量子力學(xué)小結(jié)

1、量子力學(xué)小結(jié)第1頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三第一章 緒論（小結(jié)） 1、經(jīng)典物理的困難 黑體輻射，光電效應(yīng)，原子光譜線系2、舊量子論普朗克能量子論愛(ài)因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋；光的波粒二象性；光電效應(yīng)的規(guī)律；愛(ài)因斯坦公式： 光子能量動(dòng)量關(guān)系：第2頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三玻爾的原子理論量子化條件 ：定態(tài)的假設(shè)、頻率條件 ：3、微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關(guān)系戴維孫,革末等人的電子衍射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了德布羅意關(guān)系。4、量子力學(xué)的建立物質(zhì)波薛定諤方程非相對(duì)論量子力學(xué) 相對(duì)論量子力學(xué)量子場(chǎng)論 第3頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，

2、星期三第二章 波函數(shù)和薛定諤方程（小結(jié)）1量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋：若粒子的狀態(tài)用 描寫， 表示在t時(shí)刻，空間 處 體積元內(nèi)找到粒子的幾率（設(shè) 是歸一化的）。3態(tài)疊加原理：設(shè) 是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加：也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。第4頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三若體系處于 態(tài)，我們講體系部分處于 態(tài)。4波函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出：當(dāng)勢(shì)場(chǎng) 不顯含 時(shí) ，其解是定態(tài)解： 滿足定態(tài)薛定諤方程 ：其中定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。第5頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三5波函數(shù)的歸一化條件：

3、 相對(duì)幾率分布： 波函數(shù)存在常數(shù)因子不定性；相位因子不定性。6波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)一般應(yīng)滿足三個(gè)基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。7幾率流密度 與幾率密度 滿足連續(xù)性方程：第6頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三8一維無(wú)限深方勢(shì)阱 本征值 本征函數(shù) 若 則本征值 第7頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三本征函數(shù) 9三維無(wú)限深方勢(shì)阱 可以用分離變量法求解得到本征值 本征函數(shù)第8頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三10一維諧振子 本征值 本征函數(shù) 11、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標(biāo)中）三維各向同性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)。第

4、9頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三12、勢(shì)壘貫穿隧道效應(yīng)： 粒子在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。第10頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量（小結(jié)）1量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符A的定義： 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。力學(xué)量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備等條件。第11頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三3力學(xué)量的測(cè)量值：在力學(xué)量F的本征態(tài)中測(cè)量F，有確定值，即它的本征值；在非

5、的本征態(tài) 中測(cè)量F，可能值是F的本征值。將 用算符F的正交歸一的本征函數(shù) 展開： 則在 態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到結(jié)果為 的幾率為 ，得到結(jié)果在 范圍內(nèi)的幾率為: 。第12頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三力學(xué)量的平均值是: 或第13頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三4 連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為 函數(shù)。5簡(jiǎn)并：屬于算符的某一個(gè)本征值的線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)有若干個(gè)，這種現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并。簡(jiǎn)并度： 算符的屬于本征值 的線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)有f個(gè)，我們稱 的第n個(gè)本征值 是f度簡(jiǎn)并的。6 動(dòng)量算符的本征函數(shù)(即自由粒子波函數(shù)) 正交歸一性 第14頁(yè)，共48頁(yè)，2

6、022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三7 角動(dòng)量 分量 本征函數(shù) 的本征值 8 平面轉(zhuǎn)子（設(shè)繞 軸旋轉(zhuǎn)）哈密頓量 能量本征態(tài) 能量本征值 第15頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三9 有共同的本征函數(shù)球諧函數(shù)： 中心力場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng) ，角動(dòng)量 為守恒量。1第16頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三10中心力場(chǎng)中，定態(tài)薛定諤方程 選 為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為 11氫原子第17頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三類氫離子 12 守恒力學(xué)量的定義：若 （即力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化），則稱 為守恒量。力學(xué)量 的平均值隨

7、時(shí)間的變化滿足因而力學(xué)量 為守恒量的條件為： 且 第18頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三13宇稱算符宇稱算符的定義： ，本征值，本征函數(shù)。14 對(duì)易式定義：15 對(duì)易式滿足的基本恒等式： （Jacobi恒等式）第19頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三16 一些重要的對(duì)易關(guān)系：第20頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三17若算符 對(duì)易，即 ，則 和 有共同的本征函數(shù)系。在 和 的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測(cè)量 ，都有確定值。若算符 不對(duì)易，即 ，則必有簡(jiǎn)記為 特別地， 第21頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，

8、星期三第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象小結(jié)1 表象是以 的本征函數(shù)系 為基底的表象，在這個(gè)表象中，有第22頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三算符F對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣（方陣），矩陣元是:選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是： 歸一化條件是： 本征值方程是： 2 在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足 ；態(tài)的變換是；算符的變換是。幺正變換不改變算符的本征值。3 量子態(tài)可用狄拉克符號(hào)右矢或左矢表示。狄拉克符號(hào)的最大好處是它可以不依賴于表象來(lái)闡述量子力學(xué)理論，而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔。第23頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三基矢的封閉性： 坐標(biāo)表象 狄拉克

9、符號(hào)第24頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三4粒子占有數(shù)表象以線性諧振子的粒子數(shù)算符N或者哈密頓的本征態(tài)為基矢的表象。粒子數(shù)算符：湮滅算符：產(chǎn)生算符：第25頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三第五章 微擾理論小結(jié)1定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求的本征值和本征函數(shù)已知或較易計(jì)算，另一方面又要求把的主要部分盡可能包括進(jìn)去，使剩下的微擾比較小，以保證微擾計(jì)算收斂較快，即（1）非簡(jiǎn)并情況：第26頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三其中，能量的一級(jí)修正等于態(tài)中的平均值。（2）簡(jiǎn)并情況 能級(jí)的一

