考研微分方程知識(shí)歸納

1、文檔編碼 : CC5S4S8O4Z9 HC6C1K4W8Q6 ZJ8W9W3A7W2微分方程部分 重點(diǎn)內(nèi)容 1,變量可分別的微分方程 （ 1）形式 dy f xg y 或 M 1 xM 2 ydx N1 x N ydy 0dx （ 2）通解 dy f xdx C或 M x dx N1 x N y dy M 2 y Cg y 2,齊次方程 （ 1）形式 dy y 或 dx x dy x y y u ,就 y dy xu , dx udu x ）或 dx dx （ 2）通解 du dx C （令 u ux x du dx C （令 x u ,就 x yu , dx dy udu y dy ） y

2、u ux 3,一階線(xiàn)性微分方程 （ 1）形式 y ep x y q x p xdx dx C （ 2）通解 y p x dx q x e 4,可降階的高階微分方程 n （ 1） y f x ,其中 f x 為已知函數(shù) 積分 n 次可得其通解 （ 2） y f x, y （不顯含 y ） 令 y p ,就 y p；于是,原方程可化為 p f x, p （一階） 設(shè)的通解為 p x,C1 ,即 y x, C1 （一階） 由可得通解 （ 3） y y x,C1 dx C2 f y, y （不顯含 x ） 第 1 頁(yè),共 11 頁(yè)令 y p ,就 y pdp dp dy pdp ；于是,原方程可化為

3、dx dy dx dy pdp f y, p （一階） dy 設(shè)的通解為 p y,C1 ,即 y y, C1 （一階） 由可得通解 dy y, C1 x C2 5,二階線(xiàn)性微分方程 （ 1）形式 非齊次 y p x y q x y f x （ 1） 齊次 y p x y q x y 0（ 2） （ 2）解的結(jié)構(gòu) 定理 1 如 y1 x,y2 x 為（ 2）的兩個(gè)解,就 C1 y1 x C 2 y2 x 為（ 2）的解； 定理 2 如 y1 x,y2 x 為（ 2）的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,就 C1 y1 x C 2 y2 x 為（ 2）的 通解； y1 x,y2 x 線(xiàn)性無(wú)關(guān) y1 x 常數(shù)； y2

4、 x 定理 3 如 y1 x,y2 x 為（ 1）的兩個(gè)解,就 y1 x y2 x 為（ 2）的解； 定理 4 如 y0 x 為（ 2）的解, yx 為（ 1）的解,就 y0 x y x 為（ 1）的解； 定理 5 如 C1 y1 x C 2 y2 x 為（ 2）的通解, y x 為（ 1）的一個(gè)特解解,就（ 1）通 解為 y C1 y1 x C 2 y2 x y x 6,二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 y py q y 0 （ p, q 為常數(shù)） 1, 2） 的通解：特點(diǎn)方程 2pq 0 的判別式 p 2 4q y C e 1x C e 2 x （0 ,有兩相異實(shí)根 第

5、2 頁(yè),共 11 頁(yè)y C1 C2 xe 0 x （ 0 ,有兩相等實(shí)根 120 ） 1, 2 i） y C1 cos x C2 sin x e x （ 0 ,有一對(duì)共軛復(fù)根 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程 y py q y f x （ p, q 為常數(shù), f x 為已知函數(shù),稱(chēng)為自由項(xiàng)） 特解的表示： x （ 1）如 f x Pn xe （其中 Pn x 為 n 次多項(xiàng)式） ,就可設(shè)特解 k x y x Qn xe 0, 不是特點(diǎn)根 其中 Qn x 為（系數(shù)待定的） n 次多項(xiàng)式, k 1, 是單特點(diǎn)根 2, 是重特點(diǎn)根 留意 當(dāng) f x Pn x 即 0 時(shí),也要考慮其是否為特點(diǎn)根！ x x

6、 （ 2）如 f x ae cos x 或 f x be sin x ,就可設(shè)特解 y x ke x Acos x B sin x 0, i 不是特點(diǎn)其中 A, B 為（待定）常數(shù), k 1, 根 i 是特點(diǎn)根 （ 3）如 f x f1 x f2 x ,且 y1 為 y py q y f1 x 的特解, y2 為 y py q y f 2 x f2 x 的特解,就 y y1 y2 為 f1 x y py q y 的特解（特解的可疊加性） ； 7,高于二階的某些常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 （ 1）三階 y py qy ry 0特點(diǎn)方程 3p2qr0三個(gè)相異實(shí)根 1 , 2 , 3 時(shí)的通解 第 3

