2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國卷Ⅲ)

1、絕密 啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷,理)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2019全國,理1)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x21,則AB=() A.-1,0,1B.0,1C.-1,1D.0,1,2解析A=-1,0,1,2,B=x|-1x1,則AB=-1,0,1.故選A.答案A2.(2019全國,理2)若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析z=2i1+i=2i(1-i)答案D3.(2019全國,理3)西游記三國演義水滸傳和紅樓夢(mèng)是中國古典文學(xué)瑰

2、寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中閱讀過西游記或紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有90位,閱讀過紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有80位.閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析由題意得,閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為70100=0.7.故選C答案C4.(2019全國,理4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A.12B.16C.20D.24解析(1+2x2)(1+x)

3、4的展開式中x3的系數(shù)為C43+2C41=4+8=12答案A5.(2019全國,理5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),則a1(所以a3=a1q2=122=4.故選C.答案C6.(2019全國,理6)已知曲線y=aex+xln x在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.將點(diǎn)(1,1)代入y=2x+b,得2+b

4、=1,b=-1.答案D7.(2019全國,理7)函數(shù)y=2x32x+2-x解析設(shè)y=f(x)=2x則f(-x)=2(-x)32-故f(x)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)C.f(4)=24324f(6)=26326故選B.答案B8.(2019全國,理8)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,ECD為正三角形,平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BMEN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BMEN,且直線BM,EN是異面直線解析如圖,連接BD,BE.在BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),BM,

5、EN是相交直線,排除選項(xiàng)C、D.作EOCD于點(diǎn)O,連接ON.作MFOD于點(diǎn)F,連接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB與EON均為直角三角形.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=2則EN=3+1=2,BM=34BMEN.故選B.答案B9.(2019全國,理9)執(zhí)行下邊的程序框圖,如果輸入的為0.01,則輸出s的值等于()A.2-124B.2C.2-126D.2解析x=1,s=0,s=0+1,x=120.01,s=0+1+12,x=140.01,s=0+1+12+1

6、26,x=1輸出s=1+12+126=1-12答案C10.(2019全國,理10)雙曲線C:x24-y22=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則A.324B.322C.22解析由已知可得a=2,b=2,則c=a2+b2=6,|PO|=|PF|,xP=62又P在C的一條漸近線上,不妨設(shè)在漸近線y=22x上yP=22SPFO=12|OF|yP|=126答案A11.(2019全國,理11)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+)單調(diào)遞減,則()A.flog314f(2-B.flog314f(2-C.f(2-32)f(2D.f(2-23)f(2解析f(x

7、)是R上的偶函數(shù),flog314=f(-log34)=f又y=2x在R上單調(diào)遞增,log341=202-又f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,f(log34)f(2-23)f(2-23)答案C12.(2019全國,理12)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在0,2有且僅有5個(gè)零點(diǎn)f(x)在(0,2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f(x)在(0,2)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)f(x)在0,的取值范圍是12其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.B.C.D.解析f(x)=sinx+5(0)在區(qū)間0,2上有且僅有52+56解得1252910,故畫出f(x)的圖像(圖略),由圖易知正確,不正確.當(dāng)0 x10時(shí),

8、5x+又1252910,正確.綜上可知正確.故選D.答案D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(2019全國,理13)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-5b,則cos=.解析a,b為單位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=a答案214.(2019全國,理14)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a10,a2=3a1,則S10S5=解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a10,a2=3a1,a1+d=3a1,即d=2a1.S10S5答案415.(2019全國,

9、理15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則SMF1F2=12|F1F2又SMF1F2=14y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,x02解得x0=3或x0=-3(舍去).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).答案(3,15)16.(2019全國,理16)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體A

10、BCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.解析由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為46-41223=12(cm2),點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離為3 cm,則此四棱錐的體積為V1=13123=12(cm3又長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=466=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9132=118.8(g).答案118

11、.8三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)(2019全國,理17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5

12、.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.18.(12分)(2019全國,理18)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊

13、分別為a,b,c.已知asinA+C2=b(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin因?yàn)閟in A0,所以sinA+C2=sin由A+B+C=180,可得sinA+C2=故cosB2=2sinB2cos因?yàn)閏osB20,故sinB2=12,(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC=34a由正弦定理得a=csin由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,從而38SABC因此,ABC面積的取值范圍是3819.(12分)(2019全國,理19

14、)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因?yàn)锳B平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解作EHBC,垂足為H.因?yàn)镋H平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCG

15、E的邊長(zhǎng)為2,EBC=60,可求得BH=1,EH=3.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HC的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),CG=(1,0,3),AC=(2,-1,0).設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),則CG所以可取n=(3,6,-3).又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0),所以cos=n因此二面角B-CG-A的大小為30.20.(12分)(2019全國,理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1?若

16、存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.解(1)f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f(x)=0,得x=0或x=a3若a0,則當(dāng)x(-,0)a3,+時(shí),f(當(dāng)x0,a3時(shí),f(x)故f(x)在(-,0),a3,+單調(diào)遞增,若a=0,f(x)在(-,+)單調(diào)遞增;若a0,則當(dāng)x-,a3(0,+)時(shí),f(當(dāng)xa3,0時(shí),f(x)故f(x)在-,a3,(0,+)單調(diào)遞增,(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.()當(dāng)a0時(shí),由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1

17、,即a=0,b=-1.()當(dāng)a3時(shí),由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.()當(dāng)0a3時(shí),由(1)知,f(x)在0,1的最小值為fa3=-a327+b,最大值為b或若-a327+b=-1,b=1,則a=332,與0a若-a327+b=-1,2-a+b=1,則a=33或a=-33或a=0,與0a3綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=-1或a=4,b=1時(shí),f(x)在0,1的最小值為-1,最大值為1.21.(12分)(2019全國,理21)已知曲線C:y=x

18、22,D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn),過D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A(1)證明:直線AB過定點(diǎn);(2)若以E0,52為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形(1)證明設(shè)Dt,-12,A(x1,y1),則x12由于y=x,所以切線DA的斜率為x1,故y1+1整理得2tx1-2y1+1=0.設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.所以直線AB過定點(diǎn)0,(2)解由(1)得直線AB的方程為y=tx+12由y=tx+12,y=x2于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=1+t2|x

19、1-x2|=1+t2(x設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離,則d1=t2+1,d2=因此,四邊形ADBE的面積S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3)t設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),則Mt,由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB與向量(1,t)所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.當(dāng)t=0時(shí),S=3;當(dāng)t=1時(shí),S=42.因此,四邊形ADBE的面積為3或42.(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.(10分)(2019全國,理22)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圓的圓心分別是(1,0),1,2,(1,),曲線M1是弧(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程;(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點(diǎn)P在M上,且|OP|=3,求P的極坐標(biāo).解(1)由題設(shè)可得,弧AB,BC,CD所在圓