2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題39二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)的交匯問題(含解析)3547

1、2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題39二項(xiàng)式定理與其余知識(shí)的交匯問題(含分析)_35472019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題39二項(xiàng)式定理與其余知識(shí)的交匯問題(含分析)_354711/112019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題39二項(xiàng)式定理與其余知識(shí)的交匯問題(含分析)_3547問題39二項(xiàng)式定理與其余知識(shí)的交匯問題一、考情剖析二項(xiàng)式定理是高考高頻考點(diǎn),基本上每年必考,難度中等或中等以下,二項(xiàng)式定理作為一個(gè)工具,也常與其余知識(shí)交匯命題,如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等所以在一些題目中不只是考察二項(xiàng)式定理,還要考察其余知識(shí),其解題的重點(diǎn)點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn),注意它們的聯(lián)系二、經(jīng)驗(yàn)分享

2、二項(xiàng)睜開式形式上的特色項(xiàng)數(shù)為n1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.字母a按降冪擺列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪擺列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從01Cn，Cn，向來到n1nCn，Cn.2.求二項(xiàng)睜開式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)切合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k1，代回通項(xiàng)公式即可整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常有的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注睜開式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注睜開式的前幾項(xiàng)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定

3、理，注意選擇適合的形式三、知識(shí)拓展1.“賦值法”廣泛合用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只要令x1即可；對(duì)形如(axby)n(a，bR)的式子求其睜開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只要令xy1即可2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)睜開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4f1f1，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5f1f1.22四、題型剖析(一)二項(xiàng)式定理與函數(shù)的交匯1【例1】設(shè)函數(shù)f()（xx）6，x0時(shí),ff(x)表達(dá)式的睜開式中常數(shù)項(xiàng)為()則當(dāng)xx，x0，A20B20C15D15【答

4、案】A1【分析】x0時(shí),f(x)x0,故ff(x)f(x)(x6,其睜開式的通項(xiàng)公式為r1x)Trx)6r(1r(1)6rrx)62r,由620,得r33C()C(3,故常數(shù)項(xiàng)為(1)C20.6x6r6【評(píng)論】解決此題的重點(diǎn)是當(dāng)x0時(shí),將ff(x)表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)槎?xiàng)式【小試牛刀】設(shè)f(x)是(x21)6睜開式的中間項(xiàng),若f(x)mx在區(qū)間2,2上恒建立,則實(shí)數(shù)m的2x2取值范圍是（）A（,5）B（,5C（5,）D5,）【答案】D【分析】由題意可知f(x)C63x6135x3,由f(x)5x3mx得m5x2在區(qū)間2,2上恒2x2222建立,所以m5,應(yīng)選D(二)二項(xiàng)式定理與數(shù)列的交匯1n111【例

5、2】將1（n）的睜開式中x4的系數(shù)記為an,則a3a2015x2a2【答案】40282015nr【分析】11（n）的睜開式的通項(xiàng)為Tr1r1rr2r,由題意可知r2,此x2Cnx21Cnx時(shí),2n(n1)122(11anCn2,所以ann(n1),所以n1n1112(11)(11)(11)2(11)a2a3a2015223201420152015n【小試牛刀】設(shè)二項(xiàng)式x2n(N*)睜開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為()n1n1n1D1A23B2(21)C240282015a1a2anan、bn,則b1b2bn【答案】C1naaan【分析】由題意知an2n成等比數(shù)列,令x1則bn122也成等

6、比數(shù)列,所以bbb2n1,應(yīng)選C.n12(三)二項(xiàng)式定理與不等式的交匯xy20【例3】若變量x,y知足拘束條件xy20,n2xy2,則n取最大值時(shí),12xx20 xn二項(xiàng)睜開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】240【分析】畫出不等式組表示平面地區(qū)如圖,由圖象可知當(dāng)動(dòng)直線y2xn2經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)時(shí),n2xy2取最大值6.當(dāng)n6時(shí),故由二項(xiàng)式睜開式的通項(xiàng)公式C6r(2x)6r(1)r6r6rTr126rC6rx2r0可得r2,所以睜開式中的常數(shù)項(xiàng)是,由題設(shè)rx224C62240,故應(yīng)填答案240.y=-2x+n+2x=2x+y-2=0yA(2,4)xOx-y+2=0【小試牛刀】已知的睜開式中與的項(xiàng)的系數(shù)