7、頁(yè),共 11 頁(yè)y C e 1x C e 2 x C e 3 x 兩個(gè)為二重實(shí)根 1 2 0 ,另一個(gè)為單實(shí)根 3 時(shí)通解 y C1 C2 xe 0 x C3e 3 x 三個(gè)為三重實(shí)根 1 2 3 0 時(shí)的通解 y C1 C 2x C3x e 2 0 x 一個(gè)為單實(shí)根 1,另兩個(gè)為共軛復(fù)根 2, 3 i 時(shí)的通解 y C1e 1x C2 cos x C3 sin x e x （ 2）四階 y 4 py qy ry sy 04 3 2特點(diǎn)方程 p q r s 0四個(gè)相異實(shí)根 1 , 2 , 3 , 4 時(shí)的通解 y C e 1x Ce 2 x C e 3 x Ce 4 x 兩個(gè)為二重實(shí)根 1 2

8、 01 ,另兩個(gè)也為二重實(shí)根 1 2 02 時(shí)的通解 01x 02 xy C1 C2 xe C3 C4 xe 三個(gè)為三重實(shí)根 1 2 3 0 ,另一個(gè)為單實(shí)根 4 時(shí)通解 y C1 C 2 x C3 x e 2 0 x C4e 4x 四個(gè)為四重實(shí)根 1 2 3 4 0 時(shí)通解 y C1 C2 x C3 x 2C4 x e 3 0 x 兩個(gè)為二重實(shí)根 1 2 0,另兩個(gè)為相異實(shí)根 3 , 4 時(shí)的通解 y C1 C2 xe 01xC3e 3 x C4 xe 4 x 兩個(gè)為二重實(shí)根 1 2 0,另兩個(gè)為共軛復(fù)根 3, 4 i 時(shí)的通解 y C1 C2 xe 0 x C3 cos x C4 sin

9、x e x 兩個(gè)為相異實(shí)根 1 , 2,另兩個(gè)為共軛復(fù)根 3, 4 i 時(shí)的通解 第 4 頁(yè),共 11 頁(yè)y C 1e 1 x C e 2x C cos x C sin x e x 例題選講 例 1 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程 y 4 y 3 y 2e2x 的通解為 ； （2022 數(shù)學(xué)二） 解 特點(diǎn)方程 2430y 1 1 的特解；（ 2022 數(shù)學(xué)二） 特點(diǎn)根 11, 23余函數(shù) y C 1e x 3x C e 設(shè)特解 * y 2 x Ae ,代入非齊次方程可得 A 2得通解 y x C1e 3x C2e 2 x 2e 例 2 求微分方程 y x y 2 y 中意初始條件 y1 解 （可

10、降階,不顯含 y ） 令 y p ,就 y p；于是,原方程可化為 p x p 2 p變形為 dx 1x p（將 x 作為 p 的函數(shù),這點(diǎn)很關(guān)鍵！ ?。?dp p就 x d p d p dp C1 ln p e pe ln p dp C1 ep pe pp p C1 即 x y y C1 x ,又由 y 1 1 知,應(yīng)取 由 y 1 1 ,得 C1 2 0 ,就有 y y x 解得 y 23C2 x 23第 5 頁(yè),共 11 頁(yè)由 y1 1 ,得 C2 1 3y 1 1 的特解為 C2 cos2 x C3 sin 2 x 為通解的微分方程是 （ ） 故方程 y x y 2 y 中意初始條件

11、y1 y 2313x2 3例 3在以下微分方程中, 以 y x C1e A , y y 4 y 4 y 0B , y y 4 y 4 y 0C, y y 4 y 4 y 0D , y y 4 y 4 y 0（ 2022 數(shù)學(xué)二） 解 特點(diǎn)根為 1 1, 2,3 2i 2 3 2特點(diǎn)方程為 1 2i 2i 1 4 4 4 0 ,故應(yīng)選 D； 例 4 設(shè) f x 是區(qū)間 0, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù),且 f 0 1 ；對(duì)任意 t 0, ,直線(xiàn) x 0, x t ,曲線(xiàn) y f x 以及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周 生成一旋轉(zhuǎn)體, 如該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的 （20

12、22 數(shù)學(xué)二） 解 由題設(shè),有 2 倍,求函數(shù) f x 的表達(dá)式； 2t 2 f x 1 f x dx 2 t f 2 x dx（旋轉(zhuǎn)體側(cè)面面積公式,要記??！ ） 00即 t 2 f x 1 f xdx t 2 f x dx 00方程兩邊對(duì) t 求導(dǎo),得 2 f t 2 f t 1 f t 解得 2 2 t ln y y 1 t C1 , y y 1 Ce 由 y0 1 ,得 C 1； 所以 y y 2 1 e t ,或 y f x 1 e2 x e x ； 例 5 設(shè)非負(fù)函數(shù) y y x x 0 中意微分方程 xy y 2 0 ,當(dāng)曲線(xiàn) y y x 過(guò) 原點(diǎn)時(shí),其與直線(xiàn) x 1 及 y 0

