心理和教育統(tǒng)計 第四章 差異量數(shù)20170908課件

1、第四章 差異量數(shù)measures of variation湖北醫(yī)藥學(xué)院第四章差異量數(shù)A、概念：表示一組數(shù)據(jù)的差異情況或離散程度的量數(shù),反映數(shù)據(jù)分布的離中趨勢。描述事物差異性的表現(xiàn)。 差異量越小，平均數(shù)的代表性越好。 差異量越大，平均數(shù)的代表性則差。B、種類： 絕對差異量，包括：全距、百分位差、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差。 相對差異量，常見的有差異系數(shù)。內(nèi)容第一節(jié) 全距與百分位數(shù)第二節(jié) 平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用第四節(jié) 差異量數(shù)的選用理解差異量數(shù)的含義認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)、作用掌握標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法熟悉運用各種差異量數(shù)描述一組數(shù)據(jù)的特征及若干組數(shù)據(jù)的比較掌握標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)及其運用對全距的評

2、價 優(yōu)點：簡單、容易理解、計算簡單的差異量數(shù)。缺點：粗糙和不可靠，不穩(wěn)定、不靈敏，明顯受到抽樣的影響。是一種低效的差異量數(shù)。應(yīng)用：用于對數(shù)據(jù)作預(yù)備性檢查，了解數(shù)據(jù)的大概范圍，以便如何進行統(tǒng)計分組。P70表示70%的位數(shù)，它代表在按照從小到大順序排列的一組數(shù)據(jù)中的一個可能數(shù)值，小于這個數(shù)值的數(shù)據(jù)個數(shù)占70%，大于這個數(shù)值的數(shù)據(jù)占30%。如:當(dāng)P70=110，則表示在所有的數(shù)據(jù)中，有70%的數(shù)據(jù)小于110，而有30%的數(shù)據(jù)大于110。分組數(shù)據(jù)，百分位數(shù)的計算公式式中: b 為某一百分位數(shù)所在組的精確下限 Fb 為百分位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)f 為某一百分位數(shù)所在組的頻數(shù)n 為數(shù)據(jù)總的次數(shù) i

3、為組距Fb.I , fLbX11步驟如果得到了向上累加頻數(shù)分布表，求百分位數(shù)的步驟如下：1 找到P百分位數(shù)所對應(yīng)的名次，即n*P%2 從累加頻數(shù)中找到該名次所在的分組，及該組的頻數(shù)f和組距i。3 找到該分組區(qū)間的精確下限值b和該組以下的累加頻數(shù)Fb4 將上面的數(shù)據(jù)代入公式中即可計算出P值。百分位差百分位差是指兩個百分位數(shù)之差,也叫百分位距。常用的百分位距有兩種： P90P10和 P93P7。用幾個百分位距能較好地反映一組數(shù)據(jù)的差異程度。但有一定的局限，只作為主要差異量數(shù)的輔助量數(shù)百位數(shù)的應(yīng)用某招干考試分?jǐn)?shù)如表，預(yù)定取考分居前10%的應(yīng)考人員進行面試選拔，請劃定面試分?jǐn)?shù)線用累加次數(shù)分布曲線圖求百

4、分位數(shù)是一種粗略的計算方法百分等級分?jǐn)?shù)百分等級分?jǐn)?shù)與百分位數(shù)相反，它是事先知道分布中的一個原始分?jǐn)?shù)，再求這個原始分?jǐn)?shù)在分布中所處的相對位置百分等級。百分等級分?jǐn)?shù)指出原始數(shù)據(jù)在常模團體中的相對位置，百分等級越小，原始數(shù)據(jù)在分布中相對位置越低；百分等級越大，原始數(shù)據(jù)在分布中相對位置越高百分等級分?jǐn)?shù)的計算公式式中:b 為某特定原始變量所在組的下限Fb 小于Lb的累積頻數(shù)f 為某特定原始變量所在組的頻數(shù)N 為數(shù)據(jù)總的次數(shù)i 為組距百分等級分?jǐn)?shù)的應(yīng)用例2 所列的考試分?jǐn)?shù)分布中，已知某應(yīng)試者的考分為82分，問在這次考試中低于該應(yīng)試者的人數(shù)比例由一個原始分?jǐn)?shù)求低于它的分?jǐn)?shù)比例，是一個求百分等級的問題，利用公