7、之比為，則的最小值為（）ABCD【答案】C【分析】在二項(xiàng)式的睜開式中項(xiàng)的系數(shù)是，在二項(xiàng)式的睜開式中項(xiàng)的系數(shù)是。由題設(shè)可得，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），應(yīng)選答案C。(四)二項(xiàng)式定理與定積分的交匯【例4】【2017屆福建福州外國(guó)語學(xué)校高三理適應(yīng)性考試三】已知(x1)6睜開式的常數(shù)項(xiàng)是540,則由曲ax線yx2和yx圍成的關(guān)閉圖形的面積為【答案】5121)6r(1)r(1)rCr6x62r【分析】二項(xiàng)式(x睜開式的通項(xiàng)Tr1C6rx6,令62r0,r3,所以有axaxa(1)3C63540,求出a11yx2(0,0),(1,1),所以由曲線yx2和,所以yxx3,聯(lián)立1,交點(diǎn)坐標(biāo)為a3yx3yx圍成

8、的關(guān)閉圖形的面積S11234131315(x3x)dx(x33x)43.04012【小試牛刀】【山東省德州市2019屆高三模擬】在的睜開式中，項(xiàng)的系數(shù)等于264，則等于ABCD【答案】B【分析】（a）12的睜開式的通項(xiàng)為由，得r10，解得a2（舍）或a2（2）dx（lnx+x2）ln2+4ln11ln2+3x應(yīng)選：B(五)二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的交匯【例5】12016a0a1x2a2x2a2015x2015a2016x220162x22xR,則a12a23a34a42015a20152016a2016（）A1008B2016C4032D0【答案】C【分析】設(shè)函數(shù)f(x)(12x)2016,求導(dǎo)得:f

9、(x)2016(12x)2015(2)4032(12x)2015又f(x)a0a1(x2)a2(x2)2.a2015(x2)2015a2016(x2)2016,求導(dǎo)得f(x)a12a2(x2)3a3(x2)2.2016a2016(x2)2015由令x1得:f(1)a12a23a34a42015a20152016a20164032(1)20154032應(yīng)選C【小試牛刀】求證C1n2Cn23Cn3nCnnn2n11nC3nx3Cnnxn,【證明】由二項(xiàng)式定理可得x=Cn0+C1nxCn2x2n1n12Cn2x13Cn3x2nCnnxn1,兩邊取導(dǎo)數(shù)可得x=C1n令x1得C1n2Cn23Cn3nCn

10、nn2n1.(六)二項(xiàng)式定理與信息遷徙題的交匯【例6】已知是一個(gè)給定的正整數(shù),假如兩個(gè)整數(shù),b除以所得的余數(shù)同樣,則稱a與b對(duì)模同余,記mamm作(),比如：513(4)若22015(7),則r可能等于()abmodmmod.rmodA.2013B.2014C.2015D.2016【答案】A2015236716711)671671176706702015除以7的余數(shù)為4.【分析】222484(74(7C671C67171).所以2經(jīng)考證,只有2013除以7所得的余數(shù)為4.應(yīng)選A.【小試牛刀】用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中拿出若干個(gè)球的全部取法

11、可由(1a)(1b)的睜開式1abab表示出來,如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示拿出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都拿出來.依此類推,以下各式中,其睜開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)其余紅球、5個(gè)無區(qū)其余藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)其余黑球中拿出若干個(gè)球,且全部的藍(lán)球都拿出或都不拿出的全部取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)【答案】A【分析】分三步：第一步,5個(gè)無區(qū)其余紅球可能拿出0個(gè),1個(gè),5個(gè),則有(1aa2a3a4a5)種不一樣的

12、取法；第二步,5個(gè)無區(qū)其余藍(lán)球都拿出或都不拿出,則有(1b5)種不一樣的取法；第三步,5個(gè)有區(qū)其余黑球中任取0個(gè),1個(gè),51223344555種不一樣的取法,所以所求為(1a個(gè),有(1CcCcCcCcCc)(1c)55555a2a3a4a5)(1b5)(1c)5,應(yīng)選A.四、遷徙運(yùn)用1【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】在的睜開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為（）ABCD【答案】C【分析】因?yàn)?，睜開式的通項(xiàng)為，所以在的睜開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，即；所以.應(yīng)選C2已知為知足（）能被整除的正數(shù)的最小值，則的睜開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A第項(xiàng)B第項(xiàng)C第項(xiàng)D第項(xiàng)和第項(xiàng)【答案】B【分析】因?yàn)椋?，進(jìn)而的

