2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學乙卷

1、絕密 啟用前2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試題卷共5頁,24題(含選考題)。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。祝考試順利注意事項:1、答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2、選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答:用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、選考題的作答:先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置

2、用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi),寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5、考試結(jié)束后,請將本試題卷和答題卡一并上交。第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。(1) 設集合A=x|x2-4x+30,則AB=(A)(-3,-32)(B)(-3,32)(C)(1,32)(2) 設(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數(shù),則|x+yi|=(A)1(B)2(C)3(D)2(3) 已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則a100=(A)100(B)99(C)98(D)97(4) 某公司的班車在7:30,8:00,8

3、:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(A)13(B)12(C)2(5) 已知方程x2m2+n-y23(A)(-1,3)(B)(-1,3)(C)(0,3)(D)(0,3)(6) 如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283(A)17(B)18(C)20(D)28(7) 函數(shù)y=2x2-e|x|在-2,2的圖像大致為(8) 若ab1,0c1,則(A)acbc(B)abcbac(C)alogbcblogac(D)logac0,|2),x=-4為f(x)的零點,x=4

4、為y=f(x)圖像的對稱軸,且f(x)在(18,5(A)11(B)9(C)7(D)5第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)題為必考題,每個試題考生都必須作答。第(22)(24)題為選考題,考生根據(jù)要求作答。二、填空題:本題共4小題,每小題5分。(13) 設向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.(14) (2x+x)5的展開式中,x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)(15) 設等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.(16) 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5

5、kg,乙材料1kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17) (本小題滿分12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.()求C;()若c=7,ABC的面積為332,求ABC(18) (本小題滿分12分)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABE

6、F為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.()證明:平面ABEF平面EFDC;()求二面角E-BC-A的余弦值.(19) (本小題滿分12分)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換

7、的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).()求X的分布列;()若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;()以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?(20) (本小題滿分12分)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.()證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;()設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.(21) (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x

8、)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.()求a的取值范圍;()設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x20).在以坐標原點為極點,x()說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;()直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.(24) (本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答題卡第(24)題圖中畫出y=f(x)的圖像;()求不等式|f(x)|1的解集.試卷全解全析全國乙卷理科(1)D由x2-4x+30,解得1x0,解得x32所以B=32,所以AB=32,3,(2)B(

9、定義、性質(zhì))因為(1+i)x=1+yi,x,yR,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=2,故選B.(3)C(方法一)設等差數(shù)列an的公差為d,則由題意得,9解得a1=-1,d=1,故a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二)因為S9=(a1+a9)92=27,a所以a5=3.又因為a10=8,所以d=a10-a故a100=a10+(100-10)1=98.(4)B這是幾何概型問題,總的基本事件空間如圖所示,共40分鐘,等車時間不超過10分鐘的時間段為:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,故他等車時間不超過10分鐘的概率為P=2040=12(5)A(定

10、義、公式)因為雙曲線的焦距為4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示雙曲線得(1+n)(3-n)0,解得-1n3,故選A.(6)A由三視圖可知該幾何體是球截去18后所得幾何體則7843R3=所以它的表面積為784R2+34R2=14+3=17(7)D特殊值驗證法,取x=2,則y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;當0 x2,所以A因為32=1823=12,因為log312=-log32-1=log212,所以D因為3log212=-30),圓的方程為x2+y2=R2.因為|AB|=42,所以可設A(m,22).又因為|DE|=25,所以R2=

11、5+p24,故p=4,即C的焦點到準線的距離是4.(11)A(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C為正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值為32(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面A

12、EF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因為AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值為32(12)B由題意得-解得=k1+k22+4,=2(k2-k1)+1,k1|2,=4或=-f(x)在18,536-18T2,T60,012.若=4,則k1+k2=0,=4k2+1,=1,5,9若=9,則f(x)=sin9x+4若=-4,則k1+k2=-1,=4k2+3,=3,7,11若=11,則f(x)=sin11x-在344,5綜上,的最大值為9.(13)-2|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(14)

13、10二項式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5-rxr2=C5令5-r2=3,解得r=故x3的系數(shù)為C5425-4=(15)64由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,兩式相除得a1解得q=12,a1=所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2又nN*,所以當n=3或4時,a1a2an取最大值為2-1232(16)216 000設生產(chǎn)產(chǎn)品A x件,生產(chǎn)產(chǎn)品B y件,由題意得1即3目標函數(shù)z=2 100 x+900y,畫出約束條件對應的可行域(如圖陰影部分中的整數(shù)點所示),作直線y=-73x,當直線過5x+3y=600與10 x+3y=900的交點時,z取

14、最大值由5x+3所以zmax=2 10060+900100=216 000.(17)解 ()由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,所以C=()由已知,12absin C=3又C=3,所以ab=6由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.所以ABC的周長為5+7.(18)解 ()由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.()過D

15、作DGEF,垂足為G,由()知DG平面ABEF.以G為坐標原點,GF的方向為x軸正方向,|GF|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.由()知DFE為二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,則|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF為二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.從而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3)

16、,AB=(-4,0,0),設n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則n所以可取n=(3,0,-3).設m是平面ABCD的法向量,則m同理可取m=(0,3,4),則cos=nm|故二面角E-BC-A的余弦值為-219(19)解 ()由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20

17、.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04()由()知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19.()記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當n=19時,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.當n=20時,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 0

18、80.可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值,故應選n=19.(20)解 ()因為|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為:x24+y23()當l與x軸不垂直時,設l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y=得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=8k24k2+3,x所以|MN|=1+k2|x1-x2|=過點B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-1k(x-1),A到m的距離為2所以|PQ|=24