10、級(jí)修正由久期方程即給出。有個(gè)實(shí)根，記為第27頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三分別把每一個(gè)根代入方程 ，即可求得相應(yīng)的解，記為，于是得出新的零級(jí)波函數(shù)2變分法選擇嘗試波函數(shù)，計(jì)算的平均值，它是變分參量的函數(shù)，由極值條件定出，求出，它表示基態(tài)能量的上限。相應(yīng)能量為第28頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三3.與時(shí)間有關(guān)的微擾理論（1）由的躍遷幾率是（在一級(jí)近似下）此公式適用的條件是對(duì)于（2）能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：（3）偶極躍遷中角量子數(shù)與磁量子數(shù)的選擇定則第29頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三例題1、設(shè)在H0表象中， 的矩

11、陣為：試用微擾論求能量的二級(jí)修正。解：本題的意義在于：并不知道無(wú)微擾算符 ，微擾 和總的（一級(jí)近似）哈氏算符 的形式，也不知道零階近似波函數(shù) 的形式，知道的是在 表象中 的矩陣。但僅僅根據(jù)這矩陣的具體形式，按習(xí)慣用代表字母的涵義，可以知道幾點(diǎn)：第30頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（1）能量本征值是分立的（因?yàn)橛梅至⒕仃嚤硎?，若是連續(xù)能量本征值，不能用此表示法），無(wú)微擾能量本征值有三個(gè) ，本征函數(shù) 。因 （2）微擾算符的的矩陣是 根據(jù)無(wú)簡(jiǎn)并微擾論，一級(jí)能量修正量是：從（2）中看出，對(duì)角位置的矩陣元全是零，因此一級(jí)修正量：第31頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21

12、點(diǎn)35分，星期三又二級(jí)能量公式是：所需的矩陣元已經(jīng)直接由式（2）表示出，毋需再加計(jì)算，因而有：第32頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三例2、設(shè)在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級(jí)近似），嚴(yán)格求解與微擾論計(jì)算值比較。解：直接判斷法：題給矩陣進(jìn)行分解，有第33頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三從矩陣（3）知道一級(jí)修正量（用對(duì)角矩陣元）和二級(jí)修正量（用非對(duì)角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個(gè)能級(jí)（正確到二級(jí)修正量）嚴(yán)格求解法：這就是根據(jù)表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。我們?cè)O(shè)算符H（1）

13、具有本征矢 ，本征值是 ，列矩陣方程式：第34頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三展開后成兩式 又假設(shè)本征矢是歸一化的：（5）式有 非平凡解的條件是：第35頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（7）后一式可展開（8）第36頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（7）是正確本征值解，共有二個(gè)，以符號(hào) 來(lái)區(qū)別。（8）的級(jí)數(shù)展開式可分寫為中斷在第三項(xiàng)的時(shí)侯便是二階近似值，這由對(duì)比便能知道兩個(gè)能級(jí)近似值的絕對(duì)誤差是有下述上限的。第37頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三第七章 自旋與全同粒子1電子自旋電子自旋假設(shè)的兩

14、個(gè)要點(diǎn)：（1） （2）內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值： 斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)證明了原子具有磁矩和電子自旋。2.自旋算符和自旋波函數(shù)（1）自旋算符與Pauli矩陣 ：第38頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三對(duì)易關(guān)系：（單位算符） 第39頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（2）自旋波函數(shù)（200-203頁(yè)） 考慮電子的自旋后，電子的波函數(shù)是二行一列矩陣：當(dāng)電子的自旋與軌道相互作用可以忽略時(shí)，電子的波函數(shù)可以寫為： 第40頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三的本征函數(shù)：（3）兩電子體系的自旋波函數(shù)：第41頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20

15、日，21點(diǎn)35分，星期三算符3、 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合若 是兩個(gè)獨(dú)立的角動(dòng)量，則 也是角動(dòng)量。 C-G系數(shù)的性質(zhì)： ，j的取值 第42頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三4、全同粒子（1）量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。 全同性原理或表述為交換對(duì)稱性：任何可觀測(cè)量，特別是Hamilton量，對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來(lái)很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對(duì)稱性 或者交換反對(duì)

16、稱性。 第43頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（3） 全同粒子系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為整數(shù)倍（ ）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是對(duì)稱的，例如介子（ ），光子（ ）。它們遵守Bose統(tǒng)計(jì)，稱為Bose子。費(fèi)米子：自旋為 半奇數(shù)倍（ ）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是反對(duì)稱的，例如電子，質(zhì)子，中子等。它們遵守Fermi 統(tǒng)計(jì)，稱為Fermi子。 由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子，例如粒子（氦核）或其它原子核，如在討論的問(wèn)題或過(guò)程中內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同性概念仍然適用，也可以當(dāng)成一類全同粒子來(lái)處理。如果它們是由Bose 子組成，則仍為Bose子。如它們由奇數(shù)個(gè)Fermi 子組成，則仍為Fermi子；但如由偶數(shù)個(gè)Fermi子組成，則構(gòu)成Bose子。 第44頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三（4）Pauli不相容原理：不容許有兩個(gè)或兩個(gè)以上的全同F(xiàn)ermi子處于同一個(gè)單粒子態(tài)。第45頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)35分，星期三例題1.設(shè)自由粒子的動(dòng)能為，粒子的速度遠(yuǎn)小于光速，求其德布羅意波長(zhǎng)。例題2. 如果把坐標(biāo)原點(diǎn)取在一維無(wú)限深勢(shì)阱的中心，即：求阱中粒子的波函數(shù)和能級(jí)的表達(dá)式。例題3