（本科）數(shù)學(xué)建模案例與方法第4章教學(xué)課件

1、正版可修改PPT課件（本科）數(shù)學(xué)建模案例與方法第4章教學(xué)課件數(shù)學(xué)建模案例與方法微分方程建模第 4 章目錄CONTENTS交通管理中的黃燈問題4.1人 口 模 型4.2贗品的鑒定4.3腫 瘤 模 型4.4微分方程建模在許多實(shí)際問題的研究中，如果要直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但要導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式卻較為容易，此時(shí)即可用建立微分方程模型的方法來研究實(shí)際問題。這些模型所研究的問題主要來自非物理領(lǐng)域的實(shí)際問題，對這些問題，應(yīng)分析其特征，根據(jù)具體情況進(jìn)行類比，提出假設(shè)條件并建立微分方程模型加以研究。在這類模型中，微分方程作為研究問題的工具。事實(shí)上，在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程

2、或微分方程組也是常用的數(shù)學(xué)工具之一。4.1 交通管理中的黃燈問題 問題提出 4.1.1在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，先要亮一段時(shí)間的黃燈，這是為了讓那些正駕駛車輛駛近十字路口的駕駛員注意，告訴他們紅燈即將亮起，假如能夠使車輛在紅燈亮起前停住，應(yīng)當(dāng)馬上剎車，以免闖紅燈違反交通規(guī)則。這里我們不妨想一下：黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久才比較合適？4.1 交通管理中的黃燈問題 問題分析 4.1.2現(xiàn)在，讓我們來分析一下這個(gè)問題。在十字路口行駛的車輛中，交警主要考慮的是機(jī)動(dòng)車輛，因?yàn)橹灰獧C(jī)動(dòng)車輛能停住，那么非機(jī)動(dòng)車輛自然也應(yīng)當(dāng)能停住。駛近十字路口的駕駛員在看到黃色信號(hào)燈后要立即做出決定：是停車還是通過路口。如果決

3、定停車，必須有足夠的距離能讓駕駛員停住車輛，也就是說，在街道上存在一條無形的線（見圖4-1中的ab），從這條線到路口的距離L與此街道的法定速度v0（制定法定速度的目的是最大限度地發(fā)揮這一街道的作用）有關(guān)，法定速度越大，此距離也越大。4.1 交通管理中的黃燈問題當(dāng)黃燈亮起時(shí)，機(jī)動(dòng)車輛到路口的距離小于此距離時(shí)不能停車，否則會(huì)沖出路口；反之必須停車；當(dāng)機(jī)動(dòng)車輛到路口的距離等于此距離時(shí)，既可以停車，也可以通過路口。對于那些已經(jīng)過線而無法停住的機(jī)動(dòng)車輛，黃燈又必須留有足夠的時(shí)間使它們能夠順利地通過路口。4.1 交通管理中的黃燈問題圖4-1 交通管理中的黃燈問題根據(jù)上述分析，求解這一問題的步驟為：先根據(jù)該

4、街道的法定速度v0求出停車線位置（停車線到路口的距離），再根據(jù)停車線的位置及法定速度確定黃燈該亮多久。4.1 交通管理中的黃燈問題 模型建立 4.1.3停車線的確定1.要確定停車線的位置應(yīng)當(dāng)考慮以下兩點(diǎn)：（1）駕駛員看到黃燈并決定停車需要一段反應(yīng)時(shí)間t1，在這段時(shí)間里，駕駛員尚未剎車。（2）駕駛員剎車后，車輛還需要繼續(xù)行駛一段距離，這段距離稱為剎車距離。4.1 交通管理中的黃燈問題駕駛員的反應(yīng)時(shí)間（實(shí)際為平均反應(yīng)時(shí)間）t1較易得到，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或者統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求出，交通部門對駕駛員也有一個(gè)統(tǒng)一的要求（在考駕照時(shí)都必須經(jīng)過測試）。為不失一般性，假設(shè)t1=1 s（反應(yīng)時(shí)間的長短并不影響計(jì)算方法）。停車