5、式：82分的百分等級96.28，即有96.28%的應(yīng)試者考分低于82分四分位距（差）四分位差，是百分位差的一種，四分位距是第一個四分位數(shù)與第三個四分位數(shù)之差的一半,即在一個次數(shù)分布中，中間50%的次數(shù)的距離的一半。 用四分位數(shù)間距可反映數(shù)據(jù)變異程度的大小.計算公式為： （公式4-4）四分位差的計算，基于P25、P75兩個百分位數(shù)，這兩個點值和中數(shù)一起把一組數(shù)據(jù)的次數(shù)等分為四部分。四分位數(shù)通常與中數(shù)聯(lián)系起來共同應(yīng)用，中數(shù)可以看作是第二四分位點。對于未分組數(shù)據(jù)求四分位差，Q1、Q3可依照未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法求得在分組數(shù)據(jù)中LQ：表示Q所在組的下限N：表示總頻數(shù)fb:表示小于Q所在組下限的頻數(shù)總和

6、i:表示組距用中位數(shù)作集中量時，常用四分位距作差異量。2 四分位數(shù)Q1、Q2、Q3之間的關(guān)系Q1 Q2 Q3Q1 Q2 Q325% 25% 25% 25%25% 25%Q=Q3-Q2=Q2-Q1=（Q3-Q1）/2四分位差特點優(yōu)點：1 常與中數(shù)聯(lián)系起來共同應(yīng)用。2 對數(shù)據(jù)的離散程度的描述比全距好缺點：1 穩(wěn)定性差2 反映不靈敏3 不能進行代數(shù)運算第二節(jié)、平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、動差體系動差（moment）是物理學(xué)上測量力的旋轉(zhuǎn)趨勢的名稱，旋轉(zhuǎn)趨勢的大小隨力點與原點距離大小而變化，其大小是力與該距離的乘積。統(tǒng)計學(xué)借用力學(xué)上的動差概念來表示次數(shù)分布的離散情況。把各組次數(shù)當(dāng)作力學(xué)上的力，用數(shù)值或組中

7、值與原點之差作為距離來計算動差。以平均數(shù)為原點的動差叫做中心動差，常見的中心動差：28常見的中心動差：一級動差二級動差三級動差四級動差因其總和等于0，故不能用來表示離散程度，一般采用平均差方差，最廣泛的一種差異量數(shù)指標(biāo)，用來表示一個分布中離中趨勢的指標(biāo)，其平方根是標(biāo)準(zhǔn)差用來表示一個分布中偏斜度或偏態(tài)性的指標(biāo)用來表示一個分布中峰態(tài)性的指標(biāo)29二、平均差 平均差（average deviation 或者 mean deviation）是指一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)離差的絕對值的算術(shù)平均數(shù)，通常用AD或MD表示。301 原始數(shù)據(jù)計算公式2 次數(shù)分布表計算公式（公式4-5）（公式4-6）

8、xi為離均差313 評價優(yōu)點：1 平均差意義明確，計算容易，反應(yīng)靈敏。2 較好地反映了次數(shù)分布的離散程度。缺點：1 平均差計算時要用絕對值，不適合代數(shù)運算，因此在進一步統(tǒng)計分析中應(yīng)用較少。2 屬于一種低效差異量數(shù)。324 應(yīng)用例子4-2： 有5名被試的錯覺實驗數(shù)據(jù)如下，求其平均差 解：已知n=5,M=18.6被試12345錯覺量161820221733三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差（variance）又稱為變異數(shù)、均方。是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計指標(biāo)。一般樣本的方差用 表示，總體的方差用 表示。標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）是方差的算術(shù)平方根。一般樣本的標(biāo)準(zhǔn)差用 S 表示，總體的標(biāo)準(zhǔn)差

9、用 表示。標(biāo)準(zhǔn)差和方差是描述數(shù)據(jù)離散程度最常用的差異量。341、離差平方和 把每一個原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方加起來，就得到離均差的平方和，也叫和方、均方和：35對原始數(shù)據(jù)公式的推算361.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義（公式4-7）（公式4-8）方差是每個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差平方后的均值，即離均差平方后的平均數(shù)。方差的平方根是標(biāo)準(zhǔn)差372方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式方差的原始數(shù)據(jù)計算公式（公式4-9）其中： 是原始數(shù)據(jù)的平方和 是原始數(shù)據(jù)總和的平方 N 為數(shù)據(jù)個數(shù)38標(biāo)準(zhǔn)差的原始數(shù)據(jù)公式（公式4-10）公式（4-7）、（4-8）等價于（4-9）、（4-10），當(dāng)兩個公式計算結(jié)果有出入時，應(yīng)以原始數(shù)據(jù)計算公

