）.其中 y 是質(zhì)點在y方向上的位移，A振幅, O點振動傳到 x 點需用時 相位落后 x點的運動方程 (10.2.1)若波向負x方向傳播 P點運動傳到 O 點需用時： P點的相位超前于O點相位：平面諧波一般表達式負（正）號代表向 x 正（負）向傳播的諧波.2. 討論 位移 y 既是 t 的函數(shù)，又是 x 的函數(shù) (1)當 x 一定時，令 x = x0 表達式變成 y - t 關系，是 x0 點的振動方程. x0相位比 x=0 點落后 T tyA-AO所以式(10.2.1)反映了介質(zhì)中各點的運動規(guī)律. (2) t一定（統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點）

4、這時, y 僅為 x 的周期函數(shù).當 t = t0 時 表達式變成 y x 關系，表達了 t = t0 時刻空間各點的位移分布波形圖.yxOt 時刻的波形曲線(3) x、t 均變 具有波動意義 即: 各質(zhì)點各自振動 ; 波形向前傳播. yx1xy1t 時刻 t +t 時刻 x2 如圖：因振動頻率不變，所以這兩點相位相同.即 整理得 ： v 就是波形向前傳播的速度，也是相位的傳播速度，所以也稱v為相速.令 波數(shù) 波長 波速與頻率之間的關系為波在空間的周期性 波在時間上的周期性 通過波速v聯(lián)系起來 10.2.2平面簡諧波方程的多種形式 利用 因此下述幾式等價：例題1 平面簡諧波方程為如何將此方程化

5、成為最簡形式. 選擇計時起點瞬時相位為零的一個體元為新的坐標原點.對新原點平衡位置為x 的某體元在t時刻的相位為 解 移動坐標原點或改變計時起點都可使原點初始 相位為零.（1）移動坐標原點 此體元對舊坐標原點其平衡位置坐標為x，在t 時刻的相位為表明坐標原點應沿x軸正向移動由此得 所以 （2）改變計時起點由此可得表明計時起點應向前移六分之一周期.例題2 有一列向 x 軸正方向傳播的平面簡諧波，它在t = 0時刻的波形如圖所示,其波速為u =600 m/s.試寫出波動方程.x/my/m512.O=5mA24m=原點處質(zhì)點的振動方程為 波動方程為 解10.3 波動方程與波速 10.3.1 波動方程

6、 波動方程由動力學規(guī)律得到的概括振動傳播規(guī)律的方程.以平面橫波為例討論 Oxyx+xyx設橫波沿x方向傳播， 體元橫截面積S，密度 .x 處，由胡克定律 在忽略高級無窮小量時，有 又橫波的波動方程 縱波的波動方程 橫波的波動方程 柔軟弦中的橫波 對于一維簡諧波 10.3.2 波速色散 在密度為，揚氏模量為E的介質(zhì)傳播的縱波的波速公式為傳播的橫波的波速公式為 在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些. 弦中橫波的波速 在液體和氣體只能傳播縱波. 在液體和氣體中波速為 K為媒質(zhì)的體變彈性模量; 為質(zhì)量密度. 理想氣體縱波波速(聲速)為氣體的摩爾質(zhì)量, R為摩爾氣體常數(shù), T為熱力學溫度； 是氣體

7、的比熱容比. 波速與溫度有關 深水波的波速依賴于頻率，這種現(xiàn)象稱色散.深水波 淺水波 10.4 平均能流密度聲強與聲壓 10.4.1 介質(zhì)中的能量分布 1. 波的能量 每個體元振動所具有的動能 之和2.能量密度 每個體元形變所具有的勢能 波場中單位體積的能量 體元振動的動能 ： 3.細棒中機械橫波能量密度 體元質(zhì)量 m = dV yO 體元形變勢能：彈性力關系 切變模量 若細棒中傳播的是簡諧波 又體元總機械能 ：(2) E 最大值出現(xiàn)在形變最大處(1)Ek=Ep 隨時間周期性變化，周期為波動周期的一半. 即 T = 4.討論 波形 極大極小(3)波動的能量與振動能量是有區(qū)別的. 平均能量密度

8、能量密度 普適結(jié)論 平均能流密度 單位時間通過垂直于波的傳播方向上單位面積的平均能量.1.平均能流密度 簡稱能流密度，或波強(坡印廷矢量). 平均能流密度是矢量,方向沿波的傳播方向. 10.4.2 平均能流密度 2. 波的功率P（平均能流） 功率單位時間通過截面 S 的平均能量 S為任意曲面時波源功率 S與I垂直P = IS S與I不垂直, I與S法向成角, P = IS cos 證明平面波,在垂直于I方向取兩平面 S1=S2 所以,平面波振幅相等：求證在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進方向上振幅不變.得證. 對球面波：P1=P2 即 I1 S1=I2 S2 球面波 即振幅與離波源的距

