平面向量高考真題分類(lèi)解析

1、第五章平面向量第節(jié) 一高考梳 平向的念線運(yùn)名稱向量零向量單位向量平行向量定義既有大小又有方向的量量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模) 長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量方向相同或相反的非零向量備注平面向量是自由向量記作 0非零向量 a 的單位向量為aa |共線向量相等向量相反向量方向相同或相反的非零向量又叫做 共線向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0 與任一向量平行或共線兩向量只有相等或不等，不能 比較大小0 的相反向量為 0向量運(yùn)算定義法則或幾何意義)運(yùn)算律加法減法數(shù)乘求 兩 個(gè) 向 量 和 的 運(yùn)算求 a 與 b 的反向 量b 的和的運(yùn)算 叫做 a 與 b

2、 的差求實(shí)數(shù) 與向量 a 的積的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：a b) c bc)aba(b)(1)|a | a ；當(dāng) 時(shí)， () a； a 的方向與 a 的方向相同； )aaa(a 當(dāng) 0 時(shí)， a 的方向與 a 的 b)ab 3 1 1 3 3 1 1 3AB + AC 3 1 1 3 3 1 1 3AB + AC 1 21 21 1 2 21 21 12 21 2 1 21 2 1 21 11 1 1 12 22 1 2 12 1 2 1方向相反； 時(shí)a0（三線向量定理向量 a(a0)與 b 共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 b a 二歷高真題分突題一平向的性算【例

3、 1 全國(guó)） ABC 中，AD 為 上的中線，E 為 AD 中點(diǎn)， 則EB=（ ）A AB - AC 4 4B AB - AC 4 4C AB + AC 4 4D 4 41 1 1 1 1 3 1解析：結(jié)合圖形 (BA+BD)=- BA- BC=- BA- (AC-AB)= AB - AC.2 2 4 2 4 4 4故選 A.第節(jié) 一高考梳（一面向量基本定理平向的本理坐表如果 e e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向 量 a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使 a e e .其中不共線的向量 e ，e 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 （二面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量加法、減法、數(shù)

4、乘向量及向量的模設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )，則ab(x x ，y y )，bx x ，y y )，ax ，y )，|a | x22. 2向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè) A( ) )B(x x y )| （x x ）2 （y y ）2 . （三面向量共線的坐標(biāo)表示1 12 21 2 2 1 1 12 21 2 1 2 1 21 12 21 2 2 1 1 12 21 2 1 2 1 21 21 2 1 1 2 設(shè) ax ，y )，b(x ，y )，則 ab x y y 0. 二歷高真題分突題一平向的標(biāo)算【例 國(guó)） 已知向量 a3)b(32)則| a

5、- b | （ ）A 2B52D50解析：由題意知 a - b 1，1)，所以 a - b | = . 故選 A.x2 y2【例 （2018 國(guó)卷 知斜率為 k 的直 l 與橢圓 C: 交于 A，B4 3兩點(diǎn)線段 AB 的中點(diǎn)為 M(1,m)(m0)1（1）證明：k- ；2（2 F 為 C 的右焦點(diǎn) 為 C 上一點(diǎn)FP+FA+FB=0|=|FA|+|FB |x 2 y 2 x 2 y 2解析（1）設(shè) ,y )，B(x ,y )，則 1， 11 1 2 2 4 3 4 3兩式相減，并由 y -y x +x y +y 得 + k=0 x -x 4 31 2x +x y +y 3 3 1 由題設(shè)知

6、=1， =m于 k= - 由題設(shè)得 0m 故 k- 2 2 4m 2 2（2題意得 ,y )x -1,y )+( x -1,y x -1,y )=(0,0)3 3 3 3 1 1 2 2由（1）及題設(shè)得 x =3-(x +x )=1，y =-(y +y )=-2m03 1 2 3 1 23 3 3又點(diǎn) P 在 C 上，所以 ，從而 P(1,- )，|FP|= 4 2 2于是|FA|= (x 12+y 21=x 2 x x(x -1)2+3(1- )=2- 同理|FB|=2- 1 4 2 2所以|FA|+|FB|=3故 2|FP|=|FA|+|FB|，1 12 21 11 2 11 12 21