10、式的結(jié)果更準(zhǔn)確。39例子：計算6，5，7，4，6，8這一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差用公式（4-7）、（4-8）求：1 求樣本平均數(shù)： =62 求離均差的平方和： =103 代入公式（4-7）、（4-8）求方差=1.67標(biāo)準(zhǔn)差=1.2940例子：計算6，5，7，4，6，8這一組數(shù)據(jù)的訪查和標(biāo)準(zhǔn)差用公式（4-9）、（4-10）求：1 求原始數(shù)據(jù)的平方和： 2 求離均差的平方和： 3 代入公式（4-9）、（4-10）求 S=1.2941次數(shù)分布表計算公式（公式4-11）（公式4-12）42表4-2 52名學(xué)生數(shù)學(xué)成績方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算表成績組中值Xc頻數(shù)ff*Xcf*XC2計 算9597.521951901

11、2.59092.5218517112.58587.53262.522968.758082.55412.534031.257577.58620480507072.511797.557818.756567.59607.541006.256062.55312.519531.255557.54230132255052.521055512.54547.5147.52256.25合計523775280525433總標(biāo)準(zhǔn)差的合成 方差具有可加性的特點。當(dāng)已知幾個小組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差時，可以計算幾個小組聯(lián)合在一起的總的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。需要注意的是，只有在應(yīng)用同一種觀測手段，測量的是同一種特質(zhì)，只是樣本不同的數(shù)

12、據(jù)時，才能計算合成方差或標(biāo)準(zhǔn)差。44計算公式公式中: 為總方差, 為總標(biāo)準(zhǔn)差 Si為各小組標(biāo)準(zhǔn)差 ni為各小組數(shù)據(jù)個數(shù) （公式4-13）（公式4-14）參考P9045例子4-4計算過程：1 計算總數(shù)據(jù)個數(shù)和總平均數(shù)2 計算3 把上面數(shù)據(jù)代入公式4-13和4-14求得464方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)方差是對一組數(shù)據(jù)中各種變異的總和的測量,具有可加性和可分解性特點。統(tǒng)計實踐中常利用方差的可加性和可分解性來確定不同來源的變異性，進一步說明各種變異對總結(jié)果的影響（在方差分析中應(yīng)用）47標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)方差的算術(shù)平方根，它不可以進行代數(shù)計算，但有以下特性：（1）每一個觀測值都加上一個相同常數(shù)c之后，計算得到的標(biāo)

13、準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差如果則即一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上一個相同的常數(shù)，則這組數(shù)據(jù)彼此的離散程度不改變 48（2）每一個觀測值都乘以一個相同常數(shù)c之后，計算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個常數(shù)（3）以上兩點相結(jié)合，每一個觀測值都乘以一個相同常數(shù)C之后再加一個常數(shù)d，所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個常數(shù)c如果則如果則495方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是統(tǒng)計分析中最常用的差異量。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說明次數(shù)分布的離散程度越大，該組數(shù)據(jù)越分散；反之，說明次數(shù)分布的數(shù)據(jù)比較集中，離散程度越小。50標(biāo)準(zhǔn)差具備一個良好的差異量應(yīng)具備的條件反應(yīng)靈敏計算公式嚴(yán)密確定，容易計算，簡

14、明易懂適合代數(shù)運算受抽樣變動影響小等等。應(yīng)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差表示一組數(shù)據(jù)的離散程度，須注意必須是同一類數(shù)據(jù)（即同一種測量工具的測量結(jié)果），而且被比較樣本的水平比較接近。51切比雪夫定理對于任何一個數(shù)據(jù)集合，至少有1-1/h2的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)的h（h為大于1的實數(shù)）個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。例子：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)差為5，則至少有1-1/22=75%的數(shù)據(jù)落在502*5=40-60之間；至少有1-1/32=88.9%的數(shù)據(jù)羅在503*5=35-65之間。52第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用在心理與教育統(tǒng)計中，在一些情況下不能用絕對差異量來比較不同樣本的離散程度，此時用相對差異量數(shù)。 以下是兩種不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差的情

