2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列章末素養(yǎng)提升課件新人教A版選擇性必修第二冊

1、第四章數(shù)列章末素養(yǎng)提升體系構(gòu)建核心歸納數(shù)列等差數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示判定方法(1)定義法：對于數(shù)列an，若an1and(常數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)：對于數(shù)列an，若2an1anan2，則數(shù)列an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公差是d，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d思想方法專題一方程思想數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列和處理數(shù)列問題，既有利于理解和掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，又有利于解決問題等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式中

2、的五個(gè)量中，已知其中任意三個(gè)，通過解方程可求其余兩個(gè) 設(shè)遞增等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a31，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【分析】(1)由已知條件列方程組求出an的公差，再結(jié)合a31，由此能求出an.(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地利用方程思想【答案】C專題二分類討論思想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)注意問題的層次性，即考慮到問題的方方面面，在討論時(shí)應(yīng)考慮全面，做到不重不漏，這是歷年高考的重點(diǎn)【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，根據(jù)條件列方

3、程，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)an.運(yùn)用n1時(shí)，b1T1，n1時(shí)，bnTnTn1，求出bn.(2)寫出cn，然后運(yùn)用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應(yīng)用求和公式化簡即可【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的運(yùn)用，第(1)問求bn時(shí)分n1和n2討論；第(2)問求cn的前n項(xiàng)和時(shí)分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論解：(1)anan13n1，兩邊取以3為底的對數(shù)得log3anlog3an1(n1)，log3anlog3an1n1，log3a2log3a11，log3a3log3a22，log3anlog3an1n1，以上各式相加得專題三轉(zhuǎn)化與化歸思想【分析】(1)利用已知條件

4、及等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列an的公差，由此即可得an的通項(xiàng)公式利用bnSnSn1求bn的通項(xiàng)公式，注意分n1和n2兩種情況討論；(2)先求cn的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和【點(diǎn)評】在數(shù)列求和時(shí)，若題目考查的是非等差(等比)數(shù)列，無法使用公式法求和時(shí)，就需要利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，用分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等方法來求和素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)列基本量中的學(xué)科素養(yǎng)在解決數(shù)列問題中，常常涉及基本量的運(yùn)算，需要確定運(yùn)算對象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向，能夠用程序化的思想理解與表達(dá)問題，采取不同的運(yùn)算方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)(一)等差數(shù)列中的運(yùn)算素養(yǎng)例1 已知等差數(shù)列an的前9項(xiàng)和為27，a10

5、8，則a100()A100B99C98D97【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解【點(diǎn)評】本題考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵例2 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a111，a5a64，則Sn取得最小值時(shí)n的值為()A6B7C8D9【答案】A【分析】求出Sn的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式是二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解【點(diǎn)評】本題綜合考查了等差數(shù)列與二次函數(shù)，借助二次函數(shù)求解最值問題(二)等比數(shù)列中的運(yùn)算素養(yǎng)例3 已知等比數(shù)列an的公比大于1，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S37，且a13，3a2，a34構(gòu)成等差

6、數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式由題意得q1，q2，a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n1.【分析】先列方程組求出an的公比，再用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【點(diǎn)評】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題，要找準(zhǔn)某結(jié)合點(diǎn)，弄清哪些是等差數(shù)列中的量，哪些是等比數(shù)列中的量，注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)公式素養(yǎng)二數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象是最核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是形成理性的重要基礎(chǔ)；邏輯推理是要得到數(shù)學(xué)結(jié)論，提出或者驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的思維過程數(shù)學(xué)研究對象的確立依賴于數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)內(nèi)部自身的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)推理，數(shù)列中的觀察、歸納得到結(jié)論是典型的邏輯推理例4 (2021年綿陽期中)已知等差數(shù)列1，3，5，7，9，11，按如下

7、方法分組：(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，則第n組中各數(shù)之和為_【答案】n3【分析】先由題設(shè)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)分組的規(guī)律求出第n組中各數(shù)之和【點(diǎn)評】解題的關(guān)鍵是看清題目中所給的數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，注意運(yùn)算過程不要出錯(cuò)【分析】(1)直接由已知等式歸納得結(jié)論；(2)驗(yàn)證n1時(shí)結(jié)論成立；歸納假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)證明nk1時(shí)結(jié)論成立，最后下結(jié)論【點(diǎn)評】歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫素