13、睜開式中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)差別，又中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，中間項(xiàng)為第項(xiàng)，其系數(shù)為負(fù)，則第項(xiàng)系數(shù)最大3已知聽從正態(tài)散布N(1,2),aR，則“P(a)0.5”是“對(duì)于x的二項(xiàng)式(ax13的睜開式2)x的常數(shù)項(xiàng)為3”的（）A充分不用要條件B必需不充分條件C既不充分又不用要條件D充要條件【答案】A【分析】由P(a)0.5，知a1因?yàn)槎?xiàng)式(ax12)3睜開式的通項(xiàng)公式為Tr1C3r(ax)3r(12)rxxa3rC3rx33r，令33r0，得r1，所以其常數(shù)項(xiàng)為a2C313a23，解得a1，所以“P(a)0.5”是“對(duì)于x的二項(xiàng)式(ax12)3的睜開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不用要條件，應(yīng)選Ax4

14、已知（），設(shè)睜開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，（），與的大小關(guān)系是（）ABC為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，D【答案】C【分析】由可令得；可令得；，而二項(xiàng)式系數(shù)和則比較易得；為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，5【山東K12結(jié)盟2018屆高三模擬】已知，在的睜開式中，記的系數(shù)為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，由已知有指的系數(shù)，指的系數(shù)，所以，選A.6將二項(xiàng)式(x2)6睜開式各項(xiàng)從頭擺列,則此中無理項(xiàng)互不相鄰的概率是（）x2B1C.87AD7353524【答案】A【分析】由Tr1C6rx6r(2)r2r63r,知當(dāng)r0,2,4,6時(shí)為有理項(xiàng),則二項(xiàng)式(x2)6睜開式中有C6rx2xx4項(xiàng)有理項(xiàng),3項(xiàng)無理項(xiàng),所以基本

15、領(lǐng)件總數(shù)為743A44A532A7,無理項(xiàng)互為相鄰有A4A5,所以所求概率P,A777應(yīng)選A7若sin()2cos,則(xtan)6睜開式中常數(shù)項(xiàng)為（）xA5B160C5D16022【答案】B【分析】因?yàn)閟in()2cos,所以sinx2cosx,tanx,2(xtan)6x2xx6常數(shù)項(xiàng)為3C63x32C6323160,應(yīng)選B.x1n8.已知f(x)|x2|x4|的最小值為n,則二項(xiàng)式xx睜開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為()A15B15C30D30【答案】A【分析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)|x2|x4|的最小值為4(2)6,即n6.睜開式的通項(xiàng)公式為Tk1C6kx61kkk62k(1)k221)22,2項(xiàng)的系

16、數(shù)為15,選A.xCx,由62k2,得k2,所以TCx(15x即x6369.設(shè)復(fù)數(shù)x2i12233201520151i(i()是虛數(shù)單位),則C2015xC2015xC2015xC2015xAiBiC1iD1i【答案】C2i1222015201520152015【分析】x1i(1x)1i1i1.1i,C2015xC2015xC2015x10已知1x24a0a1xa2x2a7x7a8x8,則從會(huì)合Mxxai,xRaj（i0,1,2,8;j0,1,2,8）到會(huì)合N1,0,1的映照個(gè)數(shù)是（）A6561B316C2187D210【答案】A【分析】(1x2)414x26x44x6x8,所以a0a81,a

17、2a64,a46,a1a3a5a70,所以會(huì)合M中有0、1、4、6、2、3、1、13246,從M到N的映照共有388126561個(gè)選A11設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),x1a的地點(diǎn)如下圖,則a_.n的睜開式為a0a1xa2x2anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i0,1,2)【答案】3n311a【分析】由圖易知a01,a13,a24,則aC1C224,解得3,a(),即1na2nan(n1)2a24a3.12【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三下學(xué)期第二次模擬】已知，則_.【答案】【分析】平等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.13【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知的睜開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-14，則_

18、【答案】【分析】依據(jù)乘法分派律得，.，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分.當(dāng)時(shí)，故.14【河北省衡水市第十三中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢（四)】已知，記，則的睜開式中各項(xiàng)系數(shù)和為_【答案】【分析】依據(jù)定積分的計(jì)算，可得，令，則，即的睜開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.15復(fù)數(shù)1ai（aR,i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)zai的模為.已知2i(1xx2)(x13)n(nN)的睜開式中沒有常數(shù)項(xiàng),且2n8,則n.x【答案】5,5【分析】由題意設(shè)1ai(0),則1ai2tit,所以t1,即a2,故zai的模為2itita2t415.因(x13)n的通項(xiàng)公式Tr1Cnrxnrx3rCnrxn4r,故當(dāng)n4r0,1,2時(shí)存在常數(shù)x項(xiàng),即n4r,4r1,4r2,故n2,3,4,6,7,8時(shí)為常數(shù)項(xiàng),所以當(dāng)n5時(shí)沒有常數(shù)項(xiàng)切合題設(shè),故應(yīng)填5,5.16.【遼寧省遼南協(xié)作校2017-2018學(xué)年高三