5、時(shí)，駕駛員踩動(dòng)剎車踏板產(chǎn)生一種摩擦力，該摩擦力使機(jī)動(dòng)車輛減速并最終停下。設(shè)汽車的質(zhì)量為m，剎車摩擦系數(shù)為f，x(t)為剎車后在t 時(shí)刻內(nèi)行駛的距離，根據(jù)剎車規(guī)律，可假設(shè)剎車制動(dòng)力為fmg（g為重力加速度）。由牛頓第二定律，車輛在剎車過程中應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程為4.1 交通管理中的黃燈問題4.1 交通管理中的黃燈問題4.1 交通管理中的黃燈問題黃燈時(shí)間的計(jì)算2.在黃燈轉(zhuǎn)為紅燈的這段時(shí)間里，應(yīng)保證已經(jīng)過線的車輛順利地通過路口。記街道的寬度為D（D很容易測得），平均車身長度為l，車輛通過的路程最長可達(dá)L+D+l，因而，為保證過線的車輛全部順利通過，黃燈的持續(xù)時(shí)間至少應(yīng)為 （4-6）4.2 人 口 模 型

6、 問題提出 4.2.1人口增長問題是當(dāng)今世界上最受關(guān)注的問題。在許多媒體上，我們都可以看到各種各樣關(guān)于人口增長的預(yù)報(bào)，但你是否曾對這些預(yù)報(bào)做過比較。假如你曾做過比較，你一定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：不同媒體對同一時(shí)間人口增長的預(yù)報(bào)在數(shù)字方面有較大的差別，這顯然是由于采用了不同的人口模型作為預(yù)測的依據(jù)。4.2 人 口 模 型 模型假設(shè) 4.2.2為了便于表述，我們先做如下假設(shè)：用x(t)表示t時(shí)刻的人口數(shù)量，這里將不區(qū)分人口在年齡、性別上的差異，嚴(yán)格地說，人口總數(shù)中個(gè)體的數(shù)目是時(shí)間t的不連續(xù)函數(shù)，但由于人口數(shù)量一般很大，不妨可近似地認(rèn)為x(t)是t的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)。x(t)的變化與出生、死亡、遷入和遷出等因素

7、有關(guān)，若用B、D、I和E分別表示人口的出生率、死亡率、遷入率和遷出率，并假設(shè)它們都是常數(shù)，則人口增長的一般模型為 （4-7）4.2 人 口 模 型 模型建立 4.2.3馬爾薩斯模型1.要預(yù)測一個(gè)國家的人口增長情況，首先要掌握人口的出生率和死亡率。假如遷入率和遷出率對一個(gè)國家的影響相對較小，以至于可以略去不計(jì)，則模型將變得更為簡單。17世紀(jì)末，英國神父馬爾薩斯（Malthus）發(fā)現(xiàn)，人口的出生率和死亡率幾乎都可以看成常數(shù)，因而兩者之差r也幾乎是常數(shù)，這就是說，人口增長率與當(dāng)時(shí)的人口數(shù)量成正比，比例常數(shù)r被稱為人口自然增長率（可以通過人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到），這就是著名的馬爾薩斯模型。4.2 人 口 模

8、 型式（4-9）說明，人口數(shù)將以指數(shù)函數(shù)的速度增長。事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，人們常以年為單位來考察人口數(shù)的變化情況。例如，取t-t0=0，1，2，3，n，這樣就得到了以后各年的人口數(shù)為x0,x0er,x0e2r,，x0enr,，這表明，按照馬爾薩斯模型，人口數(shù)將以公比為er的等比級(jí)數(shù)增長。馬爾薩斯模型的一個(gè)重要特征是人口數(shù)增長一倍所需的時(shí)間是一個(gè)常數(shù)。設(shè)t=t0時(shí)的人口數(shù)為x0，t=t0+T時(shí)的人口數(shù)增長到2x0，則由x0ert=2x0解得 （4-10）4.2 人 口 模 型比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可以發(fā)現(xiàn)人口數(shù)增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，人口數(shù)大約每35年增長一倍。在170

9、01961年的261年中，馬爾薩斯模型預(yù)測的人口數(shù)量和實(shí)際人口數(shù)量幾乎完全一致。按照馬爾薩斯模型進(jìn)行計(jì)算，人口數(shù)量每 34.6年增長一倍。例如，1961年世界人口數(shù)為30.6億，人口增長率約為2%。4.2 人 口 模 型馬爾薩斯模型用于檢驗(yàn)過去，效果很好；但用于預(yù)測未來，卻包含了明顯的不合理因素。假如人口數(shù)量真能保持每34.6年增長一倍，那么人口數(shù)量將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長。例如，到2510年，世界人口數(shù)量將達(dá)21014，即使把海洋也算在里面，每人也只有9.3 ft2（1 ft21 m2）的活動(dòng)范圍；而到2670年，人口數(shù)量將達(dá)到361015。導(dǎo)致這個(gè)后果的原因是：在馬爾薩斯模型中做了如下的假設(shè)