15、況：53（1）兩個或兩個以上樣本所使用的觀測工具不同，所測的特質(zhì)不同，此時標(biāo)準(zhǔn)差單位不同，不能直接比較；比如：身高和體重的數(shù)據(jù)，兩者的標(biāo)準(zhǔn)差不能直接比較54（2）兩個或兩個以上樣本使用的同一種測量工具，所測特質(zhì)相同，但樣本間水平相差較大，標(biāo)準(zhǔn)差會隨平均數(shù)增大而增大，因此不能直接比較。比如：小學(xué)二年級與大學(xué)一年級學(xué)生的智力數(shù)據(jù)，不能直接比較。55一、差異系數(shù)的概念及計算公式1 差異系數(shù)（coefficient of variation）也叫變異系數(shù)、相對標(biāo)準(zhǔn)差，是指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比，它是沒有單位的相對數(shù)。常以CV表示,其計算公式為 （公式4-15）562.差異系數(shù)的作用1 同一團體不

16、同單位資料的差異程度比較2 比較單位相同而平均數(shù)相差較大的兩組資料的差異程度3 可判斷特殊差異情況 根據(jù)經(jīng)驗，一般CV值常在535之間。如果CV大于35時，可懷疑所求得的平均數(shù)是否失去了意義；如果CV小于5時，可懷疑平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是否計算有誤。 57例1:比較計量單位不同的數(shù)據(jù)資料的差異程度1975年上海市區(qū)6歲男童體重與身高數(shù)據(jù)：平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差差異系數(shù)體重19.39千克2.16千克11.14%身高115.87厘米4.86厘米4.19%與教材例4-5同類型3.差異系數(shù)的應(yīng)用 58例2:比較單位相同而平均數(shù)相關(guān)較大的兩組資料的差異程度。 1975年上海市區(qū)兩組女童體重的數(shù)據(jù)： 平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差差異系數(shù)

17、2個月組5.45千克0.62千克11.38%6歲組19.02千克2.12千克11.15%與教材例4-6同類型594.差異系數(shù)的應(yīng)用條件差異系數(shù)主要應(yīng)用于平均數(shù)不等于零的連續(xù)數(shù)據(jù)。學(xué)科成績可以勉強計算差異系數(shù)。604 應(yīng)用差異系數(shù)應(yīng)注意第一，測量的數(shù)據(jù)要保證具有等距尺度，這時計算的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差才有意義，應(yīng)用差異系數(shù)進行比較也才有意義。第二，觀測工具應(yīng)具有絕對零，這時應(yīng)用差異系數(shù)去比較分散程度效果才更好。第三，差異系數(shù)只能用于一般的相對差異量的描述。61二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standard score），又稱為基分?jǐn)?shù)或分?jǐn)?shù)（Zscore），是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個原始分?jǐn)?shù)在團體中所處位置的相對

18、位置量數(shù)。62例假設(shè)你在一次統(tǒng)計考試中得到 x76分。你做得怎樣？顯然，為了預(yù)測你的成績優(yōu)良中差，你需要更多的信息。你的 x76分可能是班里最好的成績，也可能是分布里面最差的。為了找到你的分?jǐn)?shù)的位置,你必須知道關(guān)于分布中其他分?jǐn)?shù)的信息。比如說,知道全班的平均數(shù)是有幫助的。如果平均數(shù)70,那么,你的情況將比平均數(shù)85 時好很多。顯而易見，你在班里的相對位置依賴于平均數(shù)。63但是，僅僅有平均數(shù)還不足以告訴你你的分?jǐn)?shù)的精確位置。假設(shè)你知道本次統(tǒng)計考試的平均數(shù)并70 ，你的分?jǐn)?shù) X=76 。此時，你知道你的分?jǐn)?shù)比平均數(shù)高6分，但是，你仍然不知道其準(zhǔn)確的位置。6分可能是一個很大的分?jǐn)?shù)段，你可能是班里的最