7、11 2 1 21 1 2 21 1 2 2題二向平的標(biāo)示【例 32018 國(guó)卷 已知向 (1, _1解析：a+b=(4,2), c/(2a+b)則 4，= .2) a+b)，第節(jié)平向的量一高考梳（一面向量的數(shù)量積1向量的夾角 定義：已知兩個(gè)非零向量 和 b，如右圖，OAa，b，則AOB(0180) 叫作 a 與 b 的角當(dāng) 0時(shí)，a 與 b 共線同向當(dāng) 180時(shí)，a 與 b 共線反向當(dāng) 90時(shí)，a 與 b 互相垂直2向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)向量 a 與 b，它們的夾角為 ，則數(shù)量a b |cos 叫作 a 與 b 的數(shù)量積記作 ab即 aba |b |cos 由定義可知零向量與任一向量的數(shù)

8、量積 為 0，即 0a3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 b 等于 a 的長(zhǎng)度 a 與 b 在 a 的方向上的射影b |cos 的乘積，或 b 的長(zhǎng)度b 與 a 在 b 方向上射影a |cos 的積 （二面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量 a(x ，y )，b(x ，y )， 為向量 a， 的夾角.1數(shù)量積：aba |b |cos 1 x2y1 y2x x y yab3夾角： . a b |x2y2 x2 22模：a aa xy 2.4兩非零向量 ab 的充要條件：ab0 x x2y1 y0. 5a b |a |b |(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號(hào)成立) |x1 2 1 y2 （三面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1a

9、bba交換律)x2 x2y2.2abab)a(b)(合律)3ab)ccb(配律).二歷高真題分突題一平向數(shù)積運(yùn)【例 （2020 國(guó)卷 向 a b m m 4) ， a 則 .解析：依題意得，m-4)=0 ，解得 m 故答案為 5.【例 2（2020 全國(guó)） 知單位向量 ，b 的夾角為 60在下列向量中， 與 b 垂直的是（ ）A. a2bB. 2abC. a -2bD.2a - b1解析（a b）b = 2ab b=21 -1=0，故選 D2【例 全國(guó)卷）知非零向量 ， 滿足| 2| ，且（ ） ， 則 與 的夾角為（ ） B C 解析：（ ） ， ， 故選 B 2 2【例 （2019 國(guó)卷已

10、知向 a (2,2), ，則 c 【例 （2018 全卷已知向量 ab 滿足|a|=1b=-1 a(2a-b)= ( ) A4 B3 C2 D0解析：因?yàn)?a(2a-)=2a-ab=2+1=3. 故選 【例 （2017 國(guó)卷 知向量 a（1，2），=（m，1）. 若向量 a+b 與 a 垂直，則 =_.解析：向量 a=（，2），=（m，1），+b（1m3 向量 a+b 與 a 直，+b）a（1+）（132=0， 解得 m故答案為 7【例 （2017 國(guó)卷 非零向量 a,b 滿足a|ab,則( )A.abB.a|b| C.abD.|a|b解析：由ab|a|,兩邊平方得 a2abba2ab2,即

11、ab,則 ab.故 A. 題二平向數(shù)積綜應(yīng)【例 （2020 國(guó)卷已知 A 分別為橢圓 E： （a）的左、右 頂點(diǎn) 為 E 的上頂點(diǎn)， 為直線 x 上的動(dòng)點(diǎn) 與 的另一交點(diǎn)為 C，PB 與 E 的另一交點(diǎn)為 D （1）求 E 的方程；（2）證明：直線 D 過(guò)定點(diǎn) 解析（）由題設(shè) ( ,0), ( 則 AG a,1) GB a 由 得a ， a 所以 E的方程為 2 t tt tx 2, y 1 2 t tt tx 2, y 1 2 0 00 0 0 22 0 0 （2） ( x ( x ), P (6, t ) ，設(shè)直 CD 的方程x my ，由題意可 n 由于直線 PA的方程為 y ( ，所以

12、 y 9直線 PB的方程為 y ( x ，所以 y ( x 3可 ( ( x 3) 由于 9y，故 y( x ，可 27 y 3) ， (27 ) n 3)( y y ) n 3) 將x my 代入 ( y mny 所以 1 mn 2 2 代入式 (27 )(9) ( n mn ( m9) 解 n （舍去 n 故直 CD 的方程為 x ，即直 CD 過(guò)定 ( ，則直 CD 的方程 y ，過(guò) ( ,0) 綜上，直 CD 定 ( 【例 （2017 國(guó)卷x2設(shè) O 圓 2過(guò) 作 為 ，點(diǎn) NP 2 NM (1)求點(diǎn) P 的(2)設(shè)點(diǎn) Q 在 3 上且OP.證明:點(diǎn) 且垂 線 l C .解：(1) (,y,(x