9、離成反比。球面簡諧波的波函數(shù)：聲波 能引起聽覺的機械波聲波：次聲波：超聲波：人的聽覺與頻率和聲強有關 . 最低聲強（聞閾）I0=10-12W/m2 (約1000Hz) 最高聲強（痛閾）I 10W/m2 (約1000Hz) 聲強聲波的波強 10.4.3 聲強與聲強級 聲強級人耳所感受到的聲音的響度. 聲波傳播的速度幾乎與頻率無關，而速度與介質(zhì)的密度有關，所以聲波傳播的速度對于溫度和壓強的變化很敏感.定義聲強級I0為人耳聽得到的最小聲強（標準聲強）.（紅線為等響度線）語言區(qū)域痛閾聞閾/HZ20100050010050001000002040608010012010-210-410-610010-8

10、10-1010-12L/dbI/Wm-2引起痛覺的聲音炮 聲鉚 釘 機交通繁忙的亍道通 常 談 話耳 語引起聽覺的最低聲音樹葉沙沙聲聲 源聲強/W m-2 1110-210-510-610-1010-1110-12聲強級/dB 震耳響正常輕極輕12010070602010012010.4.4 聲壓聲強和聲壓的關系 波不僅傳遞能量還傳遞動量. 伴隨波的傳播，還存在壓強的傳播.聲壓 p是有聲波傳播的空間某一點在某一瞬時的壓強 p0是沒有聲波時的壓強 xyOeff yaybaa bb yccc d設簡諧波方程 體元速度 聲壓波方程可表示為 聲壓幅 若波沿負x方向傳播 波阻 或波在介質(zhì)中傳播時，波強逐

11、漸減弱10.4.5 聲波的衰減超聲波的優(yōu)勢 聲強級 I入射初始聲強，Id深入介質(zhì)d 距離處的聲強, 衰減系數(shù). 1MHz頻率超聲波經(jīng)過幾種介質(zhì)的衰減系數(shù) 介質(zhì)0/dBcm-1空氣10鋁0.02骨骼310蓖麻油1肺40肌肉1.52.5一種有機玻璃2軟組織0.31.5水0.00210.4.6 波的反射和透射半波損失 反射系數(shù) 透射系數(shù) Z大波密介質(zhì),Z小波疏介質(zhì). 入射波在反射時發(fā)生反向的現(xiàn)象稱為半波損失. 有半波損失Z大 Z小無半波損失Z大 Z小入射波反射波透射波介質(zhì)1 (Z1小)介質(zhì)2 (Z2大）界面入射波反射波透射波介質(zhì)1 (Z1大介質(zhì)2 (Z2小)界面 脈沖波在界面處的反射和透射例題1 如

12、圖,沿 x 軸傳播的平面簡諧波方程為 隔開兩種介質(zhì)的反射界面，A與坐標原點O相距2.25 m.設反射端兩側(cè)波阻相差懸殊且可視為固定端.求反射波方程.(SI)AOxy12反射波在O點比在A點落后解因兩側(cè)波阻相差懸殊,可認為反射波入射波振幅相同.入射波在 A 點比 O 點落后固定端反射，有半波損失，因此，反射波在坐標原點的相位比入射波在該點的相位落后反射波方程 =200m/s, =100Hz,而已知入射波在坐標原點的初相位為零，故(SI) 波的疊加原理當幾列波在介質(zhì)中的某點相遇時，該質(zhì)元的振動位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和.10.5 波的疊加和干涉駐波 10.5.1 波的疊加群速

13、 1.波的疊加原理 注：此原理只適用于線性行波，對非線性行波(如爆炸)不適用.重要性：可將任一復雜的線性行波分解為簡諧波的疊加.若 y1 、y2 分別是它的解，則 (y1+y2) 也是它的解,即波動方程遵從疊加原理.波的疊加原理的基礎是波動方程為線性微分方程 2.群速 群速度合成波任一給定振幅傳播的速度. 在有色散的介質(zhì)中, 群速度 相速度 下面先來討論兩個頻率相近，振幅相同的簡諧波的同向疊加.振幅被調(diào)制的波包的速度，即群速x(a)x(b)相速度 波在無色散的介質(zhì)中傳播 波的干涉之模擬演示圖10.5.2 波的干涉 兩束疊加的波在交迭區(qū)域某些點處振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，

14、振動的強弱介乎二者之間，保持不變.稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象.1. 波的干涉2. 相干條件得到干涉所要求的條件. 具有恒定的相位差; 振動方向相同. 兩波源的波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯.兩波源具有相同的頻率; 滿足相干條件的波 叫相干波, 波源叫相干波源, 疊加叫相干疊加.設有兩個頻率相同的波源S1和S2 其振動表達式為 3. 強度計算 傳播到 P 點引起的振動為： 在P點的振動為合振動的強度為：對空間不同的位置，都有恒定的，因而,合強度在空間形成穩(wěn)定的分布(干涉特點). 其中：干涉相長(強度最強點) 4. 干涉加強、減弱條件 干涉相消（強度最弱點） 當兩相干波源為同相波源時，相干條件