10、：人口自然增長率r僅與人口出生率和死亡率有關(guān)且為常數(shù)。這一假設(shè)使模型得以簡化，但也隱含了人口數(shù)量的無限制增長，顯然用該模型來做長期的人口數(shù)量預(yù)測不太合理，需要對其進(jìn)行修改。4.2 人 口 模 型羅杰斯蒂克模型2.要對馬爾薩斯模型進(jìn)行修改，應(yīng)進(jìn)一步考慮哪些因素呢？人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)人口稀少、資源相對較為豐富時(shí)，人口增長得較快，在短期內(nèi)，增長率基本上是一個(gè)常數(shù)；但當(dāng)人口數(shù)量發(fā)展到一定水平時(shí)，會(huì)產(chǎn)生許多新問題，如食物短缺、居住擁擠和交通擁擠等。此外，隨著人口密度的增加，傳染病會(huì)增多，死亡率將上升，所有這些都會(huì)導(dǎo)致人口增長率的減小。4.2 人 口 模 型根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，假設(shè)B-D=r（1-x/K），式中，r為

11、人口的內(nèi)稟增長率，K 為環(huán)境可容納的人口最大數(shù)量。該假設(shè)較好地反映了人口增長率隨著人口數(shù)量的增加而減少的現(xiàn)象。按照這個(gè)假設(shè)，就可以得到人口增長的羅杰斯蒂克（Logistic）模型。 （4-11）4.2 人 口 模 型4.2 人 口 模 型如前所述，人口增長率應(yīng)當(dāng)是人口數(shù)量的函數(shù)，即r=r(x)，但這個(gè)函數(shù)無法求得。因?yàn)椴恢涝鲩L率r，就不可能建立具有實(shí)用價(jià)值的模型。要想解決這個(gè)問題，不妨采用工程師原則，即當(dāng)無法得到一個(gè)函數(shù)時(shí)，就用盡可能簡單的函數(shù)來代替它。馬爾薩斯模型假設(shè)r為常數(shù)，但從長遠(yuǎn)的觀點(diǎn)來看，r為常數(shù)有不太合理的地方，所以所要考慮的函數(shù)應(yīng)該是一次函數(shù)。設(shè) r(x)=(rx)x=r(1r

12、x)x （4-13）4.2 人 口 模 型4.2 人 口 模 型對羅杰斯蒂克模型還有一種解釋是：當(dāng)人口數(shù)量太大時(shí)，種群間會(huì)發(fā)生生存競爭，并導(dǎo)致人口增長率的降低。競爭的強(qiáng)弱既和當(dāng)前的種群數(shù)x有關(guān)，又和環(huán)境還能供養(yǎng)多少種群量（K-x）有關(guān)。大量統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明，對人口增長率的影響與這兩者的乘積（K-x）x成正比，這就是模型（4-14），而競爭的影響與兩者乘積成正比的規(guī)律被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律。4.2 人 口 模 型用羅杰斯蒂克模型來描述種群增長規(guī)律的效果應(yīng)該用事實(shí)來驗(yàn)證。1945年，德國生物學(xué)家高斯（Gauss）做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與Logistic曲線十分吻合。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用羅杰

13、斯蒂克模型來描述種群增長的效果是相當(dāng)不錯(cuò)的。4.2 人 口 模 型總結(jié)上述兩個(gè)模型，可以得出如下結(jié)論：作為短期預(yù)測，兩者的效果不相上下，但用馬爾薩斯模型要簡單得多；作為中長期預(yù)測，羅杰斯蒂克模型顯然要比馬爾薩斯模型更為合理。另外，馬爾薩斯模型和羅杰斯蒂克模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的數(shù)學(xué)模型，但它們也可被用來研究一些其他的實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。4.3 贗品的鑒定 模型背景 4.3.1第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)了線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了一名