8、養(yǎng)三數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的過程包括：提出問題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型能夠在熟悉的實(shí)際情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問題；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問題；能夠理解數(shù)學(xué)建模的意義和作用例6 (2021年恩施期中)某工廠2019年初有資金1000萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%，但每年年底要扣除x(x200)萬元用于獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀職工，剩余資金投入再生產(chǎn)(1)以第2019年為第一年，設(shè)第n年初有資金an萬元，用an和x表示an1，并證明數(shù)列an5x為等比數(shù)列；(2)為實(shí)現(xiàn)2029年初資金翻兩番的目標(biāo)，求x的最大值(

9、精確到萬元)(參考數(shù)據(jù)：1.295.160，1.2106.192，1.2117.430)【分析】(1)根據(jù)題意可以得出an與an1的關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列an5x，用等比數(shù)列的定義證明；(2)2029年初資金翻兩番，表示的也就是經(jīng)過11年資金達(dá)到4000萬，即a114000.例7 返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生一直是人們比較關(guān)注的對象，他們從大學(xué)畢業(yè)，沒有選擇經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的大城市，而是回到自己的家鄉(xiāng)，為養(yǎng)育自己的家鄉(xiāng)貢獻(xiàn)自己的力量，在享有“國際花園城市”稱號(hào)的溫江幸福田園，就有一個(gè)由大學(xué)畢業(yè)生創(chuàng)辦的農(nóng)家院“小時(shí)代”，其獨(dú)特的裝修風(fēng)格和經(jīng)營模式，引來無數(shù)人的關(guān)注，帶來紅紅火火的現(xiàn)狀，給青年大學(xué)生們在就業(yè)創(chuàng)業(yè)上很多新的啟

10、示在接受采訪中，該農(nóng)家院老板談起以下情況：初期投入為72萬元，經(jīng)營后每年的總收入為50萬元，第n年需要付出房屋維護(hù)和工人工資等費(fèi)用是首項(xiàng)為12，公差為4的等差數(shù)列an(單位：萬元)【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入可求an；(2)根據(jù)條件求第n年總盈利的表達(dá)式，利用二次函數(shù)知識(shí)求解最值；(3)根據(jù)條件求年平均獲利表達(dá)式，用基本不等式求最值鏈接高考例1.(2020年新課標(biāo))設(shè)an是等比數(shù)列，且a1a2a31，a2a3a42，則a6a7a8()A12B24C30D32【答案】D【解析】an是等比數(shù)列，且a1a2a31，則a2a3a4q(a1a2a3)2，解得q2，所以a6a7a8q5(a1

11、a2a3)25132.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題數(shù)列基本量的計(jì)算【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，再根據(jù)求和公式即可求出【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題例4.(2020年新課標(biāo))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a12，a2a62，則S10_【答案】25【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)的性質(zhì)及求和公式即可直接求解【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，屬于基礎(chǔ)題例5.(2021年高考甲卷)記Sn為等比數(shù)

12、列an的前n項(xiàng)和若S24，S46，則S6()A7B8C9D10【答案】A【解析】Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，S24，S4S2642，S6S41，S61S4167.數(shù)列的綜合問題【分析】根據(jù)題目條件可得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，從而求出S6S41，進(jìn)一步求出答案【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列及其性質(zhì)的綜合，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題例6.(2020年新課標(biāo))北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，

13、向外每環(huán)依次也增加9塊已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A3699塊B3474塊C3402塊D3339塊【答案】C【分析】由題意可得從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差d9，a19，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出n9，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式即可求出【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題例7.(2020年海南)將數(shù)列2n1與3n2的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列an，則an的前n項(xiàng)和為_【答案】3n22n【分析】首先判斷an是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，再利用求和公式，得出結(jié)論【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用及求和公式，屬于基礎(chǔ)題數(shù)列求和解：(1)由題設(shè)可得b1a2a112，b2a4a31a2215，又因?yàn)閍2k2a2k11，a2k1a2k2(kN*)，【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得bn1bn3，從而可求bn的通項(xiàng)；(2)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得an的前20項(xiàng)和為S20可化為S202(b1b