19、高分之一，或者6分可能是一個很小的分?jǐn)?shù)段，你只是比平均數(shù)高一點而已。下圖顯示了考試分?jǐn)?shù)的兩種可能分布。兩種分布的平均數(shù)都是70 ，但是，對于其中一個分布來說，標(biāo)準(zhǔn)差3對于另外一個分布來說=12 。注意，在兩種分布中， x76 的相對位置是顯著不同的。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差3 時，你的分?jǐn)?shù)X = 76在最右邊的尾端，是分布中的最高分?jǐn)?shù)之一，可是在另外一個分布中，當(dāng)12時，你的分?jǐn)?shù)僅僅稍高于平均數(shù)。因此，你的實際分?jǐn)?shù)在分布中的相對位置依賴于平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。6465標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)從分?jǐn)?shù)對平均數(shù)的相對地位、該組分?jǐn)?shù)的離中趨勢(即標(biāo)準(zhǔn)差)兩個方面來表示原始分?jǐn)?shù)的地位。有了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，就可以確定和描述一個分?jǐn)?shù)在分布中的精確位置

20、。 661.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計算公式為（公式4-16） 或（對總體而言） 67分?jǐn)?shù)可以表明原始分?jǐn)?shù)在團體中的相對位置，與（ ）成正比，與S成反比，稱為相對位置量數(shù)。Z分?jǐn)?shù)的符號(+或-)表示這個分?jǐn)?shù)比平均數(shù)高（正）或者比平均數(shù)低(負(fù)).Z分?jǐn)?shù)的數(shù)值用從X到 有幾個標(biāo)準(zhǔn)差指出了其到平均數(shù)的距離(如下圖)。6869練習(xí)1.對于一個=50、=10 的總體，求以下分?jǐn)?shù)的 z 分?jǐn)?shù): a.X=55 b.X=40 c.X=30 2.時于一個=50、=10的總體，求對應(yīng)于以下z分?jǐn)?shù)的X值： a.Z=+1.0 b.Z=-0.5 c.Z=+2.07071把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)，就把單位不等距的和缺乏明確參

21、照點的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成以標(biāo)準(zhǔn)差為單位、以平均數(shù)為參照點的分?jǐn)?shù)。因此Z分?jǐn)?shù)是以0為參照點，以1為標(biāo)準(zhǔn)差的分?jǐn)?shù)。722.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)1）分?jǐn)?shù)無實際單位，是以平均數(shù)為參照點、以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的相對量。2）一組原始分?jǐn)?shù)得到的分?jǐn)?shù)既有正值，也有負(fù)值，所有原始分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)之和為零。根據(jù)平均數(shù)公式和Z分?jǐn)?shù)的公式可以證明： 733）一組原始數(shù)據(jù)中，各個分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為。根據(jù)Z分?jǐn)?shù)的第二條性質(zhì)可以證明。4）若原始數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)，則轉(zhuǎn)換得的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。743.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點 可比性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)以團體的平均數(shù)為基準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，因而具有可比性?？杉有裕簶?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)使不同的原始分?jǐn)?shù)具有相同的參照點，因而具有

22、可加性。明確性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)較原始分?jǐn)?shù)的意義更為明確。穩(wěn)定性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)保證了不同性質(zhì)的分?jǐn)?shù)在總分?jǐn)?shù)中的權(quán)重相同，使分?jǐn)?shù)更合理地反映事實（合理性）。754、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1）用于比較幾個分屬性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低?！纠?已知某班期末考試中語文的平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10；數(shù)學(xué)的平均分70，標(biāo)準(zhǔn)差為15；英語的平均分為85，標(biāo)準(zhǔn)差為12.甲生的語文成績?yōu)?5分，數(shù)學(xué)成績?yōu)?2分，英語成績?yōu)?0分，問該生這三科成績哪一科最好？ 76Z語文=0.5Z數(shù)學(xué)=0.8 Z英語=0.42平均分標(biāo)準(zhǔn)差甲生得分語文801085數(shù)學(xué)701582英語851290772）計算不同質(zhì)的觀測值的總和或