13、所圍成平面區(qū) D 的面積為 2,求 D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn) 域 第 6 頁(yè),共 11 頁(yè)體體積；（ 2022 數(shù)學(xué)二） 解 將微分方程 xy y 2 0 變形為 y 1 y 2 x 0 （不顯含 y ）（1） x x 留意到方程（ 1）為關(guān)于 y 及 x 的一階線(xiàn)性微分方程,就 1 1y e x dx 2 e x dx dx 2C1 x ln x 2 ln x e e dx 2C1 x 2x x 2 dx 2C1 x 2 C 2 2C x x 于是,有 y 2 C1 x 2 x C 2 y 2 C1 x 2 x ； 由 y y x 過(guò)原點(diǎn),得 C2 0 ,就 1 ,得 C1 3 ,從而所求

14、函數(shù)為 又由 212 C1x 2 xdx C1 03y 2 3x 2 x 于是 留意 1Vy 212 x3x 2x dx 213 3x 2 2x dx 17 ； y ） 006用公式 Vy 2bxf x dx要簡(jiǎn)便得多！ （ y f x, x a, b ） a留意 2可降階的高階微分方程 07 年也考到, 07,09 都為 y f x, y （不顯含 型； 例 6 三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 y 2 y y 2 y 0 的通解為 ；（ 2022數(shù)學(xué)二） 解 特點(diǎn)方程為 32220因式分解得 特點(diǎn)根為 12 21 02, 2,3 i第 7 頁(yè),共 11 頁(yè)通解為 y 2 x C1e C2 cos

15、 x C3 sin x 留意 與 08 年類(lèi)似； 例 7 設(shè)函數(shù) y f x 由參數(shù)方程 x 2t t 2 , t 1所確定,其中 t 具有二階導(dǎo) y t 數(shù),且 1 5 , 1 6 ；已知 d y 2 3,求函數(shù) t ；（ 2022 數(shù)學(xué)二） 22 dx 41 t 解 dy t dx 2 2t d y 22 d dy d t d t dt dx dx dx dx 21 t dt 21 t dx t1 t t 1 t1 t t 2 321 t 21 t 41 t 2又 d y 3,就 2dx 41 t 2t 1 t t 31 t 變形為 t 1t 31 t （這是關(guān)于 及 t 的一階線(xiàn)性微分方

16、程） 1 t 就 由 t e1 dt 1 t 31 t e 1dt dt C1 C1 1 t ln1 t e 31 te ln1 t dt C1 1 t 3t C1 2 3t C1 3t 1 6 ,得 63 C1 3 C1 , C1 0就 t 2 3t 3t 于是 由 1 5t t 3 3 t 22C20,得 5 21C , C 2322所以有 第 8 頁(yè),共 11 頁(yè)3 3 2t t t 2留意 1 一階線(xiàn)性微分方程是考試重點(diǎn) x t 留意 2 由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是考試的重點(diǎn) y t 2dy t d y t t t t , 2 3dx t dx t 其中公式 d 2 y t t

17、 t t dx2 3 t 可與曲率公式 | t t t t | 3/2 t 聯(lián)系起來(lái)記； 例 8 微分方程 y x 2y ex ex 0 的特解的形式為（ ） A, ae x ex B , axe x ex C, xae x be D, x2 ae x be x （2022 數(shù)學(xué)二） 解 特點(diǎn)方程為 r 2 20 x , y 2 y ex 的特解可設(shè)為 xbe x 特點(diǎn)為 r1 , r2 （單根） y 2 y e x 的特解可設(shè)為 xae 于是,應(yīng)選 C； 留意 特解的可疊加性 例 9 微分方程 y y x e cos x 中意條件 y0 0 的解 y ；（ 2022數(shù) 學(xué)二） 解 y e d

18、x x e cos x e dx dx C x x x e e cosx e dx C x e sin x C 由 y0 0 ,得 C0 ,就中意條件 y0 0 的解 y ex sin x 第 9 頁(yè),共 11 頁(yè)留意 1 應(yīng)檢驗(yàn)是否為 y y ex cos x 的解 留意 2 進(jìn)一步說(shuō)明：一階線(xiàn)性微分方程是考試重點(diǎn) 例 10 設(shè)函數(shù) y y x 具有二階導(dǎo)數(shù), 且曲線(xiàn) l : y y x 與直線(xiàn) y x 相切于原點(diǎn), 記 d dy 為曲線(xiàn) l 在點(diǎn) x, y 外切線(xiàn)的傾角,如 ,求 y y x 的表達(dá)式；（ 2022 數(shù)學(xué)二） dx dx 解 由 tan y ,有 arctan y ,從而 d y 2dx 1 y 又由 d dy ,得 dx dx y 2 y 1 y 即 令 y y 2 y 1 y （不顯含 x ） p ,就 y pdp ,從而有 dy pdp p1 p 2 dy 即