14、三流畫家范梅格倫（Van Meegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家簡弗米爾（Jan Vermeer）的油畫捉奸等賣給納粹德國戈林的中間人。4.3 贗品的鑒定可是，范梅格倫在1945年7月12日在牢里宣稱：他從未把捉奸賣給戈林，而且他還說，這幅畫和眾所周知的油畫在埃牟斯的門徒及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界。為了證明自己的確偽造過名畫，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫耶穌在門徒們中間。當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造文物罪，因此他拒絕將這幅畫完成，以免留下罪證。4.3 贗品的鑒定為了審理這一

15、案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組。他們用X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們還分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象，等等。經(jīng)過一番努力，科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，在幾幅畫中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂等。根據(jù)這些證據(jù)，范梅格倫于1947年10月12日被宣判犯有偽造文物罪，被判刑一年。可是他在獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作而病故。4.3 贗品的鑒定然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的在埃牟斯的門徒是范梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前，這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡。專家小

16、組對于懷疑者的回答是：范梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，所以想通過繪制在埃牟斯的門徒來證明自己有高于三流畫家的水平。這種解釋并未使懷疑者感到滿意，他們要求科學(xué)地證明在埃牟斯的門徒的確是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們基本解決。4.3 贗品的鑒定 原理與模型 4.3.2測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是21世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。新西蘭物理學(xué)家歐內(nèi)斯特盧瑟福（Ernest Rutherford）在20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子會(huì)自然蛻變而形

17、成新元素的原子。放射性物質(zhì)在單位時(shí)間里的分解數(shù)與尚存放射性物質(zhì)的原子數(shù)成正比。因此，如果用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)蛻變成其他物質(zhì)的原子數(shù)，則有 （4-15）4.3 贗品的鑒定常數(shù)是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù)。越大，物質(zhì)蛻變得越快，其量綱是時(shí)間的倒數(shù)。衡量物質(zhì)蛻變速度的一個(gè)常用尺度是它的半衰期，即給定數(shù)量的放射性原子蛻變一半所需要的時(shí)間。為了求得半衰期T，假設(shè)N(t0)=N0，得到初值問題 （4-16）4.3 贗品的鑒定注意：方程式（4-16）與負(fù)增長的馬爾薩斯模型完全相同。其解為 N(t)=N0e(tt0)（4-17）如果令則有 （4-18）4.3 贗品的鑒定許多物質(zhì)的

18、半衰期已被測定，如碳14的半衰期為5 568年，鈾238的半衰期為45億年，鐳的半衰期為1 600年，等等。與本問題相關(guān)的其他知識(shí)還有：（1）藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已有2 000多年的歷史。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的；而鉛又屬于放射性物質(zhì)鏈鈾系，其衰變過程（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）為：鈾238（T=45億年）鐳226（T=1 600年）鉛210（T=22年）鉛206（無放射性）。4.3 贗品的鑒定（2）地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減；另一方面，鈾的衰減又在不斷地補(bǔ)充著它的后繼元素，使各種放射性物質(zhì)（除鈾外）在巖石

19、中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占的平均重量比約為0.000 27%（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)過含量高于2%3%的鈾礦。4.3 贗品的鑒定（3）從鉛礦中提煉出鉛時(shí)，鉛210和鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90%95%被留在礦渣里，從而打破了原有的放射性平衡。4.3 贗品的鑒定 模型假設(shè) 4.3.3本問題建模的目的是鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能地簡單，可做如下假設(shè)：假設(shè)1 每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)目是一個(gè)常數(shù)。假設(shè)2 鉛210的衰變過程為：鉛210（T=22年）釙210（T=138 d）鉛

20、206。若畫為真品，則顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的每分鐘分解數(shù)幾乎等于鉛210的分解數(shù)，因此，可用釙210代替鉛210，因?yàn)獒暤陌胨テ谳^短，易于測量。4.3 贗品的鑒定 模型建立 4.3.4（1）記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系處于放射性平衡狀態(tài)，故鈾和鉛在單位時(shí)間里的分解數(shù)相同。由此可以推算出每克白鉛中鉛210每分鐘的分解數(shù)不能大于30 000個(gè)，否則鈾的含量將超過4%，而這是不可能的。事實(shí)上，若 uU0=y030 000 （4-19）式中，u為鈾的衰減率；為鉛210的分解率。4.3 贗品的鑒定