15、寫為：相長干涉相消干涉波程差 干涉是能量的重新分布實現(xiàn)干涉的艱難任務是實現(xiàn)初相差恒定 1. 形成 駐波 沿相反方向傳播的兩列等幅相干波的疊加. 10.5.3 駐波動畫演示2. 駐波特點 各質(zhì)點的振幅各不相同.位移恒為零波節(jié),振幅始終最大波腹.在波節(jié)波腹之間各點作穩(wěn)定的振動，其A有 0 A 2A(1)振幅特點 波節(jié)波腹/2/2 兩相鄰波節(jié)之間的各質(zhì)元振動相位相同，每一波節(jié)兩側(cè)各質(zhì)元的振動相位相反.在駐波中卻沒有能量的定向傳遞. (2) 相位特點 3. 定量計算 振幅因子 諧振因子 (1)駐波是各點振幅不同的簡諧振動的集體波腹振幅取最大值. 波節(jié)振幅為零.波節(jié)處的質(zhì)元靜止不動.相鄰兩波腹間或兩波節(jié)

16、間的距離均為半個波長. (2)相位 相鄰波節(jié)的坐標 代入振幅因子 中得 相鄰波節(jié)間各體元余弦同號，即具有相同的相位. 相鄰波腹的坐標 代入駐波方程中 中得 相鄰兩波腹的相位相反. 4. 駐波的能量 動能與勢能相位相反，沒有能量的定向傳播. 例題已知入射波的表達式 寫反射波的表達式若全反射以b為參考點寫反射波b點的振動 若波從波疏向波密介質(zhì)入射，反射波在b點的振動為：正號表示沿x負方向傳播的波.設弦長l ,其上形成駐波的波長必須滿足: 即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續(xù).這些頻率稱為弦振動的本征頻率，對應的振動方式稱為簡正模式.最低的頻率稱為基頻，其它整倍數(shù)頻率為諧頻.1.兩端固定的弦中的駐波

17、 10.5.4 弦與空氣柱的本征振動 弦線中的駐波波長波頻其中l(wèi)F 系統(tǒng)究竟按那種模式振動，取決于初始 條件,一般是各種簡正模式的疊加.n=1n=2n=32.空氣柱的振動 設管一端封閉，另一端敞開，開端形成波腹，閉端形成波節(jié).固有振動的波長和頻率為ANANANANNANANAAANANN3.二維駐波 板和膜的振動，波在邊界往復的反射形成駐波. 矩形膜上的二維駐波，陰影部分和明亮部分反相，兩者的交線為波節(jié).10.6 多普勒效應多普勒效應由于波源和觀測者的相對運動，造成觀測頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象.是介質(zhì)中某點三量的關系. 關系式 振源、觀測者的相對運動狀態(tài),直接影響觀測者探測到的頻率. 觀察者觀

18、測到的波速 v 與觀測到的波長 之比稱為觀測頻率波源和觀察者相對于介質(zhì)靜止 以介質(zhì)為參考系，并設波源和觀測者的運動都發(fā)生在它們之間的聯(lián)線上.v源波源相對于介質(zhì)的速度,趨近觀察者為正; v觀 觀察者相對介質(zhì)的速度,趨近波源為正; v介質(zhì)中的波速 波源發(fā)射頻率.10.6.1 波源靜止而觀察者運動 即 v源= 0, v觀 0 觀察者迎向波源，相對觀察者波的速率 v+v觀 ，單位時間通過觀察者的完整波長數(shù)（頻率）為頻率升高 觀察者離開波源，同理可得觀察者接受到的頻率：頻率降低 動畫演示源迎著觀察者，觀測者測到的頻率為：遠離 10.6.2 觀察者靜止而波源運動 動畫演示觀測者測得頻率為：注意： 對于彈性波，不存在橫向多普勒效應，因此，如果波源和觀測者的運動不是沿它們的聯(lián)線方向（縱向），以上各式中的v源和v觀應當理解為波源和觀測者的速度的縱向分量.相向 遠離 10.6.3 觀察者和波源在同一直線上運動 動畫演示 分別用1和2 表示波源速度和觀察者速度與波源與觀察者連線的夾角，有超聲多普勒效應測血流速利用聲波的多普勒效應可以測定流體的流速，振動體的振動和潛艇的速度，還可以用來報警和監(jiān)測車速。在醫(yī)學上，利用超聲波的多勒效應對心臟跳動情況