微積分課件：D10-3三重積分

1、第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算三重積分 第十章 一、三重積分的概念 類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為定義. 設(shè)存在,稱為體積元素, 若對(duì) V 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在V上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì): 例如 下列“乘(1)中值定理.在有界閉域 V上連續(xù),則存在使得v為V 的體積, 積和式” 極限記作(3)有界閉域V上的 連續(xù)函數(shù)可積，有界閉域上的 分段連續(xù)有界函數(shù)必可積若積分區(qū)

2、域V關(guān)于坐標(biāo)面xoy對(duì)稱，則類似有V關(guān)于xoz,yoz面對(duì)稱的 結(jié)論若積分區(qū)域V關(guān)于直線x=y=z對(duì)稱，則二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分（逐次積分）方法1 . 坐標(biāo)面投影法 (“先一后二”)方法2 . 坐標(biāo)軸投影法或截面法 (“先二后一”) 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:方法1. 坐標(biāo)面投影法 (“先一后二” ) 該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線密度記作設(shè)空間閉區(qū)域V為一個(gè)有界閉區(qū)域,函數(shù)f(x,y,z)為V上的連續(xù)函數(shù),區(qū)域V在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈,投影柱面將V的

3、邊界分為上下兩個(gè)曲面V稱為XY型區(qū)域說(shuō)明:(1)應(yīng)用此公式時(shí),首先應(yīng)判斷V是否為XY型區(qū)域(3)若V不屬于上述類,則適當(dāng)將V分劃為若干個(gè)子區(qū)域,使得在每個(gè)子區(qū)域上可應(yīng)用公式或類似公式其中 為三個(gè)坐標(biāo)例1. 計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面例3: 寫出下面積分的三次積分圖不易畫出的話，可畫出它的投影區(qū)域不繪制空間圖形如何根據(jù)先一后二的方法確定三重積分的積分限方法：求兩曲線的交線，交線在坐標(biāo)面XOY上的投影即為D的邊界的曲線方法2. 坐標(biāo)軸投影法或截面法 (“先二后一”)記作說(shuō)明：平行截面體的體積公式例6. 計(jì)算三重積分解: 用“先二后一 ” 例7. 求三重積分例8. 求三重積分XYZ利

4、用輪換對(duì)稱性其中 為三個(gè)坐標(biāo)例9. 計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.其中為由例1. 計(jì)算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.例2. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =例3. 計(jì)算三重積分例4. 計(jì)算三重積分例5. 計(jì)算三重積分3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球

5、面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.例6. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面例7. 計(jì)算三重積分其中 例7.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* 說(shuō)明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成 ;1. 將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,2. 設(shè)計(jì)算提示: 利用對(duì)稱性原式 = 奇函數(shù)3. 設(shè)由錐面和球面所圍成 , 計(jì)算提示:利用