線性代數(shù)課件：1-3 行列式的性質(zhì)

1、第一章 行列式 1.1 二、三階行列式 1.2 n 階行列式的定義 1.3 行列式的性質(zhì) 1.4 行列式的計(jì)算 1.5 Cramer法則1.3 行列式的性質(zhì) 二、 行列式按行列展開(kāi)法則一、 行列式的性質(zhì)三、小結(jié)一、行列式的性質(zhì) 記性質(zhì)1.1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式 DT 稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式. 記注 行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.transpose性質(zhì)1.2 互換行列式的兩行(列), 行列式變號(hào). 推論 如果行列式有兩行(列)完全相同, 則此行列式為零.性質(zhì)1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù) k , 等于用數(shù)

2、 k 乘此行列式.行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面推論1 如果行列式中某一行(列)元素全為零, 則此行列式為零推論2 如果行列式的某兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例, 則此行列式為零.性質(zhì)1.4 若行列式的某列(行)的元素都是兩數(shù)之和:則 D 等于下列兩個(gè)行列式之和: 性質(zhì)1.5 將行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式不變計(jì)算行列式時(shí), 使用下面的記號(hào). 表示交換第 i 行與第 j 行; 表示第 i 行乘以數(shù) k; 表示第 j 行乘以非零數(shù) k 加到第 i 行. 類似地, 表示交換第 i 列與第 j 列; 表示第 i 列乘以

3、數(shù) k; 表示第 j 列乘以非零數(shù) k 加到第 i 列. rowcolumn例1.6 計(jì)算行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算 ri krj 把行列式化為上三角形行列式, 從而算得行列式的值解任何行列式總可以利用運(yùn)算 ri krj 把行列式化為上三角形行列式或下三角行列式任何行列式總可以利用運(yùn)算 ci kcj 把行列式化為上三角形行列式或下三角行列式例1.7 已知 abcd =1, 證明說(shuō)明三階行列式展開(kāi)法則 二、行列式按行列展開(kāi)法則 在 det aij 中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去后, 留下來(lái)的 n 1 階行列式叫做 aij 的余子式, 記作 Mij .Aij (1)

4、i j Mij 叫做 aij 的代數(shù)余子式.每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式定義1.2 在 n 階行列式 D 中, 任取 k 行 i1, i2 , , ik 與k 列 j1, j2 , , jk , k n, 將這些行與列交叉處的元素按原來(lái)相對(duì)位置構(gòu)成的 k 階行列式, 稱為 D 的一個(gè) k 階子式, 記為 N . 劃去這些行和列后所剩下的元素依原次序構(gòu)成的一個(gè) n k 階子式, 稱為 N 的余子式, 記為 M .稱為 N 的代數(shù)余子式.例如, 二階子式 M 的代數(shù)余子式考慮 det aij 的元素 a1k 的余子式和代數(shù)余子式.1, 2, , k 1, k 1, , n 的 n 1

5、 排列考慮 det aij 的元素 a1k 的余子式和代數(shù)余子式.上面兩式對(duì)一切 k 1, 2, , n 都成立.通過(guò)整理 det aij 的 n! 項(xiàng)得到性質(zhì)1.6 行列式等于它的任一行(列)的元素與其代數(shù)余子式乘積的和, 即行列式按行(列)展開(kāi)法則行列式按第一行展開(kāi)法則推論 行列式 det aij 的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為 0, 即為了方便起見(jiàn), 引入 Kronecker 符號(hào)則推論可以寫(xiě)成 例1.8 計(jì)算行列式降階法例1.9 設(shè)求例1.10 設(shè)證明定理1.2 (Laplace) 在 n 階行列式 D 中, 任取 k 行(列), 由這 k 行(列)所組成的一切 k 階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式 D. 例如, 取定 1, 3, 4 行后, D 可以表示為 個(gè)乘積的和. 例1.11 設(shè)證明 D D1D2 .三、小結(jié)1.