21、4.3 贗品的鑒定（2）設(shè)t時(shí)刻1 g白鉛中鉛210的含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程 4.3 贗品的鑒定油畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出。若此畫是真品，t-t0300年，則可求出y0的近似值，并利用（1）來判斷這樣的分解數(shù)是否合理。若判斷結(jié)果為不合理，則可以確定此畫必是贗品，反之卻不一定能說明此畫是真跡（因?yàn)楣烙?jì)仍是十分保守的，且只能證明畫的“年齡”，而不能判斷畫的作者）。4.3 贗品的鑒定Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對部分有疑問的油畫做了鑒定，測得的數(shù)據(jù)見表4-1。4.3 贗品

22、的鑒定對在埃牟斯的門徒，可以算出y098 050 個(gè)/(gmin），顯然這是不可能的，它必定是一幅近代（指幾十年內(nèi)的）偽造品。類似可以判定濯足看樂譜的女人和演奏曼陀林的女人也是贗品，而花邊織工和笑女則不太可能是現(xiàn)代偽制品，因?yàn)槠渲械姆派湫晕镔|(zhì)已基本處于平衡狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在19世紀(jì)和20世紀(jì)的任何作品中。4.3 贗品的鑒定利用放射性原理，還可以對其他文物的年代進(jìn)行測定。例如，對有機(jī)物（動(dòng)、植物）的遺體，考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度。其基本原理是：由于大氣層受到宇宙射線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14

23、（C14）。在大氣中，碳12和碳14是處于放射性平衡狀態(tài)下的。當(dāng)有機(jī)物存活時(shí)，它們通過新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14也處于放射性平衡中。4.3 贗品的鑒定一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即遭破壞，碳14的含量將隨時(shí)間而不斷下降。因而，通過對比測定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，1950年，在巴比倫的一個(gè)洞穴里發(fā)現(xiàn)了一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，但歷史書上并未記載這一朝代。經(jīng)測定，該木炭中C14的衰減數(shù)為4.09個(gè)/(gmin），而在新砍伐燒成的木炭中，C14的衰減數(shù)為 6.68個(gè)/(gmin），由于C14的半衰期為5 568年，因而可以推算出該王朝存在于3 9

24、004 000年前（從1950年算起）。4.4 腫 瘤 模 型 問題提出 4.4.1腫瘤是危害人類健康的嚴(yán)重疾病之一。目前已發(fā)現(xiàn)的癌癥共有200多種，它們的成因與發(fā)展規(guī)律都各不相同。據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國每年新患癌癥人數(shù)大約有160萬，每年因患癌癥而死亡的人數(shù)達(dá)到130多萬，約占死亡人數(shù)總量的1/5。在064歲的人口中，每死亡5人中即有一人死于癌癥，在城市人口中，癌癥已占死亡原因的首位。4.4 腫 瘤 模 型 問題分析 4.4.2為了對付癌癥，人們通過各種途徑對其開展研究，其中也包括利用建立數(shù)學(xué)模型的方法來研究。腫瘤模型首先要描述的是腫瘤大小隨時(shí)間而增長的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足以下要求：（1）對腫

25、瘤增長速度的預(yù)測應(yīng)具有一定的精度，或與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好的擬合。（2）適用范圍廣。腫瘤雖有不同的類型，且不同類型的腫瘤發(fā)展速度可能有很大的區(qū)別。即使是同一類型的腫瘤，不同個(gè)體也可有較大的差異。但模型在應(yīng)用于某類腫瘤時(shí)，應(yīng)能較好地反映出此類腫瘤的平均發(fā)展情況。（3）參數(shù)應(yīng)盡可能少，且參數(shù)易于測得。4.4 腫 瘤 模 型隨著人們對腫瘤生長研究的逐步深入，相關(guān)的數(shù)學(xué)模型也越來越多；然而，總的來講，對腫瘤生長模型的研究目前還尚處于初等階段。雖然模型的研究還處于初等階段，但其研究結(jié)果對臨床應(yīng)用已經(jīng)有了一定的參考價(jià)值。4.4 腫 瘤 模 型 指數(shù)模型 4.4.3模型假設(shè)1.設(shè)腫瘤體積變化率與腫瘤當(dāng)前的體積成正比。4.4 腫 瘤 模 型模型建立2.若t 時(shí)刻腫瘤的體