微積分課件第一章

1、微積分A第一章 函數(shù)與極限教學(xué)內(nèi)容和基本要求： 理解函數(shù)概念、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念，掌握基本函數(shù)的性質(zhì)和圖形，會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 理解極限的概念、性質(zhì)，掌握極限四則運(yùn)算法則，了解兩個(gè)極限存在的準(zhǔn)則會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限；了解無窮小、無窮大及無窮小的階的概念，并會(huì)用無窮小求極限。 理解函數(shù)的連續(xù)性的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)類型；了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解極限的概念的幾何意義會(huì)利用極限定義證明極限存在理解函數(shù)極限的概念學(xué) 習(xí) 重 點(diǎn)第三節(jié) 函數(shù)的極限 掌握左右極限的概念通過對(duì)數(shù)列極限問題的研究，我們已

2、經(jīng)看到極限是一種思想方法，是從認(rèn)識(shí)有限到把握無限的一個(gè)過程，對(duì)于特殊的函數(shù)，我們已經(jīng)了它們當(dāng)n趨于無窮時(shí)的各個(gè)不同趨向?qū)τ谝粋€(gè)函數(shù)，在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過程中的極限。各種函數(shù)極限的直觀實(shí)例 如果當(dāng) x 無限地接近于 x0 時(shí) 函數(shù) f (x) 的值無限地接近于常數(shù) A 則常數(shù) A 就叫做函數(shù) f (x)當(dāng) xx0時(shí)的極限 記作 函數(shù)極限的的通俗定義一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限分析 當(dāng) xx0 時(shí) f (x) A 當(dāng)| x - x0 |0 時(shí) | f(x) A | 0 當(dāng) | x - x0 |小于某一正數(shù)

3、 d 后 |f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e 任給e 0 存在d 0 使當(dāng)|x-x0|d 時(shí) 有| f(x)-A|e 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義 函數(shù)極限的精確定義函數(shù)極限的幾何意義證：關(guān)于函數(shù)極限的例題例1 0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時(shí), 有 | f (x) a |0極限的局部保號(hào)性定理 推論: 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi) f(x) 0 (f(x)0) 而且 則 如果 存在，那么極限必是唯一的極限存在的唯一性定理極限存在的局部有界性定理 如果 ,那么必存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)在點(diǎn)x0（可以不包括x0）的某一領(lǐng)域內(nèi)總有 |f(x)|M 唯一性和有界性證明與數(shù)列類似,

4、請(qǐng)同學(xué)們自己證定義定理此定理常用來討論函數(shù)在某點(diǎn)的極限不存在!函數(shù)的左、右極限左極限yxo1-1 考慮符號(hào)函數(shù)求 因?yàn)?所以 不存在。 右極限解： 例3f (x) = x ,當(dāng)x0時(shí),sinx,當(dāng)x0時(shí),由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) =x.由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) = sinx.解：f (x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn). 對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來說，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.例4-11y=x+1y=x-1 判斷函數(shù)當(dāng)x0時(shí)的極限是否存在練習(xí)3解答: 因?yàn)樗?極限不存在左、右極限存在, 但不相等,解：f (x) = x ,當(dāng)x0時(shí),cos x,當(dāng)x0時(shí),練習(xí)4xyx0+x0yy 類似地可定義 設(shè) f (x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e 存在著正數(shù) X 使得當(dāng)|x|X 時(shí) 不等式： | f (x) -A| 0 ”.但是, 數(shù)列極限中n是離散變化的, 而這里x是連續(xù)變化的.極限 的定義的幾何意義 當(dāng)x時(shí), 函數(shù) f (x) 以A為極限的幾何意義: 對(duì)于任意給定的正數(shù)e 存在著正數(shù)X 當(dāng)x X 時(shí), f (x)落在(A- e，A+ e)這條帶子里A-eA+eX-Xy=f(x) A 例5證：1，自