23、平均值，以表示在團體中的相對位置。 當(dāng)研究需要合成不同質(zhì)的數(shù)據(jù)時，如果已知這些不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)，這時可采用分?jǐn)?shù)來計算不同質(zhì)的觀測值的總和或平均值。78【例4-9】A、B兩個學(xué)生在三種考試中的分?jǐn)?shù)見下表，試比較二人的分?jǐn)?shù)是否有差別？考試XsXAXBxAxBZAZB1708709002002.5255457512-40.5-1342545403-20.6-0.479【例4-10】下表是高等學(xué)校入學(xué)考試中兩名考生甲與乙的成績分?jǐn)?shù)。試問根據(jù)考試成績應(yīng)該優(yōu)先哪名考生？考試科目原始成績?nèi)w考生Z分?jǐn)?shù)甲乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差甲乙語文858970101.51.9政治70626551-0.6外語68726

24、98-0.1250.375數(shù)學(xué)53405060.5-1.67理化7287758-0.3751.5求和3483502.51.505803) 表示標(biāo)準(zhǔn)測驗分?jǐn)?shù) 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的心理和教育測驗，常常用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示測驗結(jié)果。如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布，為了克服標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的小數(shù)、負(fù)數(shù)和不易為人們所接受等缺點，常常是將其轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。轉(zhuǎn)換公式為： （公式4-17） 81例如：早期智力測驗中運用智力商數(shù)表示智力測查的指標(biāo)這種表示智力的方法后來被離差智商取代：82Z分?jǐn)?shù)的評價優(yōu)點：應(yīng)用廣泛缺點：1 計算繁雜，有負(fù)值和零值，常帶小數(shù)2 進行比較時需要要求原始數(shù)據(jù)分布形態(tài)相同。3 為了克服這些缺點，在使用

25、過程中常對Z分?jǐn)?shù)進行線性轉(zhuǎn)換，使其服從理論上的正態(tài)分布83三、異常值的取舍 在一個正態(tài)分布中，平均數(shù)上下一定的標(biāo)準(zhǔn)差處，包含有確定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)個數(shù)。1 P68.26%2 P95.45%3 P99.73%數(shù)據(jù)多時，采用加減3個標(biāo)準(zhǔn)差方法84可以看到，在平均數(shù)上下各三個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，分布著全部數(shù)據(jù)的99.73%，反言之，在三個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)不足0.27%，因此常把“三個標(biāo)準(zhǔn)差”做為判斷可疑值取舍的依據(jù)。852 切比雪夫定理：對于任何一個數(shù)據(jù)集合，至少有 1-1/h2 的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)的h（大于1的實數(shù)）個標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)。例子：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)差為5，則至少有1-1/22=75%的數(shù)據(jù)落在

26、502*5=40-60之間；至少有1-1/32=88.9%的數(shù)據(jù)羅在503*5=35-65之間。86當(dāng)數(shù)據(jù)比較少時可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)的一半（全距與標(biāo)準(zhǔn)差比率的一半）乘以標(biāo)準(zhǔn)差，然后求于平均數(shù)的和、差，以這兩個值為界取舍數(shù)據(jù)：N510152020501002004005007001000全距/S2.33.13.53.74.34.55.05.55.96.16.36.5表4-2 全距與標(biāo)準(zhǔn)差的比率隨N變化表87第四節(jié) 差異量數(shù)的選用一、優(yōu)良差異量數(shù)具備的標(biāo)準(zhǔn)二、各種差異量數(shù)優(yōu)缺點比較三、各種差異量數(shù)之間的關(guān)系 四、如何選用差異量數(shù)88一、優(yōu)良差異量數(shù)具備的標(biāo)準(zhǔn)1 差異量數(shù)由客觀數(shù)據(jù)獲得，不是人為的主觀估計決定2 根據(jù)全部觀測值計算而來，不是個別數(shù)據(jù)計算的結(jié)果3 簡明、容易理解，不應(yīng)過于帶有數(shù)學(xué)抽象性質(zhì)4 計算應(yīng)該方便、容易、迅速。5 應(yīng)該少受到抽樣變動的影響，在反復(fù)取樣過程中具有相對恒常性。6 應(yīng)當(dāng)能夠采用代數(shù)方法計算89二、各種差異量數(shù)優(yōu)缺點比較1 標(biāo)準(zhǔn)差比較難以理解，運算較繁瑣，容易受極端值的影響。2 方差的描述作用不大，但由于其具有可加性，是對一組數(shù)據(jù)造成各種變異的總和的測量，通常采用方差的可加性分解并確定屬于不同來源的變異性。3 全距計算簡